福建省三明市三地三校2020-2021学年高一上学期数学期中联考试卷

福建省三明市三地三校2020-2021学年高一上学期数学期中联考试卷
一、单选题
1．（2020高一上·三明期中）不等式 的解集是（　　）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】A
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】不等式 ，
解得 ，
所以不等式的解集是 ，
故答案为：A
【分析】 利用一元二次不等式的解法求解。
2．（2019高一上·阜新月考）函数 在 上是减函数．则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的性质与图象
【解析】【解答】解：根据题意，函数 在 上是减函数，
则有 ，
解可得 ，
故答案为：B．
【分析】根据题意，由一次函数的性质可得要使函数单调递减，则斜率为负数，从而可得答案．
3．（2020高一上·三明期中）计算 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】由题意可得 .
故答案为：B.
【分析】利用指数的运算性质可得出答案。
4．（2020高一上·三明期中）已知某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……依此类推，那么1个这样的细胞分裂3次后，得到的细胞个数为（　　）
A．4个 B．8个 C．16个 D．32个
【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】1个这样的细胞分裂1次后，得到的细胞个数为 个，
分裂2次后，得到的细胞个数为 个，
分裂3次后，得到的细胞个数为 个.
故答案为：B.
【分析】 由题意弄清细胞分裂数与分裂次数之间的关系，利用等比数列的性质能求出结果.
5．（2020高一上·三明期中）函数 的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】函数 是偶函数，且在 上为增函数，结合各选项可知A符合题意．
故答案为：A
【分析】 由f(-x)=f(x)可知函数为偶函数，在 上为增函数，由图象关于y轴对称，即可选出答案。
6．（2020高一上·三明期中）函数 （ 且 ）恒过定点（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】令 ，解得： ，此时 ，故函数恒过 .
故答案为：B
【分析】 令x-1=0，求出x的值，代入函数的解析式即可.
7．（2020高一上·三明期中）已知 ，且 ，则 最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，且
所以 （当且仅当 时取等号）
即 ，
所以
故答案为：D.
【分析】 利用基本不等式的性质进行求解即可.
8．（2020高一上·三明期中）若函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的性质
【解析】【解答】 函数 是开口向上的抛物线，
对称轴为
保证在区间 上是减函数， 则
即 .
故答案为：B.
【分析】 由顶点公式可得出对称轴，对称轴应在(-∞，2]的右侧，可得不等式，求解.
二、多选题
9．（2019高一上·葫芦岛月考）已知集合 ，则有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】由题得集合 ，
由于空集是任何集合的子集，A符合题意：
因为 ，所以CD符合题意，B不符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】先化简集合 ,再对每一个选项分析判断得解.
10．（2020高一上·三明期中）选出下列正确的不等式（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】对于A中，由指数函数 在 上为单调递增函数，可得 ，所以A符合题意；
对于B中，由指数函数 在 上为递减函数，可得 ，所以B不正确；
对于C中，由对数函数 在 为递增函数，可得 ，所以C符合题意；
对于D中，由对数函数 在 为递减函数，可得 ，所以D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 根据指数函数的单调性可得A正确，B错误，根据对数函数的单调性可得CD正确.
11．（2020高一上·三明期中）下列说法正确的是（　　）
A．命题“ ”的否定是“ ”
B．命题“ ”的否定是“ ”
C．“ ”是“ ”的必要而不充分条件
D．“ ”是“关于x的方程 有两个不相等的实数根”的充要条件
【答案】B,D
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】A..命题“ ”的否定是“ ”，故错误；
B.命题“ ”的否定是“ ”，故正确；
C. 当 时，满足 ，但 ，故不充分；当 时，满足 当 ，故不必要，故错误；
D. 当 时， ，所以是“关于x的方程 有两个不相等的实数根”，
当“关于x的方程 有两个不相等的实数根”，则 ，解得 ，故正确；
故答案为：BD
【分析】 A，利用含有一个量词的命题否定的定义判断； B，利用含有一个量调的命题否定的定义判断；C举例判断； D，根据充分条件和心要条件的定义，利用判别式判断。
12．（2020高一上·三明期中）已知 ，则下列推证中不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】解：A． 时不成立．
B． 时不成立．
C． ，两边同除以 ，可得 ，正确．
D．由 ， ，取 ，可得 ，不成立．
故答案为：ABD．
【分析】 利用不等式的性质及赋值法逐项判断即可.
三、填空题
13．（2020高一上·三明期中）设函数 ，则 　 　．
【答案】16
【知识点】函数的值
【解析】【解答】∵函数 ，∴ ．
故答案为：16
【分析】 由-4<1，得到f(-4)=(-4)2，由此能求出结果.
14．（2019高一上·临河月考）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ,则 　 　.
【答案】12
【知识点】奇函数；函数的值
【解析】【解答】函数 是定义在 上的奇函数， ，则 ，
.
【分析】由函数的奇偶性可知 ，代入函数解析式即可求出结果.
15．（2016高一上·张家港期中）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2， ），则f（9）=　 　．
【答案】3
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】解：由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（2， ），
得 =2a，a=
∴y=f（x）=
∴f（9）=3．
故答案为：3．
【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（16）的值
16．（2019高一上·宜宾月考）若函数 是奇函数，则a=　 　．
【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】 为奇函数，且定义域为 ，
则 ， 。
【分析】利用函数的定义域结合奇函数的性质，从而求出a的值。
四、解答题
17．（2020高一上·三明期中）已知 ， ．
（1）求 、 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ，
．
（2）
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】 (1)由 ， ，能求出f(2)和g(9)的值；
(2)先求出g(3)= 3，从而f[g(3)]=f(3)，由此能求出结果.
18．（2020高一上·天津月考）已知集合 ， 或 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，且“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：∵当 时， ， 或 ，
∴ 或
（2）解：∵ 或 ，∴ ，
由“ ”是“ ”的充分不必要条件，得A是 的真子集，且 ，
又 ，∴ ．
【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）求出集合 ，即可得解；（2）根据题意A是 的真子集，且 ，根据集合的关系求解参数的取值范围.
19．（2020高一上·三明期中）已知函数
（1）在给出的坐标系中画出函数 的图象．
（2）根据图象写出函数的单调区间和值域．
【答案】（1）利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出分段函数 的图象为：
（2）由函数的图象可知，函数 的单调递增区间为
单调递减区间为 ，
函数 的值域为
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
【解析】【分析】（1） 利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出分段函数 的图象 ；
（2） 由函数的图象可知，函数 的单调递增区间 ， 单调递减区间 ， 函数 的值域 。
20．（2020高一上·三明期中）已知函数
（1）若函数 的图象过点 ．求实数m的值，并证明函数 为奇函数；
（2）若 ，用单调性的定义证明函数 在 上单调递增．
【答案】（1）根据题意，函数 的图象过点
则有 ，
解得 ，则 ，
其定义域为 ，
，都有 ，
且 ，
则函数 为奇函数.
（2）证明：设 ，
则 ，
又由 ，
则 ，
则 ，
则函数 在 上为增函数
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】 (1)由f(1) =1可求得m的值，利用函数奇偶性的定义即可证明函数为奇函数；
(2)利用单调性的定义即可得证.
21．（2020高一上·三明期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费 （单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位： ）成反比，每月库存货物费 （单位：万元）与x成正比；若在距离车站 处建仓库，则 和 分别为5万元和3.2万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？
【答案】设 ， ，当 时， ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴两项费用之和为
当且仅当 时，即当 时等号成立
答：应将这家仓库建在距离车站 处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为8万元．
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式
【解析】【分析】 由题意设 ， ，分别求出k与t的值，作和后利用基本不等式求最值，则答案可求.
22．（2020高一上·三明期中）设函数 ．
（1）求函数 的定义域
（2）若 ，求函数 在区间 上的最大值．
（3）解不等式： ．
【答案】（1）由 得 ，所以函数 的定义域为 ．
（2）因为 ，所以 ，所以 ．
，
所以当 时， 是增函数；当 时， 是减函数，
故函数 在 上的最大值是 ．
（3）当 时 解得 不等式解集为：
当 时 解得 不等式解集为：
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的值域与最值；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】 (1)根据f(x)可得 ，然后解不等式得到f(x)的定义域；
(2)先根据f(1)=2求出a的值，然后化简f(x)，求出f(x)在[0，上的最大值；
(3)根据 ，分a> 1和01 / 1福建省三明市三地三校2020-2021学年高一上学期数学期中联考试卷
一、单选题
1．（2020高一上·三明期中）不等式 的解集是（　　）
A． B． 或
C． D． 或
2．（2019高一上·阜新月考）函数 在 上是减函数．则（　　）
A． B． C． D．
3．（2020高一上·三明期中）计算 （　　）
A． B． C． D．
4．（2020高一上·三明期中）已知某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……依此类推，那么1个这样的细胞分裂3次后，得到的细胞个数为（　　）
A．4个 B．8个 C．16个 D．32个
5．（2020高一上·三明期中）函数 的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2020高一上·三明期中）函数 （ 且 ）恒过定点（　　）
A． B． C． D．
7．（2020高一上·三明期中）已知 ，且 ，则 最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2020高一上·三明期中）若函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2019高一上·葫芦岛月考）已知集合 ，则有（　　）
A． B．
C． D．
10．（2020高一上·三明期中）选出下列正确的不等式（　　）
A． B．
C． D．
11．（2020高一上·三明期中）下列说法正确的是（　　）
A．命题“ ”的否定是“ ”
B．命题“ ”的否定是“ ”
C．“ ”是“ ”的必要而不充分条件
D．“ ”是“关于x的方程 有两个不相等的实数根”的充要条件
12．（2020高一上·三明期中）已知 ，则下列推证中不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2020高一上·三明期中）设函数 ，则 　 　．
14．（2019高一上·临河月考）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ,则 　 　.
15．（2016高一上·张家港期中）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2， ），则f（9）=　 　．
16．（2019高一上·宜宾月考）若函数 是奇函数，则a=　 　．
四、解答题
17．（2020高一上·三明期中）已知 ， ．
（1）求 、 的值；
（2）求 的值．
18．（2020高一上·天津月考）已知集合 ， 或 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，且“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．（2020高一上·三明期中）已知函数
（1）在给出的坐标系中画出函数 的图象．
（2）根据图象写出函数的单调区间和值域．
20．（2020高一上·三明期中）已知函数
（1）若函数 的图象过点 ．求实数m的值，并证明函数 为奇函数；
（2）若 ，用单调性的定义证明函数 在 上单调递增．
21．（2020高一上·三明期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费 （单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位： ）成反比，每月库存货物费 （单位：万元）与x成正比；若在距离车站 处建仓库，则 和 分别为5万元和3.2万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？
22．（2020高一上·三明期中）设函数 ．
（1）求函数 的定义域
（2）若 ，求函数 在区间 上的最大值．
（3）解不等式： ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】不等式 ，
解得 ，
所以不等式的解集是 ，
故答案为：A
【分析】 利用一元二次不等式的解法求解。
2．【答案】B
【知识点】一次函数的性质与图象
【解析】【解答】解：根据题意，函数 在 上是减函数，
则有 ，
解可得 ，
故答案为：B．
【分析】根据题意，由一次函数的性质可得要使函数单调递减，则斜率为负数，从而可得答案．
3．【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】由题意可得 .
故答案为：B.
【分析】利用指数的运算性质可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】1个这样的细胞分裂1次后，得到的细胞个数为 个，
分裂2次后，得到的细胞个数为 个，
分裂3次后，得到的细胞个数为 个.
故答案为：B.
【分析】 由题意弄清细胞分裂数与分裂次数之间的关系，利用等比数列的性质能求出结果.
5．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】函数 是偶函数，且在 上为增函数，结合各选项可知A符合题意．
故答案为：A
【分析】 由f(-x)=f(x)可知函数为偶函数，在 上为增函数，由图象关于y轴对称，即可选出答案。
6．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】令 ，解得： ，此时 ，故函数恒过 .
故答案为：B
【分析】 令x-1=0，求出x的值，代入函数的解析式即可.
7．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，且
所以 （当且仅当 时取等号）
即 ，
所以
故答案为：D.
【分析】 利用基本不等式的性质进行求解即可.
8．【答案】B
【知识点】二次函数的性质
【解析】【解答】 函数 是开口向上的抛物线，
对称轴为
保证在区间 上是减函数， 则
即 .
故答案为：B.
【分析】 由顶点公式可得出对称轴，对称轴应在(-∞，2]的右侧，可得不等式，求解.
9．【答案】A,C,D
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】由题得集合 ，
由于空集是任何集合的子集，A符合题意：
因为 ，所以CD符合题意，B不符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】先化简集合 ,再对每一个选项分析判断得解.
10．【答案】A,C,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】对于A中，由指数函数 在 上为单调递增函数，可得 ，所以A符合题意；
对于B中，由指数函数 在 上为递减函数，可得 ，所以B不正确；
对于C中，由对数函数 在 为递增函数，可得 ，所以C符合题意；
对于D中，由对数函数 在 为递减函数，可得 ，所以D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 根据指数函数的单调性可得A正确，B错误，根据对数函数的单调性可得CD正确.
11．【答案】B,D
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】A..命题“ ”的否定是“ ”，故错误；
B.命题“ ”的否定是“ ”，故正确；
C. 当 时，满足 ，但 ，故不充分；当 时，满足 当 ，故不必要，故错误；
D. 当 时， ，所以是“关于x的方程 有两个不相等的实数根”，
当“关于x的方程 有两个不相等的实数根”，则 ，解得 ，故正确；
故答案为：BD
【分析】 A，利用含有一个量词的命题否定的定义判断； B，利用含有一个量调的命题否定的定义判断；C举例判断； D，根据充分条件和心要条件的定义，利用判别式判断。
12．【答案】A,B,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】解：A． 时不成立．
B． 时不成立．
C． ，两边同除以 ，可得 ，正确．
D．由 ， ，取 ，可得 ，不成立．
故答案为：ABD．
【分析】 利用不等式的性质及赋值法逐项判断即可.
13．【答案】16
【知识点】函数的值
【解析】【解答】∵函数 ，∴ ．
故答案为：16
【分析】 由-4<1，得到f(-4)=(-4)2，由此能求出结果.
14．【答案】12
【知识点】奇函数；函数的值
【解析】【解答】函数 是定义在 上的奇函数， ，则 ，
.
【分析】由函数的奇偶性可知 ，代入函数解析式即可求出结果.
15．【答案】3
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】解：由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（2， ），
得 =2a，a=
∴y=f（x）=
∴f（9）=3．
故答案为：3．
【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（16）的值
16．【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】 为奇函数，且定义域为 ，
则 ， 。
【分析】利用函数的定义域结合奇函数的性质，从而求出a的值。
17．【答案】（1） ，
．
（2）
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】 (1)由 ， ，能求出f(2)和g(9)的值；
(2)先求出g(3)= 3，从而f[g(3)]=f(3)，由此能求出结果.
18．【答案】（1）解：∵当 时， ， 或 ，
∴ 或
（2）解：∵ 或 ，∴ ，
由“ ”是“ ”的充分不必要条件，得A是 的真子集，且 ，
又 ，∴ ．
【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）求出集合 ，即可得解；（2）根据题意A是 的真子集，且 ，根据集合的关系求解参数的取值范围.
19．【答案】（1）利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出分段函数 的图象为：
（2）由函数的图象可知，函数 的单调递增区间为
单调递减区间为 ，
函数 的值域为
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
【解析】【分析】（1） 利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出分段函数 的图象 ；
（2） 由函数的图象可知，函数 的单调递增区间 ， 单调递减区间 ， 函数 的值域 。
20．【答案】（1）根据题意，函数 的图象过点
则有 ，
解得 ，则 ，
其定义域为 ，
，都有 ，
且 ，
则函数 为奇函数.
（2）证明：设 ，
则 ，
又由 ，
则 ，
则 ，
则函数 在 上为增函数
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】 (1)由f(1) =1可求得m的值，利用函数奇偶性的定义即可证明函数为奇函数；
(2)利用单调性的定义即可得证.
21．【答案】设 ， ，当 时， ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴两项费用之和为
当且仅当 时，即当 时等号成立
答：应将这家仓库建在距离车站 处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为8万元．
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式
【解析】【分析】 由题意设 ， ，分别求出k与t的值，作和后利用基本不等式求最值，则答案可求.
22．【答案】（1）由 得 ，所以函数 的定义域为 ．
（2）因为 ，所以 ，所以 ．
，
所以当 时， 是增函数；当 时， 是减函数，
故函数 在 上的最大值是 ．
（3）当 时 解得 不等式解集为：
当 时 解得 不等式解集为：
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的值域与最值；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】 (1)根据f(x)可得 ，然后解不等式得到f(x)的定义域；
(2)先根据f(1)=2求出a的值，然后化简f(x)，求出f(x)在[0，上的最大值；
(3)根据 ，分a> 1和01 / 1