知识点一、基本不等式
【知识梳理】
知识点一、平均值不等式：若_________，则（或），且等号当且仅当
_________时成立
常用不等式：,当且仅当a=b时取等号。
用平均值不等式来求最值：当两个正数的积为定值时，由可得当时，它们的和有最__________值__________；当两个正数的和为定值时，由可得当时，它们的积有最__________值__________，正所谓“积定和最__________，和定积最__________”.
知识点二、三角不等式：对任意的实数a,b,有，且等号当且仅当时成立。
【例题精讲】
例1.下列命题中正确的是
（
）
的最小值是2
B、的最小值是2
C、的最大值是
D、的最小值是；
例2.函数的最小值
。
变式
1、已知，求的最小值；
2、已知，求的最大值.
例3、正数满足，则的最小值为______；
正数满足，则的最小值为______；
例4、如果正数、满足，则的取值范围是_________
例5、当时，求代数式的最大值
例6、当时，求的最小值.
求的最小值.
例7、⑴若实数x、y满足，则的最小值为___________.
⑵设x、y，且，则的最大值为___________.
⑶函数的最小值为___________.
⑷函数的最小值为__________
例8、为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2010年该产品的利润y万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；
(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
例9、某企业参加项目生产的工人为人，平均每人每年创造利润万元.根据现实的需要，从项目中调出人参与项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润万元（），项目余下的工人每人每年创造利润需要提高
（1）若要保证项目余下的工人创造的年总利润不低于原来名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加项目从事售后服务工作？
在（1）的条件下，当从项目调出的人数不能超过总人数的时，才能使得项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围.
例9、设a,b为实数，求证：
例10、证明：对所有对实数x恒成立，并求等号成立
时x的范围。
例11、设，证明，并求出当时x的取值范围。
例12、设a,b
为实数，求证：
【课堂练习】
1.（1）若且，则的最小值是____________；
（2）设，，则最小值是____________.
2.若，求的取值范围.
【课后作业】
1.若，求的取值范围.
当满足条件____________时，成立，当且仅当
____________时取等号.
3.若，，则将四个代数式按从小到大的顺序排列____________.
4.（1）若，则的取值范围是____________；
（2）若，则的取值范围是____________.
5.（1）若且，则的最小值是____________；
（2）设，，则最小值是____________.
6.（★★）若，求的取值范围.
7.下列不等式一定成立的是
（
）
A． B．
C． D．
8.
已知，且，则的最大值为.
9．①对任意；②“且”是“”的充要条件；③
函数的最小值为。其中真命题的为_________（将你认为是真命题的序号都填上）
10、某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400m2的三级污染水处理池，由于受场地限制，长、宽不能超过25m.池外圈建造单价每米为200元，中间两条隔墙建造单价每米为250元，池底建造单价每平方米为80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．
(1)设污水处理池和隔墙垂直一边长为x(m)，写出总造价y(元)与x的函数关系式，并指出其定义域；
(2)求污水处理池的两邻边长各为多少米时，池的总造价最低，并求出最低总造价．
2021-2022学年上海市高一第一学期——基本不等式知识点一、基本不等式
【知识梳理】
知识点一、平均值不等式：若_________，则（或），且等号当且仅当
_________时成立
常用不等式：,当且仅当a=b时取等号。
用平均值不等式来求最值：当两个正数的积为定值时，由可得当时，它们的和有最__________值__________；当两个正数的和为定值时，由可得当时，它们的积有最__________值__________，正所谓“积定和最__________，和定积最__________”.
知识点二、三角不等式：对任意的实数a,b,有，且等号当且仅当时成立。
【例题精讲】
例1.下列命题中正确的是
（
）
的最小值是2
B、的最小值是2
C、的最大值是
D、的最小值是；
【答案】C
例2.函数的最小值
。
【答案】8
变式
1、已知，求的最小值；
【答案】8
2、已知，求的最大值.
【答案】1
例3、正数满足，则的最小值为______；
正数满足，则的最小值为______；
【答案】（1）
；（2）
例4、如果正数、满足，则的取值范围是_________
【答案】
例5、当时，求代数式的最大值
【答案】8
例6、当时，求的最小值.
【答案】7
求的最小值.
【答案】9
例7、⑴若实数x、y满足，则的最小值为___________.
⑵设x、y，且，则的最大值为___________.
⑶函数的最小值为___________.
⑷函数的最小值为__________
【答案】（1）（2）（3）（4）
例8、为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2010年该产品的利润y万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；
(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【答案】（1）
(2)投入3万元时，利润最大。
例9、某企业参加项目生产的工人为人，平均每人每年创造利润万元.根据现实的需要，从项目中调出人参与项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润万元（），项目余下的工人每人每年创造利润需要提高
（1）若要保证项目余下的工人创造的年总利润不低于原来名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加项目从事售后服务工作？
在（1）的条件下，当从项目调出的人数不能超过总人数的时，才能使得项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围.
【答案】（1）500；（2）
例9、设a,b为实数，求证：
【答案】用三角不等式即可
例10、证明：对所有对实数x恒成立，并求等号成立
时x的范围。
【答案】由三角不等式可证，当且仅当3时取等号
例11、设，证明，并求出当时x的取值范围。
【答案】
例12、设a,b
为实数，求证：
【答案】
【课后作业】
1.若，求的取值范围.
【答案】
当满足条件____________时，成立，当且仅当____________时取等号.
【答案】
3.若，，则将四个代数式按从小到大的顺序排列____________.
【答案】
4.（1）若，则的取值范围是____________；
【答案】
（2）若，则的取值范围是____________.
【答案】
5.（1）若且，则的最小值是____________；
（2）设，，则最小值是____________.
【答案】（1）18；（2）
6.（★★）若，求的取值范围.
【答案】
7.下列不等式一定成立的是
（
）
A． B．
C． D．
【答案】C
8.
已知，且，则的最大值为.
【答案】
9．①对任意；②“且”是“”的充要条件；③
函数的最小值为。其中真命题的为_________（将你认为是真命题的序号都填上）
【答案】①
10、某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400m2的三级污染水处理池，由于受场地限制，长、宽不能超过25m.池外圈建造单价每米为200元，中间两条隔墙建造单价每米为250元，池底建造单价每平方米为80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．
(1)设污水处理池和隔墙垂直一边长为x(m)，写出总造价y(元)与x的函数关系式，并指出其定义域；
(2)求污水处理池的两邻边长各为多少米时，池的总造价最低，并求出最低总造价．
【答案】（1）
2021-2022学年上海市高一第一学期——基本不等式
（2）长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，最低为45000元
