广东省佛山市南海区2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2020高一上·南海期中）如图，已知全集 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020高一上·南海期中）已知命题p： ， ，则 是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2020高一上·南海期中）如图中，可作为函数y=f（x）图象的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020高一上·南海期中）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2020高一上·南海期中）下列函数中是偶函数，且在 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020高一上·南海期中）函数 和 的图象关于（ ）
A． 轴对称 B． 轴对称
C．原点对称 D．直线 对称
7．（2020高一上·南海期中）定义在 上的奇函数 满足 且对任意的正数 ( )，有 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020高一上·南海期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.例如： ， ，已知函数 ，则下列选项中，正确的是（ ）
A． 的最大值为1，没有最小值 B． 的最小值为0，没有最大值
C． 没有最大值，没有最小值 D． 的最大值为1，最小值为0
二、多选题
9．（2020高一上·南海期中）已知函数 的图象过点（3，27），下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象过原点 B．函数 是奇函数
C．函数 是单调减函数 D．函数 的值域为
10．（2020高一上·南海期中）如图，某池塘里的浮萍面积 (单位： )与时间 (单位：月)的关系式为 ( ，且 ； 且 ).则下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月增加的面积都相等
B．第6个月时，浮萍的面积会超过
C．浮萍每月的增长率为1
D．若浮萍面积蔓延到 ， ， 所经过的时间分别为 ， ， ，则
11．（2020高一上·南海期中）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2020高一上·南海期中）对任意两个实数 ， ，定义 ，若 ， ，下列关于函数 的说法正确的是（ ）
A．函数 是偶函数
B．方程 有两个实数根
C．函数 在 上单调递增，在 上单调递减
D．函数 有最大值为0，无最小值
三、填空题
13．（2020高一上·南海期中）求值： .
14．（2020高一上·南海期中）若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 .
15．（2020高一上·南海期中）用二分法计算 的一个正数零点附近的函数值，参考数据如下：
那么方程 的一个近似根(精确到0.1)为 .
16．（2020高一上·南海期中） 中的 ， 要分别满足 ， 且 ，小明同学不知道为什么，请你帮他解释为 .
四、解答题
17．（2020高一上·南海期中）设函数 的定义域为集合 ，不等式 的解集为 .
（1）求集合 ， ；
（2）求集合 ， ；
（3）写出集合( )与( )的关系.
18．（2020高一上·南海期中）已知 .
（1）求证： 在 上是增函数；
（2）① ，猜想 与 的大小关系；
②证明①的猜想的结论；
③求函数 的最值.
19．（2020高一上·南海期中）若函数 .
（1）在给定的平面直角坐标系中画出函数 图象；
（2）写出函数 的值域 单调区间；
（3）在① ，② ，③ 这三个式子中任选出一个使其等于 ，求不等式 的解集.
20．（2020高一上·南海期中）人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： ，其中 表示经过的时间， 表示 时的人口数， 表示人口的年平均增长率.
（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末 1959年末的人口总数大约分别为5.5亿和6.7亿.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型．(精确到0.0001)
（2）以（1）中的模型作预测，大约在哪一年我国人口总数达到13亿？(参考数据： ， ， ， ， )
21．（2020高一上·南海期中）已知定义域为R的函数 是奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明；
（3）若对任意的x [1，2]，不等式 成立，求实数m的取值范围.
22．（2020高一上·南海期中）如图， 是边长为2的正三角形，记 位于直线 左侧的图形的面积为 .
（1）求函数 解析式；
（2）画出函数 的图像；
（3）当函数 有且只有一个零点时，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】易见，图中阴影部分表示的集合是 ，
∵全集 ，集合 ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】 利用补集定义和韦恩图能求出图中阴影部分表示的集合.
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】根据全称命题的否定是特称命题，
命题p： ， ，的否定为： ，
故答案为：C
【分析】 根据含有量词的命题的否定形式，将任意改为存在，结论否定，即可写出否命题。
3．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】根据题意，由函数的定义，直线x=a与函数的图象最多只能有1个交点，
而A、B、C中都出现了2个交点的情况，不能作为函数的图象，只有D符合函数的定义，
故答案为：D.
【分析】 根据题意，由函数的定义分析选项，综合即可得答案.
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由 可得 ，
故由“ ”不能推出“ ”，反之，“ ” 能推出“ ”，
故“ ”是“ ”的必要而不充分条件，
故答案为：B.
【分析】 结合充分不必要条件的定义进行判断即可.
5．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于A， 为偶函数，由幂函数的性质可知 在 上单调递增，符合题意；
对于B， 为奇函数，不符合题意；
对于C， 中， ，即 为奇函数，不符合题意；
对于D， 为偶函数，由幂函数的性质可知 在 上单调递减，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】 由函数的奇偶性与单调性逐一判断即可.
6．【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】设 ，则 ，而 的图象与 的图象关于 轴对称，故函数 和 的图象关于 轴对称.
故答案为：B.
【分析】 由函数y=f (x)的图象与y=f (-x)的图象关于y轴对称，即可知已知两函数的对称性，也可利用指数函数的图象判断其对称性。
7．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：∵对任意的正数 ，有 ，
∴函数 在 上单调递减，
∵定义在 上的奇函数 ，且 ，
∴ 在 上单调递减， ，
∴不等式 等价为 或 ，
解得 或 ，
∴不等式的解集为 .
故答案为：C.
【分析】 由对任意的正数a、b(a≠b) ，有，得到函数f(x)在(0， +∞)上单调递减，再根据函数奇偶性和单调性之间的关系解不等式即可.
8．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象
【解析】【解答】由高斯函数的定义可得：
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，
观察可得函数有最小值0，没有最大值.
故答案为：B.
【分析】 由题中的定义首先确定函数的解析式和函数图象的特征，然后结合函数的图象即可确定函数的最值的情况.
9．【答案】A,B,D
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】因为函数 的图象过点（3，27），
所以 ，
A：因为 ，所以函数 的图象过原点，因此本说法正确；
B：因为 ，所以函数 是奇函数，因此本说法正确；
C：因为 是实数集上的单调递增函数，所以本说法不正确；
D：因为 的值域是全体实数集，所以本说法正确.
故答案为：ABD
【分析】根据幂函数的定义和性质分别判断即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，函数过点 和点 ，代入函数关系式： ( ，且 ； ，且 )，
得 ，解得 ，
∴函数关系式为 .
由 不是常数，可知浮萍每个月增加的面积不等，每月的增长率为 1，A不符合题意，C符合题意；
当 时， ，浮萍的面积超过了 ，B符合题意；
令 得 ；令 得 ；令 得 ，
∴ ，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】 由函数过点(1， 1)和点(3， 4)可求出函数关系式 ，再根据解析式逐一判断各选项得答案.
11．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为 ， ， ，
所以 ，当且仅当 时取等号，A符合题意；
由 ， ， 可得 ，所以 ，所以 ，
所以 ，故 ，B符合题意；
结合A选项可知， ，C不符合题意；
，当且仅当 且 即 时取等号，故能推出 ，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】 由已知结合基本不等式的应用条件分别检验各选项即可判断.
12．【答案】A,B,D
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
时， ， ；
或 时， ， .
故 的图象如图所示：
由图可知，函数 是偶函数，A符合题意； 3有两个实数根 或 ，B符合题意；函数 在 上单调递减，在 上单调递增，C不符合题意；函数 有最大值为0，无最小值，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据题目定义，作出函数F (x)的图象，即可判断各项的真假.
13．【答案】6
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：原式 .
故答案为：6.
【分析】 进行对数和分数指数幂的运算即可.
14．【答案】
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】解：由题意知， ，解得 ，
∴实数 的取值范围是 .
故答案为： ．
【分析】 根据一元二次不等式与二次函数之间的联系，即可得解.
15．【答案】1.4
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】由表格可得：函数 的零点在 之间
又因为题中要求精确到0.1， 和 精确到小数点后面一位都是1.4符合要求.
故答案为：1.4.
【分析】 先由题中参考数据可得根在区间内，再利用1.4056和1.438精确到小数点后面一位都是1. .4符合要求可得答案.
16．【答案】设 ，则 ，由于 恒成立，则 ，根据指数函数定义，对于 ，则 且 ，故对数中 且
【知识点】指数函数的概念与表示；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】设 ，则 ，
因为 恒成立，所以 ，
因为指数函数定义，对于 ，则 且 ，
故对数中 且 ，
故答案为：设 ，则 ，由于 恒成立，则 ，根据指数函数定义，对于 ，则 且 ，故对数中 且 .
【分析】 根据对数的定义和指数函数的定义即可得到答案.
17．【答案】（1）解： ， 或 ；
（2） ， 或 ；
（3）由（2）知 ．
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】 (1)由2x-3≥0即可得出集合M，解不等式 即可得出集合N；
(2)进行交集和并集的运算即可；
(3)由(2)可知 。
18．【答案】（1）解：证明：设 ，且 ，
则 ，
∵ ，且 ，∴ ， ，
则 ，∴ ，
则 在 上是增函数；
（2）①解：若 ，猜想 (当且仅当 时等号成立)；
②证明：∵ ，
∴根据函数f(x)单调性可知， (当且仅当 时等号成立)；
③ ，∵ ，∴ ，
其中 时， 取得最小值 ，无最大值，
故 取得最小值 ，无最大值.
【知识点】函数单调性的判断与证明；基本不等式
【解析】【分析】 (1)直接利用函数的单调性证明；
(2)①由不等式的性质猜测 (当且仅当 时等号成立)；
②利用基本不等式证明；
③利用配方法求函数 的最值.
19．【答案】（1）解：由 ，图象如图所示；
（2）由图象可得函数的值域为 ，在 上为减函数，在 上为增函数；
（3）若选①，则 ，即 或 ，
解得 或 ，
即不等式的解集为 ，
若选②，则 ，即 或 ，
解得 或 ，即不等式的解集为 ，
若选③， ，即 或 ，
解得 ，即不等式的解集为 .
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
【解析】【分析】 (1)由 ，根据解析式画图即可；
(2)由图象直接得到结论；
(3)分类讨论，解不等式组即可.
20．【答案】（1）解：由条件知，研究的是1950年开始的人口变化，即 时， ，
时， ，
则 ，得 ，
又 ， ，
∴ ，得 ，
∴我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型为 ；
（2）将 代入 ，得 ，
∴ ，
得 .
故以（1）中的模型作预测，大约在1990年我国人口总数达到13亿．
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【分析】 (1)由题意得 ，求得r值，即可得到我国在1950 ~ 1959年期间的具体人口增长模型；
(2)将y=13代入 ， 求得t，即可预测我国人口总数达到13亿的年份.
21．【答案】（1）因为函数的定义域为R，所以 .
经检验当a=1时，有 ，所以 .
（2） ，
函数在定义域内单调递增，证明如下：
设 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以函数在R上单调递增.
（3）若对任意的x [1，2]， 成立，
所以 ，
所以 ，
所以 .
所以
当且仅当 时取等.
所以 .
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1）由求出a，再检验即可；
（2）任取x1， x2∈R，且 ，利用作差判断f(x2)与f (x1)的大小，根据单调性的定义可作出判断；
（3）根据函数的单调性的性质化简得 ，求解可得实数m的取值范围.
22．【答案】（1）当 时，
当 时，
当 时，
，
（2）图象如图，
（3）当 时，
当 时，直线 过点 ，这两点都在 的图像上
当 时，直线 与射线 有一个交点
当 时，直线 逆时针旋转时与 图像有两个交点，相切时有一个交点，且与射线 无交点 .
此时
或
当 时
在 内
当 时 不在 内
当 或 时，直线 与的图像无交点
综上，当 时，直线 与 有一个交点
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点
【解析】【分析】 (1)利用分段函数，求函数f (t)的解析式；
(2)利用(1)的解析式作出函数的图象；
(3)求出g(t) =f(t) -at的表达式，利用g(t)=f(t) -at有且只有一个零点时，求a的值.
1 / 1广东省佛山市南海区2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2020高一上·南海期中）如图，已知全集 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】易见，图中阴影部分表示的集合是 ，
∵全集 ，集合 ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】 利用补集定义和韦恩图能求出图中阴影部分表示的集合.
2．（2020高一上·南海期中）已知命题p： ， ，则 是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】根据全称命题的否定是特称命题，
命题p： ， ，的否定为： ，
故答案为：C
【分析】 根据含有量词的命题的否定形式，将任意改为存在，结论否定，即可写出否命题。
3．（2020高一上·南海期中）如图中，可作为函数y=f（x）图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】根据题意，由函数的定义，直线x=a与函数的图象最多只能有1个交点，
而A、B、C中都出现了2个交点的情况，不能作为函数的图象，只有D符合函数的定义，
故答案为：D.
【分析】 根据题意，由函数的定义分析选项，综合即可得答案.
4．（2020高一上·南海期中）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由 可得 ，
故由“ ”不能推出“ ”，反之，“ ” 能推出“ ”，
故“ ”是“ ”的必要而不充分条件，
故答案为：B.
【分析】 结合充分不必要条件的定义进行判断即可.
5．（2020高一上·南海期中）下列函数中是偶函数，且在 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于A， 为偶函数，由幂函数的性质可知 在 上单调递增，符合题意；
对于B， 为奇函数，不符合题意；
对于C， 中， ，即 为奇函数，不符合题意；
对于D， 为偶函数，由幂函数的性质可知 在 上单调递减，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】 由函数的奇偶性与单调性逐一判断即可.
6．（2020高一上·南海期中）函数 和 的图象关于（ ）
A． 轴对称 B． 轴对称
C．原点对称 D．直线 对称
【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】设 ，则 ，而 的图象与 的图象关于 轴对称，故函数 和 的图象关于 轴对称.
故答案为：B.
【分析】 由函数y=f (x)的图象与y=f (-x)的图象关于y轴对称，即可知已知两函数的对称性，也可利用指数函数的图象判断其对称性。
7．（2020高一上·南海期中）定义在 上的奇函数 满足 且对任意的正数 ( )，有 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：∵对任意的正数 ，有 ，
∴函数 在 上单调递减，
∵定义在 上的奇函数 ，且 ，
∴ 在 上单调递减， ，
∴不等式 等价为 或 ，
解得 或 ，
∴不等式的解集为 .
故答案为：C.
【分析】 由对任意的正数a、b(a≠b) ，有，得到函数f(x)在(0， +∞)上单调递减，再根据函数奇偶性和单调性之间的关系解不等式即可.
8．（2020高一上·南海期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.例如： ， ，已知函数 ，则下列选项中，正确的是（ ）
A． 的最大值为1，没有最小值 B． 的最小值为0，没有最大值
C． 没有最大值，没有最小值 D． 的最大值为1，最小值为0
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象
【解析】【解答】由高斯函数的定义可得：
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，
观察可得函数有最小值0，没有最大值.
故答案为：B.
【分析】 由题中的定义首先确定函数的解析式和函数图象的特征，然后结合函数的图象即可确定函数的最值的情况.
二、多选题
9．（2020高一上·南海期中）已知函数 的图象过点（3，27），下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象过原点 B．函数 是奇函数
C．函数 是单调减函数 D．函数 的值域为
【答案】A,B,D
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】因为函数 的图象过点（3，27），
所以 ，
A：因为 ，所以函数 的图象过原点，因此本说法正确；
B：因为 ，所以函数 是奇函数，因此本说法正确；
C：因为 是实数集上的单调递增函数，所以本说法不正确；
D：因为 的值域是全体实数集，所以本说法正确.
故答案为：ABD
【分析】根据幂函数的定义和性质分别判断即可.
10．（2020高一上·南海期中）如图，某池塘里的浮萍面积 (单位： )与时间 (单位：月)的关系式为 ( ，且 ； 且 ).则下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月增加的面积都相等
B．第6个月时，浮萍的面积会超过
C．浮萍每月的增长率为1
D．若浮萍面积蔓延到 ， ， 所经过的时间分别为 ， ， ，则
【答案】B,C,D
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，函数过点 和点 ，代入函数关系式： ( ，且 ； ，且 )，
得 ，解得 ，
∴函数关系式为 .
由 不是常数，可知浮萍每个月增加的面积不等，每月的增长率为 1，A不符合题意，C符合题意；
当 时， ，浮萍的面积超过了 ，B符合题意；
令 得 ；令 得 ；令 得 ，
∴ ，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】 由函数过点(1， 1)和点(3， 4)可求出函数关系式 ，再根据解析式逐一判断各选项得答案.
11．（2020高一上·南海期中）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为 ， ， ，
所以 ，当且仅当 时取等号，A符合题意；
由 ， ， 可得 ，所以 ，所以 ，
所以 ，故 ，B符合题意；
结合A选项可知， ，C不符合题意；
，当且仅当 且 即 时取等号，故能推出 ，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】 由已知结合基本不等式的应用条件分别检验各选项即可判断.
12．（2020高一上·南海期中）对任意两个实数 ， ，定义 ，若 ， ，下列关于函数 的说法正确的是（ ）
A．函数 是偶函数
B．方程 有两个实数根
C．函数 在 上单调递增，在 上单调递减
D．函数 有最大值为0，无最小值
【答案】A,B,D
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
时， ， ；
或 时， ， .
故 的图象如图所示：
由图可知，函数 是偶函数，A符合题意； 3有两个实数根 或 ，B符合题意；函数 在 上单调递减，在 上单调递增，C不符合题意；函数 有最大值为0，无最小值，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据题目定义，作出函数F (x)的图象，即可判断各项的真假.
三、填空题
13．（2020高一上·南海期中）求值： .
【答案】6
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：原式 .
故答案为：6.
【分析】 进行对数和分数指数幂的运算即可.
14．（2020高一上·南海期中）若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】解：由题意知， ，解得 ，
∴实数 的取值范围是 .
故答案为： ．
【分析】 根据一元二次不等式与二次函数之间的联系，即可得解.
15．（2020高一上·南海期中）用二分法计算 的一个正数零点附近的函数值，参考数据如下：
那么方程 的一个近似根(精确到0.1)为 .
【答案】1.4
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】由表格可得：函数 的零点在 之间
又因为题中要求精确到0.1， 和 精确到小数点后面一位都是1.4符合要求.
故答案为：1.4.
【分析】 先由题中参考数据可得根在区间内，再利用1.4056和1.438精确到小数点后面一位都是1. .4符合要求可得答案.
16．（2020高一上·南海期中） 中的 ， 要分别满足 ， 且 ，小明同学不知道为什么，请你帮他解释为 .
【答案】设 ，则 ，由于 恒成立，则 ，根据指数函数定义，对于 ，则 且 ，故对数中 且
【知识点】指数函数的概念与表示；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】设 ，则 ，
因为 恒成立，所以 ，
因为指数函数定义，对于 ，则 且 ，
故对数中 且 ，
故答案为：设 ，则 ，由于 恒成立，则 ，根据指数函数定义，对于 ，则 且 ，故对数中 且 .
【分析】 根据对数的定义和指数函数的定义即可得到答案.
四、解答题
17．（2020高一上·南海期中）设函数 的定义域为集合 ，不等式 的解集为 .
（1）求集合 ， ；
（2）求集合 ， ；
（3）写出集合( )与( )的关系.
【答案】（1）解： ， 或 ；
（2） ， 或 ；
（3）由（2）知 ．
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】 (1)由2x-3≥0即可得出集合M，解不等式 即可得出集合N；
(2)进行交集和并集的运算即可；
(3)由(2)可知 。
18．（2020高一上·南海期中）已知 .
（1）求证： 在 上是增函数；
（2）① ，猜想 与 的大小关系；
②证明①的猜想的结论；
③求函数 的最值.
【答案】（1）解：证明：设 ，且 ，
则 ，
∵ ，且 ，∴ ， ，
则 ，∴ ，
则 在 上是增函数；
（2）①解：若 ，猜想 (当且仅当 时等号成立)；
②证明：∵ ，
∴根据函数f(x)单调性可知， (当且仅当 时等号成立)；
③ ，∵ ，∴ ，
其中 时， 取得最小值 ，无最大值，
故 取得最小值 ，无最大值.
【知识点】函数单调性的判断与证明；基本不等式
【解析】【分析】 (1)直接利用函数的单调性证明；
(2)①由不等式的性质猜测 (当且仅当 时等号成立)；
②利用基本不等式证明；
③利用配方法求函数 的最值.
19．（2020高一上·南海期中）若函数 .
（1）在给定的平面直角坐标系中画出函数 图象；
（2）写出函数 的值域 单调区间；
（3）在① ，② ，③ 这三个式子中任选出一个使其等于 ，求不等式 的解集.
【答案】（1）解：由 ，图象如图所示；
（2）由图象可得函数的值域为 ，在 上为减函数，在 上为增函数；
（3）若选①，则 ，即 或 ，
解得 或 ，
即不等式的解集为 ，
若选②，则 ，即 或 ，
解得 或 ，即不等式的解集为 ，
若选③， ，即 或 ，
解得 ，即不等式的解集为 .
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
【解析】【分析】 (1)由 ，根据解析式画图即可；
(2)由图象直接得到结论；
(3)分类讨论，解不等式组即可.
20．（2020高一上·南海期中）人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： ，其中 表示经过的时间， 表示 时的人口数， 表示人口的年平均增长率.
（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末 1959年末的人口总数大约分别为5.5亿和6.7亿.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型．(精确到0.0001)
（2）以（1）中的模型作预测，大约在哪一年我国人口总数达到13亿？(参考数据： ， ， ， ， )
【答案】（1）解：由条件知，研究的是1950年开始的人口变化，即 时， ，
时， ，
则 ，得 ，
又 ， ，
∴ ，得 ，
∴我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型为 ；
（2）将 代入 ，得 ，
∴ ，
得 .
故以（1）中的模型作预测，大约在1990年我国人口总数达到13亿．
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【分析】 (1)由题意得 ，求得r值，即可得到我国在1950 ~ 1959年期间的具体人口增长模型；
(2)将y=13代入 ， 求得t，即可预测我国人口总数达到13亿的年份.
21．（2020高一上·南海期中）已知定义域为R的函数 是奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明；
（3）若对任意的x [1，2]，不等式 成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）因为函数的定义域为R，所以 .
经检验当a=1时，有 ，所以 .
（2） ，
函数在定义域内单调递增，证明如下：
设 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以函数在R上单调递增.
（3）若对任意的x [1，2]， 成立，
所以 ，
所以 ，
所以 .
所以
当且仅当 时取等.
所以 .
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1）由求出a，再检验即可；
（2）任取x1， x2∈R，且 ，利用作差判断f(x2)与f (x1)的大小，根据单调性的定义可作出判断；
（3）根据函数的单调性的性质化简得 ，求解可得实数m的取值范围.
22．（2020高一上·南海期中）如图， 是边长为2的正三角形，记 位于直线 左侧的图形的面积为 .
（1）求函数 解析式；
（2）画出函数 的图像；
（3）当函数 有且只有一个零点时，求 的值.
【答案】（1）当 时，
当 时，
当 时，
，
（2）图象如图，
（3）当 时，
当 时，直线 过点 ，这两点都在 的图像上
当 时，直线 与射线 有一个交点
当 时，直线 逆时针旋转时与 图像有两个交点，相切时有一个交点，且与射线 无交点 .
此时
或
当 时
在 内
当 时 不在 内
当 或 时，直线 与的图像无交点
综上，当 时，直线 与 有一个交点
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点
【解析】【分析】 (1)利用分段函数，求函数f (t)的解析式；
(2)利用(1)的解析式作出函数的图象；
(3)求出g(t) =f(t) -at的表达式，利用g(t)=f(t) -at有且只有一个零点时，求a的值.
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