幂、指、对数
一、幂与指数
【知识梳理】
（1）；
（2）；
（3）；其中
（
一般地，如果n为大于1的整数，且,那么x叫做a的n次方根。
式子
叫做根式，这里的n叫做根指数，a叫做被开方数。
【例题精讲】
例1、（1）求
的5次方根；
（2）求81的4次方根；
（3）求-
的5次方根；
例2、计算：（1）
；（2）
例3、计算：（1）
；（2）
;
(3)
;
(4)
例4、化简：（1）
;
(2)
二、对数
【知识梳理】
对数的概念
，且的条件下，唯一满足的数x，称为以为底的对数，并用符号表示，而称为真数。
根据对数的定义，我们可以得到：，（，且）
通常我们把以为底的对数叫做常用对数，并简记为，即；以无理数为底的对数叫做自然对数，并简记为，即
2、对数的运算
且，且，：
；
；
；
（换底公式）；；
（对数恒等式）；
【例题精讲】
例1、将下列指数式写成对数式：
；
（2）；
（3）；
（4）；
例2、将下列对数式写成指数式：
；
（2）；
（3）；
（4）
例3、计算：
；
（2）；
（3）
（4）；
例4、计算：
(1))
;
(2)
;
(3)
(4)
;
(5)
例5、计算
（1）
;
(2)
例6、设为正数，且满足
求证：；
若，求的值.
例7、20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，其中，是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．
假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级（精确到）；
（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）．
例8、已知，，求的首位数字.
例9、（1）已知，试用a
表示lg2
和lg20。
（2）已知lg2=a，lg3=b，试用含有a、b的式子表示
【课后作业】
1．把下列各题的指数式写成对数式：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
2．把下列各题的对数式写成指数式：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
3．计算下列各题：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）．
（6）．
4．（1）已知，，试用、表示．
（2）已知，求．
（3）已知，，求．
5．设且．
（1）求证：．
（2）比较，，的大小．
6．用，，表示下列各式：
（1）．
（2）．
7．求解下列各题：
（1）已知，，试用，表示．
（2）已知，，试用，表示．
（3）已知，试建立间的关系式．
8．我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音量会有不同的要求，音量大小的单位是分贝，对于一个强度为的声波，分贝的定义是：．这里是人耳能听到的声音的最低声波强度，，当时，，即．
（1）如果，求相应的分贝值．
（2）时声音强度是时声音强度的多少倍?
9．科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14．碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”．动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变．死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年．湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7％，试推算马王堆古墓的年代．
10．设，，且，求的最小值．
11．（1）设都是正数，且，求的值．
（2）已知，且，求：的值．
（3）设，若，求
的值．
12．解方程组：（其中）．
13．对于正整数和实数，若，且，求证：．
2021-2022学年上海市高一第一学期——幂、指数、对数幂、指、对数
一、幂与指数
【知识梳理】
（1）；
（2）；
（3）；其中
（
一般地，如果n为大于1的整数，且,那么x叫做a的n次方根。
式子
叫做根式，这里的n叫做根指数，a叫做被开方数。
【例题精讲】
例1、（1）求
的5次方根；
（2）求81的4次方根；
（3）求-
的5次方根；
【答案】
；3；
例2、计算：（1）
；（2）
【答案】-2；无
例3、计算：（1）
；（2）
;
(3)
;
(4)
【答案】8；
；；
例4、化简：（1）
;
(2)
【答案】；
-9a
二、对数
【知识梳理】
对数的概念
，且的条件下，唯一满足的数x，称为以为底的对数，并用符号表示，而称为真数。
根据对数的定义，我们可以得到：，（，且）
通常我们把以为底的对数叫做常用对数，并简记为，即；以无理数为底的对数叫做自然对数，并简记为，即
2、对数的运算
且，且，：
；
；
；
（换底公式）；；
（对数恒等式）；
【例题精讲】
例1、将下列指数式写成对数式：
；
（2）；
（3）；
（4）；
【答案】（1）;
(2)
;(3)
;(4)5.73
例2、将下列对数式写成指数式：
；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
例3、计算：
；
（2）；
（3）
（4）；
【答案】
；16；-1
；3
例4、计算：
(1))
;
(2)
;
(3)
(4)
;
(5)
【答案】
；1；-1；5；3
例5、计算
（1）
;
(2)
【答案】3；0
例6、设为正数，且满足
求证：；
若，求的值.
【答案】（1）略；（2）a=6,b=8,c=10
例7、20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，其中，是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．
假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级（精确到）；
（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）．
【答案】（1）4.3；（2）398
例8、已知，，求的首位数字.
【答案】5
例9、（1）已知，试用a
表示lg2
和lg20。
【答案】lg2=1-a
;
lg20=2-a
（2）已知lg2=a，lg3=b，试用含有a、b的式子表示
【答案】3=
;
【课后作业】
1．把下列各题的指数式写成对数式：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【答案】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
2．把下列各题的对数式写成指数式：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【答案】（1）．（2）．（3）．（4）．
3．计算下列各题：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）．
（6）．
【答案】（1）1.（2）
1.（3）
1.（4）
21.5（5）
1.（6）．
4．（1）已知，，试用、表示．
（2）已知，求．
（3）已知，，求．
【答案】（1）．（2）．（3）．
5．设且．
（1）求证：．
（2）比较，，的大小．
【答案】（1）换无法，令，，，，即可证．
（2）由于，则．
6．用，，表示下列各式：
（1）．
（2）．
【答案】（1）．
（2）．
7．求解下列各题：
（1）已知，，试用，表示．
（2）已知，，试用，表示．
（3）已知，试建立间的关系式．
【答案】（1）．
（2）．
（3）或．
8．我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音量会有不同的要求，音量大小的单位是分贝，对于一个强度为的声波，分贝的定义是：．这里是人耳能听到的声音的最低声波强度，，当时，，即．
（1）如果，求相应的分贝值．
（2）时声音强度是时声音强度的多少倍?
【答案】(1)，相应的分贝值为．
(2)时声音强度是时声音强度的10倍．
9．科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14．碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”．动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变．死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年．湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7％，试推算马王堆古墓的年代．
【答案】马王堆古墓是近2200年前的遗址
10．设，，且，求的最小值．
【答案】令，
则，，，；则，则，
代入可得：．
可知：，当且仅当，时取最小值．
11．（1）设都是正数，且，求的值．
（2）已知，且，求：的值．
（3）设，若，求的值．
【答案】（1）令，，，，代入，原式．
（2）利用公式：，证明如下：
，
可得：原式为0．
（3）利用函数奇偶性，令，为奇函数，
由于，
则原式．
12．解方程组：（其中）．
【答案】方程组的解为；．
13．对于正整数和实数，若，且，求证：．
【答案】由取常用对数得．
所以，，，
相加得，由题设，
所以，所以．所以．
若，则因为，所以与题设矛盾，所以．
又，且为70的正约数，所以只有，，．
所以．
2021-2022学年上海市高一第一学期——幂、指数、对数
