第四章
数列
4.4
数学归纳法
教学设计
一、教学目标
1.了解数学归纳法的原理及适用范围.
2.掌握数学归纳法证明的两个步骤和一个结论.
3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
二、教学重难点
1、教学重点
数学归纳法的原理及应用.
2、教学难点
数学归纳法原理与证明.
三、教学过程
1、新课导入
在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列的通项公式等，但没有给出严格的数学证明，那么，对于这类与正整数n有关的命题，怎样证明它对每一个正整数n都成立呢？本节课我们就来学习一种重要的证明方法——数学归纳法.
2、探索新知
数学归纳法原理：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
数学归纳法中的两个步骤之间的关系：
记是一个关于正整数n的命题，用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：（1）为真；（2）若，为真，则也为真.
结论：为真.
在数学归纳法的两步中，第一步证明了当时结论成立，即命题为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若为真，则也为真.完成这两步，就有真，真……真，真……，从而完成证明.
例1
用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么①对任何都成立.
分析：因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应证明时命题成立，第二步要明确证明的目标，即要证明一个新命题：如果时①式是正确的，那么时①式也是正确的.
证明：（1）当时，左边，右边，①式成立.
（2）假设当时，①式成立，即，
根据等差数列的定义，有，
于是，
即当时，①式也成立.
由（1）（2）可知，①式对任何都成立.
例2
用数学归纳法证明：.②
证明：（1）当时，②式的左边，
右边，
所以②式成立.
（2）假设当时，②式成立，即，
两边同时加上，有
，
即当时，②式也成立.
由（1）（2）可知，②式对任何都成立.
例3
已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
解：由，可得.
由，可得.
同理可得，，.
归纳上述结果，猜想.③
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当时，③式左边，右边，猜想成立.
（2）假设当时，③式成立，即，
那么，
即当时，猜想也成立.
由（1）（2）可知，猜想对任何都成立.
例4
设为正实数，为大于1的正整数，若数列1，，，…，，…的前项和为，试比较与的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
分析：该问题中涉及两个字母和n，x是正实数，是大于1的正整数.
一种思路是不求和，而直接通过取特殊值比较与的大小关系，并作出猜想；另一种思路是先由等比数列的求和公式求出，再通过取特殊值比较与的大小关系后作出猜想.
两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想.
解法1：由已知可得，
当时，，由，可得；
当时，，由，可得.
由此猜想，当，且时，.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当时，由上述过程知，不等式成立.
（2）假设当，且时，不等式成立，即，
由，可得，所以
于是，
所以当时，不等式也成立.
由（1）（2）可知，不等式对任何大于1的正整数都成立.
解法2：显然所给数列是等比数列，公比为，于是
.
当时，，由，可得；
当时，，由，可得.
由此猜想，当，，且时，都有.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当时，由上述过程知，不等式成立.
（2）假设当，且时，不等式成立，即，
由，知，
所以
.
又，所以.
所以当时，不等式也成立.
由（1）（2）可知，不等式对任何大于1的正整数都成立.
3、课堂练习
1.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成(
)
A.假设当时成立，再推出当时成立
B.假设当时成立，再推出当时成立
C.假设当时成立，再推出当时成立
D.假设当时成立，再推出当时成立
答案：B
解析：第二步假设当时成立，再推出当时成立.
故选B.
2.用数学归纳法证明“”，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：由所证明的等式可知，当时，右边.故选D.
3.用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为(
)
A.k
B.
C.
D.
答案：B
解析：由题意知，当时，左边，当时，
左边，所以从到时，左边增加的项数为.故选B.
4、小结作业
小结：本节课学习了数学归纳法的原理及应用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
4.4
数学归纳法
1.数学归纳法原理：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”.
完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
2.数学归纳法中的两个步骤之间的关系：记是一个关于正整数n的命题，用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：（1）为真；（2）若，为真，则也为真.
结论：为真.(共41张PPT)
4.4
数学归纳法
第四章
数列
学习目标
1.了解数学归纳法的原理及适用范围.
2.掌握数学归纳法证明的两个步骤和一个结论.
3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
探索新知
1.数学归纳法原理
数学归纳法用法口诀
两个步骤要做到，
递推基础不可少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉。
2.数学归纳法中的两个步骤之间的关系
“归纳—猜想—证明”的一般步骤
（1）计算：根据条件，计算若干项；
（2）归纳猜想：通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论；
（3）证明：用数学归纳法证明，证明时两步缺一不可.
例题剖析
课堂小练
课堂小结
——你学到了那些新知识呢？
本节课学习了数学归纳法的原理及应用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
谢谢观看！
