三角函数图像与性
一、知识点详解
知识点1
用五点法做正弦余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
知识点2
正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
定义域
x∈R
x∈R
x∈R且x≠＋kπ，k∈Z
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
单调性
递增区间是
[2kπ－，2kπ＋]
(k∈Z)，
递减区间是
2kπ＋，2kπ＋(k∈Z)
递增区间是
[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，
递减区间是
[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
递增区间是
（kπ－，kπ＋）
(k∈Z)
最值
ymax＝1；
ymin＝－1
ymax＝1；
ymin＝－1
无最大值和最小值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
，k∈Z
，k∈Z
对称轴
x＝kπ＋，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
无对称轴
最小正周期
2π
2π
π
[方法技巧]
三角函数奇偶性的判断技巧
1．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
2．若f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z).
知识点3
由y=sin
x的图像变换得到y=Asin(ωx＋φ)（其中A＞0，ω＞0）的图
(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移
[知识点拨]两种变换的差异
先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
例题解析
例1：在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos
x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )
A.①②③
B.①③④
C.②④
D.①③
【答案】A
【解析】①y＝cos|2x|＝cos
2x，最小正周期为π；:②由图象知y＝|cos
x|的最小正周期为π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；④y＝tan的最小正周期T＝，因此选A.
:例2：若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.
【答案】
【解析】因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.
例3：已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且?x∈R，有f(x)≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|<，得φ＝，故f(x)＝sin.
令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图象的对称中心为，故选A.
例4：已知在函数f
(x)＝Asin(ωx＋φ)(
A＞0，ω＞0)的图象上，距离y轴最近的极大值点为x＝－，距离坐标原点最近的一个零点为x＝，则f
(x)的单调递增区间为
A.(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z
B.(2k－，2k＋)，k∈Z
C.(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z
D.(2k＋，2k＋)，k∈Z
【答案】D
【解析】距离轴最近的极大值点为，距离坐标原点最近的一个零点为，
，，由，
可得，求得，由，，
的单调增区间为等价于，故选D.
例5：函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f的值为________．
【答案】
【解析】由图象可知A＝2，T＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2，∵当x＝时，函数f(x)取得最大值，
∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin，
则f＝2sin＝2cos＝.
例6：已知函数，.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数的最小值以及达到最小值时的取值集合.
【答案】（1）（2），时，函数取得最小值为-3
【解析】（1）令，，
得，，所以函数的单调递增区间为
，
（2）对于函数，当，，即，时，函数取得最小值为-3
例7：已知函数的最大值为2,最小值为0．
（1）求的值；
（2）将函数图象向右平移个单位后,再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的倍,横坐标不变,得到函数的图象,求方程的解.
【答案】(1)；
(2)
或.
【解析】（1）由题意得解得,
∴,则.
（2）由已知,.
由,得,∴或.
课堂练习
A级
1.为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin
2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
2.若函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)在上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
3.
函数的一条对称轴方程是（
）
A.
B.
C.
D.
B级
1.函数y＝|tan
x|在上的单调减区间为_______．
2.
已知函数f(x)＝sin(0<ω<2)满足条件：f＝0，为了得到函数y＝f(x)的图象，可将函数g(x)＝cos
ωx的图象向右平移m(m>0)个单位长度，则m的最小值为( )
A．1
B.
C.
D.
3.
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )
A.f(2)B.f(0)C.f(－2)D.f(2)C级
1.函数f(x)＝sin2x＋cos
x－的最大值是________．
2.已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．
3.
已知函数（A＞0,＞0,＜π）的一段图象如图所示．
（1）求函数的单调增区间；
（2）若,求函数的值域．
课后作业
A级
1.
已知函数f(x)＝sin(πx－)－1，则下列说法正确的是( )
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
2.
函数的定义域是（
）．
A.
B.
C.
D.
3.
已知f(x)＝cos(2x＋φ),其中φ∈[0,2π),若f＝f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则φ＝________．
4.已知函数y＝2cos
x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是( )
A．2
B．3
C.＋2
D．2－
B级
1.
函数的递增区间__________．
2.已知函数f(x)＝－2cos
ωx(ω>0)的图象向左平移φ个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )
A.
B.
C.
D.
3.
设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，给出以下四个论断：
①它的最小正周期为π；
②它的图象关于直线x＝成轴对称图形；
③它的图象关于点成中心对称图形；
④在区间上是增函数．
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．
4.
设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
C级
1.
已知为与中较小者，其中，若的值域为，则的值（ ）
A.0
B.
C.
D.
2.
已知函数f(x)＝2asin(2x－)＋b的定义域为[0，]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
3.已知函数f(x)＝2sin＋a＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1且x∈[－π，π]的x的取值集合．三角函数图像与性
一、知识点详解
知识点1
用五点法做正弦余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
知识点2
正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
定义域
x∈R
x∈R
x∈R且x≠＋kπ，k∈Z
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
单调性
递增区间是
[2kπ－，2kπ＋]
(k∈Z)，
递减区间是
2kπ＋，2kπ＋(k∈Z)
递增区间是
[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，
递减区间是
[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
递增区间是
（kπ－，kπ＋）
(k∈Z)
最值
ymax＝1；
ymin＝－1
ymax＝1；
ymin＝－1
无最大值和最小值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
，k∈Z
，k∈Z
对称轴
x＝kπ＋，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
无对称轴
最小正周期
2π
2π
π
[方法技巧]
三角函数奇偶性的判断技巧
1．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
2．若f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z).
知识点3
由y=sin
x的图像变换得到y=Asin(ωx＋φ)（其中A＞0，ω＞0）的图
(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移
[知识点拨]两种变换的差异
先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
例题解析
例1：在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos
x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )
A.①②③
B.①③④
C.②④
D.①③
【答案】A
【解析】①y＝cos|2x|＝cos
2x，最小正周期为π；:②由图象知y＝|cos
x|的最小正周期为π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；④y＝tan的最小正周期T＝，因此选A.
:例2：若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.
【答案】
【解析】因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.
例3：已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且?x∈R，有f(x)≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|<，得φ＝，故f(x)＝sin.
令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图象的对称中心为，故选A.
例4：已知在函数f
(x)＝Asin(ωx＋φ)(
A＞0，ω＞0)的图象上，距离y轴最近的极大值点为x＝－，距离坐标原点最近的一个零点为x＝，则f
(x)的单调递增区间为
A.(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z
B.(2k－，2k＋)，k∈Z
C.(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z
D.(2k＋，2k＋)，k∈Z
【答案】D
【解析】距离轴最近的极大值点为，距离坐标原点最近的一个零点为，
，，由，
可得，求得，由，，
的单调增区间为等价于，故选D.
例5：函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f的值为________．
【答案】
【解析】由图象可知A＝2，T＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2，∵当x＝时，函数f(x)取得最大值，
∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin，
则f＝2sin＝2cos＝.
例6：已知函数，.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数的最小值以及达到最小值时的取值集合.
【答案】（1）（2），时，函数取得最小值为-3
【解析】（1）令，，
得，，所以函数的单调递增区间为
，
（2）对于函数，当，，即，时，函数取得最小值为-3
例7：已知函数的最大值为2,最小值为0．
（1）求的值；
（2）将函数图象向右平移个单位后,再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的倍,横坐标不变,得到函数的图象,求方程的解.
【答案】(1)；
(2)
或.
【解析】（1）由题意得解得,
∴,则.
（2）由已知,.
由,得,∴或.
课堂练习
A级
1.为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin
2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】函数y＝2sin＝2sin，可由函数y＝2sin
2x的图象向右平移个单位长度得到．故选A.
2.若函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)在上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
【答案】
【解析】法一 由于函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，为函数f(x)的周期，故＝，解得ω＝.
法二 由题意，得f(x)max＝f
＝sinω＝1.
由已知并结合正弦函数图象可知，ω＝，解得ω＝.
3.
函数的一条对称轴方程是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】令,得,故选C.
B级
1.函数y＝|tan
x|在上的单调减区间为_______．
【答案】和
【解析】如图，观察图象可知，y＝|tan
x|在上的单调减区间为和.
2.
已知函数f(x)＝sin(0<ω<2)满足条件：f＝0，为了得到函数y＝f(x)的图象，可将函数g(x)＝cos
ωx的图象向右平移m(m>0)个单位长度，则m的最小值为( )
A．1
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意，得sin＝0，即－ω＋＝kπ(k∈Z)，则ω＝－2kπ(k∈Z)，结合0<ω<2，得ω＝，所以f(x)＝sin＝cos＝cos（（x-1）），所以只需将函数g(x)＝cosx的图象向右至少平移1个单位长度，即可得到函数y＝f(x)的图象，故选A.
3.
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )
A.f(2)B.f(0)C.f(－2)D.f(2)【答案】A
【解析】由于f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f(x)＝Asin(2x＋φ)，又当x＝时，2x＋φ＝＋φ＝2kπ－(k∈Z)，∴φ＝2kπ－(k∈Z)，又φ>0，∴φmin＝，故f(x)＝Asin(2x＋).于是f(0)＝Asin
，
f(2)＝Asin＝Asin＝Asin，
f(－2)＝Asin＝Asin＝Asin＝Asin.
又∵－＜－4＜4－＜＜.又f(x)在上单调递增，∴f(2)C级
1.函数f(x)＝sin2x＋cos
x－的最大值是________．
【答案】1
【解析】依题意，f(x)＝sin2x＋cos
x－＝－cos2x＋cos
x＋＝－2＋1，
因为x∈，所以cos
x∈[0,1]，因此当cos
x＝时，f(x)max＝1.
2.已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由x∈，知x＋∈.∵x＋∈时，f(x)的值域为，
∴由函数的图象知≤a＋≤，∴≤a≤π.
3.
已知函数（A＞0,＞0,＜π）的一段图象如图所示．
（1）求函数的单调增区间；
（2）若,求函数的值域．
【答案】（1）函数的单调增区间为；（2）函数的值域为.
【解析】（1）求得,.∴函数的单调增区间为
（2）∵∴∴当时,,当时,
∴函数的值域为
课后作业
A级
1.
已知函数f(x)＝sin(πx－)－1，则下列说法正确的是( )
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
【答案】B
【解析】周期T＝＝2，f(x)＝sin－1＝－cos
πx－1，因此函数f(x)是偶函数，故选B
2.
函数的定义域是（
）．
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】要使函数有意义，则，，即：，，
则函数的定义域为，故选C．
3.
已知f(x)＝cos(2x＋φ),其中φ∈[0,2π),若f＝f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则φ＝________．
【答案】
【解析】由题意知,当x＝时,f(x)取最小值,∴2×＋φ＝π＋2kπ,∴φ＝＋2kπ,k∈Z.又0≤φ＜2π,∴φ＝.
4.已知函数y＝2cos
x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是( )
A．2
B．3
C.＋2
D．2－
【答案】B
【解析】因为x∈，所以cos
x∈，故y＝2cos
x的值域为[－2,1]，所以b－a＝3.
B级
1.
函数的递增区间__________．
【答案】
【解析】由题意函数，
由，得：，．
当时，函数的单调增区间为：，
∵，∴满足题意的函数的单调增区间为．
故答案为：．
2.已知函数f(x)＝－2cos
ωx(ω>0)的图象向左平移φ个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题图知，T＝2＝π，∴ω＝＝2，∴f(x)＝－2cos
2x，
∴f(x＋φ)＝－2cos(2x＋2φ)，则由图象知，f＝－2cos＝2.
∴＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，则φ＝＋kπ(k∈Z).又0<φ<，所以φ＝.
3.
设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，给出以下四个论断：
①它的最小正周期为π；
②它的图象关于直线x＝成轴对称图形；
③它的图象关于点成中心对称图形；
④在区间上是增函数．
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．
【答案】①②?③④或①③?②④
【解析】若①、②成立，则ω＝＝2；令2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，且|φ|＜，故k＝0，∴φ＝.此时f(x)＝sin，当x＝时，sin＝sin
π＝0，
∴f(x)的图象关于成中心对称；又f(x)在上是增函数，∴在上也是增函数，因此①②?③④，用类似的分析可得①③?②④.因此填①②?③④或①③?②④.
4.
设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
【答案】2
【解析】f(x)＝3sin的周期T＝2π×＝4，f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，
故|x1－x2|的最小值为＝2.
C级
1.
已知为与中较小者，其中，若的值域为，则的值（ ）
A.0
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
由题得，
观察函数的图像可得.
故答案为：C
2.
已知函数f(x)＝2asin(2x－)＋b的定义域为[0，]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
【答案】a＝12－6，b＝－23＋12或a＝－12＋6，b＝19－12.
【解析】∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，∴－≤sin(2x－)≤1，
若a>0，则，解得；
若a<0，则，解得.
综上可知，a＝12－6，b＝－23＋12或a＝－12＋6，b＝19－12.
3.已知函数f(x)＝2sin＋a＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1且x∈[－π，π]的x的取值集合．
【答案】(1)；
（2）a＝1;
（3）.
【解析】(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)因为当x＝时，f(x)取得最大值4，即f＝2sin＋a＋1＝a＋3＝4，所以a＝1.
(3)由f(x)＝2sin＋2＝1，可得sin＝－，
则2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z，
又x∈[－π，π]，可解得x＝－，－，，，所以x的取值集合为.
