知识点一、集合的概念及其表示
【知识梳理】
理解集合的有关概念
（1）集合的概念：概括地说，把一些确定的对象的全体叫做集合，简称集，通常用大写字母
B、C来表示。集合中所含的各个对象叫做该集合的元素，通常用小写
字母a、b、c表示。
（2）集合与元素的关系用符号和表示.
（3）集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性.
在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性.
（4）集合的分类：根据元素个数是否有限：有限集和无限集
（5）常用数集的表示符号：
自然数集
N；正整数集Z+
、N
；整数集Z；有理数集Q、实数集R.
（6）常用数的表示：
若为偶数，则
；若为奇数，则；
若被3整除，则；若被3除余1，则.
(
【注意】
周期数列:2,3,4,2,3,4,2,3,4……,写通项中会涉及项数的下标都为正整数，所以需要注意对
的限制与写法.
通项公式
，
)
(7）空集是指不含任何元素的集合.（、和的区别；0与三者间的关系）
（8）集合的表示法：列举法
，
描述法
，图示法.
(
【注意】
区分集合中元素的形式：
如：
；
；
；
；
；
.
)
区间的概念：
当a,b∈R且a＜b时，规定：
(1)满足不等式a≤x≤b的全部实数狓所组成的集合称为闭区间，记为［a，b］；
(2)满足不等式a＜x＜b的全部实数狓所组成的集合称为开区间，记为（a，b）；
(3)满足不等式a≤x＜b或a＜狓≤b的全部实数狓所组成的集合称为半开半闭区间，
分别记为［a，b）与（a，b］.
(4)此外，满足不等式x≥a,x＞b，x≤a或x＜b的全部实数x所组成的集合可分别用
区间符号表示为［a，＋∞），（a，＋∞），（－∞，b］与（－∞，b）．
实数集
R可用区间表示为（－∞，＋∞）．
【例题精讲】
例1.下列叙述：（1）世界七大洲（2）化学元素周期表周前20个元素符号，（3）晴朗的夜空
明亮的星星（4）与1接近的数（5）周长为20cm的三角形，其中能构成集合的序号
是
。（哪些是有限集，哪些是无限集?）
例2、用适当的方法表示下列集合。
方程的有理根的集合A；
坐标平面内，不在第一、第三象限的点的集合；
方程组的解集；
到两坐标周距离相等的点。
例3、对于，下列结论：，正确的是
例4、设集合A＝{a＋1，a－3，2a－1，a2＋1}，若－3∈A，求实数a的值.
例5、已知，若集合P中恰有3个元素，求．
例6、已知集合各元素之和等于3，则实数的值为
例7、已知x、y、z
为非零实数，用列举法将＋＋＋＋的所有可能值构成的集合表示出来为___．
例8、有下列四个命题：①是空集；
②若，则；
③集合有两个元素；④集合是有限集。
其中正确命题的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【课堂练习】
用符号“”或“”填空：
０ N；(2)１ Z；(3) Q；(4)－ R．
【答案】
(1)０N；
(2)１Z；
(3)
Q；
(4)－R．
用描述法表示下列集合：
（1）全体偶数组成的集合；
（2）在平面直角坐标系中，x轴上的点所组成的集合。
知识点二、集合之间的关系
【知识梳理】
集合之间的关系
子集：对于两个集合与，如果集合的任何一个元素都属于集合，那么集合叫作
集合的子集，记作:或（读作：包含于或包含）
真子集：对于两个集合与，如果，并且中至少有一个元素不属于，那么集合
叫做的真子集，记作：B?A，读作真包含于或真包含.
相等的集合：对于两个集合A与B，如果且，那么叫做集合等于集合，
记作=（读作集合等于集合）；
【辨析】①空集是任何集合的子集，即；空集是任何非空集合的真子集.
②任何集合是其自身的子集，即；
③子集的传递性：若；
④若，则或；
⑤相等的集合中所含元素完全相同；
⑥连接元素与集合的符号有：和；
⑦连接集合与集合的符号有：等；
⑧含有个元素的集合的子集共有
3．对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为
.
数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.
【例题精讲】
例1、确定整数x,y,使
变式练习：
1、设集合A
=
{}，B
=
{}，且A
=
B，求实数的值。
2、设，集合，则（
）
A．1
B．
C．2
D．
例2、已知集合试判断A与B之间的关系，并说明理由．
例3.下列关系式中
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）；（9）正确的个数（
）
4
5
6
7
练习:
已知集合A
=
{1,2,3,4,……,n}。记A
=
{A的所有子集}。下列说法哪些是正确的？
①AA
；②AA
；③A
；④A
；⑤{}A
；⑥{}A
。
例4、下列命题中，
(1)如果集合是集合的真子集，则集合中至少有一个元素.
(2)如果集合是集合的子集，则集合的元素少于集合的元素.
(3)如果集合是集合的子集，则集合的元素不多于集合的元素.
(4)如果集合是集合的子集，则集合和不可能相等.
错误的命题的个数是：（
）
1
2
3
例5.设集合A={x||x－a|<2}，B={x|<1}，若AB，求实数a的取值范围
例6、已知集合.
（1）若集合满足，求实数的取值范围.
（2）若非空集合满足，求实数的取值范围.
（3）若集合满足，求实数的取值范围.
例7、设集合A
=
{x
|
x＋4x
=
0，xR}，B
=
{x
|
x＋2(a＋1)x＋a－1=
0，aR，xR
}，若，求实数a的取值范围。
例8、已知集合，若，则正实数的取值范围是
．
例9、已知集合A=，集合B=．若，则实数的取值范围是________．
例10、设①；②当时，必有，则同时满足条件①，②的非空集合A的个数为___________。
例11、已知集合，且中至少含有一个奇数，这样的集合有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
例12、已知集合，则集合的子集有
个
例13、求满足条件的集合的个数．
2021-2022学年上海市高一上学期——集合及其之间的关系
1知识点一、集合的概念及其表示
【知识梳理】
理解集合的有关概念
（1）集合的概念：概括地说，把一些确定的对象的全体叫做集合，简称集，通常用大写字母
B、C来表示。集合中所含的各个对象叫做该集合的元素，通常用小写
字母a、b、c表示。
（2）集合与元素的关系用符号和表示.
（3）集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性.
在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性.
（4）集合的分类：根据元素个数是否有限：有限集和无限集
（5）常用数集的表示符号：
自然数集
N；正整数集Z+
、N
；整数集Z；有理数集Q、实数集R.
（6）常用数的表示：
若为偶数，则
；若为奇数，则；
若被3整除，则；若被3除余1，则.
(
【注意】
周期数列:2,3,4,2,3,4,2,3,4……,写通项中会涉及项数的下标都为正整数，所以需要注意对
的限制与写法.
通项公式
，
)
(7）空集是指不含任何元素的集合.（、和的区别；0与三者间的关系）
（8）集合的表示法：列举法
，
描述法
，图示法.
(
【注意】
区分集合中元素的形式：
如：
；
；
；
；
；
.
)
区间的概念：
当a,b∈R且a＜b时，规定：
(1)满足不等式a≤x≤b的全部实数狓所组成的集合称为闭区间，记为［a，b］；
(2)满足不等式a＜x＜b的全部实数狓所组成的集合称为开区间，记为（a，b）；
(3)满足不等式a≤x＜b或a＜狓≤b的全部实数狓所组成的集合称为半开半闭区间，
分别记为［a，b）与（a，b］.
(4)此外，满足不等式x≥a,x＞b，x≤a或x＜b的全部实数x所组成的集合可分别用
区间符号表示为［a，＋∞），（a，＋∞），（－∞，b］与（－∞，b）．
实数集
R可用区间表示为（－∞，＋∞）．
【例题精讲】
例1.下列叙述：（1）世界七大洲（2）化学元素周期表周前20个元素符号，（3）晴朗的夜空
明亮的星星（4）与1接近的数（5）周长为20cm的三角形，其中能构成集合的序号
是
。（哪些是有限集，哪些是无限集?）
【答案】①②⑤
例2、用适当的方法表示下列集合。
方程的有理根的集合A；
坐标平面内，不在第一、第三象限的点的集合；
方程组的解集；
到两坐标周距离相等的点。
【答案】（1）A=
;(2)
;(3)
;(4)
例3、对于，下列结论：，正确的是
【答案】（3）（4）
例4、设集合A＝{a＋1，a－3，2a－1，a2＋1}，若－3∈A，求实数a的值.
【答案】-4或-1
例5、已知，若集合P中恰有3个元素，求．
【答案】5例6、已知集合各元素之和等于3，则实数的值为
【答案】3/2
例7、已知x、y、z
为非零实数，用列举法将＋＋＋＋的所有可能值构成的集合表示出来为___．
【答案】
例8、有下列四个命题：①是空集；
②若，则；
③集合有两个元素；④集合是有限集。
其中正确命题的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【课堂练习】
用符号“”或“”填空：
０ N；(2)１ Z；(3) Q；(4)－ R．
【答案】
(1)０N；
(2)１Z；
(3)
Q；
(4)－R．
用描述法表示下列集合：
（1）全体偶数组成的集合；
（2）在平面直角坐标系中，x轴上的点所组成的集合。
【答案】(1)
;
(2)
知识点二、集合之间的关系
【知识梳理】
集合之间的关系
子集：对于两个集合与，如果集合的任何一个元素都属于集合，那么集合叫作
集合的子集，记作:或（读作：包含于或包含）
真子集：对于两个集合与，如果，并且中至少有一个元素不属于，那么集合
叫做的真子集，记作：B?A，读作真包含于或真包含.
相等的集合：对于两个集合A与B，如果且，那么叫做集合等于集合，
记作=（读作集合等于集合）；
【辨析】①空集是任何集合的子集，即；空集是任何非空集合的真子集.
②任何集合是其自身的子集，即；
③子集的传递性：若；
④若，则或；
⑤相等的集合中所含元素完全相同；
⑥连接元素与集合的符号有：和；
⑦连接集合与集合的符号有：等；
⑧含有个元素的集合的子集共有
3．对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为
.
数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.
【例题精讲】
例1、确定整数x,y,使
x=2,y=5
变式练习：
1、设集合A
=
{}，B
=
{}，且A
=
B，求实数的值。
【答案】a=-1,b=0
2、设，集合，则（
）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】C
例2、已知集合试判断A与B之间的关系，并说明理由．
【答案】A=B
例3.下列关系式中
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）；（9）正确的个数（
）
4
5
6
7
【答案】B
练习:
已知集合A
=
{1,2,3,4,……,n}。记A
=
{A的所有子集}。下列说法哪些是正确的？
①AA
；②AA
；③A
；④A
；⑤{}A
；⑥{}A
。
【答案】②③④⑤
例4、下列命题中，
(1)如果集合是集合的真子集，则集合中至少有一个元素.
(2)如果集合是集合的子集，则集合的元素少于集合的元素.
(3)如果集合是集合的子集，则集合的元素不多于集合的元素.
(4)如果集合是集合的子集，则集合和不可能相等.
错误的命题的个数是：（
）
1
2
3
【答案】
C
例5.设集合A={x||x－a|<2}，B={x|<1}，若AB，求实数a的取值范围
【答案】
例6、已知集合.
（1）若集合满足，求实数的取值范围.
【答案】
（2）若非空集合满足，求实数的取值范围.
【答案】
（3）若集合满足，求实数的取值范围.
【答案】a>6
例7、设集合A
=
{x
|
x＋4x
=
0，xR}，B
=
{x
|
x＋2(a＋1)x＋a－1=
0，aR，xR
}，若，求实数a的取值范围。
【答案】
例8、已知集合，若，则正实数的取值范围是
．
【答案】
例9、已知集合A=，集合B=．若，则实数的取值范围是________．
【答案】
例10、设①；②当时，必有，则同时满足条件①，②的非空集合A的个数为___________。
【答案】31
例11、已知集合，且中至少含有一个奇数，这样的集合有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】12
例12、已知集合，则集合的子集有
个
【答案】4
例13、求满足条件?A?的集合的个数．
2021-2022学年上海市高一上学期——集合及其之间的关系
【答案】61
