【精品解析】福建省福州市闽江口联盟校2020-2021学年高一上学期数学期中联考试卷

福建省福州市闽江口联盟校2020-2021学年高一上学期数学期中联考试卷
一、单选题
1．（2020高一上·福州期中）已知集合A={ }， ，则 等于（　　）
A．1 B．-1 C．1或-1 D．1或
2．（2019高一上·蕉岭月考）函数 的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2020高一上·福州期中）下列函数是偶函数且在(0，+∞)是增函数的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高一上·福州期中）函数 与函数 的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2020高一上·福州期中）不等式 的解集是（　　）
A．(-1，3] B．(-1，3)
C．[-1，3] D．(-∞，-1]∪[3，+∞)
6．（2020高一上·福州期中）三个数 ， ， 之间的大小关系是（　　）
A．< < B．< < C．< < D．< <
7．（2020高一上·福州期中）如果函数 在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2019高一上·嘉善月考）若函数 为定义在R上的奇函数,且在 内是增函数,又 ,则不等式 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2020高一上·福州期中）下列说法正确的是（　　）
A． 是 的充分不必要条件
B． 是 的必要不充分条件
C． 是 的充分不必要条件
D． 是 的必要不充分条件
10．（2020高一上·福州期中）下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， ，则 D．若 ，则
11．（2020高一上·福州期中）下列函数相等的是（　　）
A．函数 与函数
B．函数 与函数
C．函数 与函数
D．函数 与函数
12．（2020高一上·福州期中）设 ， 都是集合 的子集，如果 叫做集合 的长度，则下列说法正确的是（　　）
A．集合 的长度为
B．集合 的长度为
C．集合 的长度最小值为
D．集合 的长度最大值为
三、填空题
13．（2020高一上·福州期中） 的否定是　 　
14．（2020高一上·福州期中）已知 且 都为正数，求 的最大值　 　.
15．（2020高一上·福州期中）函数 ，则 的值为　 　．
16．（2020高一上·福州期中）当 时，幂函数 为减函数，则 的值为　 　.
四、解答题
17．（2020高一上·福州期中）计算 .
18．（2020高一上·福州期中）已知不等式 在R上恒成立，求 的取值范围.
19．（2020高一上·福州期中）已知函数 ( 且 )，图像经过点（2，4），
（1）求 的值
（2）求函数 的值域
20．（2020高一上·福州期中）已知全集 ，集合 ， ，
（1）求 ，
（2）若集合 是集合 的子集，求实数 的取值范围
21．（2020高一上·福州期中）已知奇函数 ，且
（1）确定函数 的解析式
（2）证明函数 在（-1，1）上是增函数
22．（2020高一上·福州期中）（已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元.设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为 万美元，且 .
（1）写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；
（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】因为 ，所以 或 ，
当 时，解得 或 ，
当 时，此时集合 ，符合集合元互异性，
当 时， ，不符合集合元互异性，
当 时， ，此时 ，符合集合元互异性，
所以 等于1或 ，
故答案为：D
【分析】 根据可构造方程求得结果.
2．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】依题意 ，解得 .
故答案为：D.
【分析】根据分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数 的定义域.
3．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】因为指数函数不具有奇偶性，所以排除A、D，
因为幂函数 的定义域为非负实数集，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故排除，
二次函数 图象关于纵轴对称，所以该二次函数是偶函数，它又在(0，+∞)单调递增，
故答案为：B
【分析】 根据指数函数、二次函数、幂函数的性质进行判断即可。
4．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】对于A中，函数 ，可得 ，此时幂函数 的图象，符合题意；
对于B中，函数 ，可得 ，此时幂函数 的增长趋势，越来越快，B中的图象，不符合题意；
对于C中，函数 ，可得 ，此时幂函数 为单调递增函数，不符合题意；
对于D中，函数 ，可得 ，此时幂函数 的增长越来越慢，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】 结合选项，根据指数函数与幕函数的图象与性质，连项判定，即可求解。
5．【答案】A
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】当 时，即 时，显然是不等式的解，
当 时，即 时，
，
综上所述：不等式 的解集是 ，
故答案为：A
【分析】 把分式不等式等价转化为整式不等式即可得出.
6．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ，
所以 ﹤ ﹤ .
故答案为：C
【分析】 利用指数函数的单调性即可求解.
7．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】因为二次函数开口向上，对称轴为 ，所以其减区间为 ，又函数在 上是减函数，故 ，所以 ，解得 ，
故答案为：A.
【分析】判断函数的开口方向，求出对称轴，列出不等式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】奇函数 在 内是增函数,所以函数 在 内是增函数,
.
当 时,则有 ,
当 时, 则有 ,所以 的解集为 .
故答案为：D
【分析】利用奇函数的单调性的性质,可以知道函数 在 上的单调性,结合 的值可以知道 的值,分类讨论求出 的解集.
9．【答案】A,B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A， 是 的充分不必要条件，正确；
对于B， 等价于 是 的必要不充分条件，正确；
对于C， 等价于 或 是 的必要不充分条件，错误；
对于D， 是 的必要不充分条件，正确；
故答案为：ABD
【分析】 A，根据Q与R的关系可进行判断；B，由|x|= |y|， 则x = y或x = -y进而可判断；C，由解得x>1或x<-1，进而可判断；D，若a<0且b<0，则a+b<0，但反之不成立，举出反例即可进行判断.
10．【答案】B,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A中，例如 ，此时满足 ，但 ，所以不正确；
对于B中，由 ，可得 ，根据不等式的性质，可得 ，所以正确；
对于C中，例如当 ，满足 ， ，此时 ，
所以不正确；
对于D中，由 ，根据不等式的性质，可得 ，所以正确.
故答案为：BD.
【分析】 利用不等式的基本性质，以及举反例法，逐项判定，即可求解。
11．【答案】A,B
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】A，函数 与函数 定义域均为 ，且解析式相同，正确；
B，函数 与函数 定义域均为 ，且解析式相同，正确；
C，函数 的定义域为 ，函数 定义域为 ，错误；
D，函数 的定义域为 ，函数 定义域为 或 ，错误；
故答案为：AB
【分析】 根据函数的三要素逐一判断选项，得出答案。
12．【答案】A,B,C
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】 ， 集合 的长度为 ，A符合题意；
， 集合 的长度为 ，B符合题意；
由 ，且 ，求出 ， ，
由 ，且 ，求出 ， ，
分别把 ， 的两端值代入求出：
， ，或 ， ，
所以 ，或 ．
所以 ，或 ，
综上所述，集合 的长度的最小值是 ，C符合题意，D不符合题意；
故答案为：ABC
【分析】根据题意，集合 的长度为 ，集合 的长度为 ，当集合 的长度的最小值时，把 ， 的两端值代入求出，即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】 的否定是
故答案为：
【分析】 根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.
14．【答案】9
【知识点】平均值不等式
【解析】【解答】 都为正数， ，解得 ，当且仅当 取等号
则 的最大值是9
故答案为：9
【分析】由即可求出ab的最大值，进而求出 的最大值 。
15．【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解： 函数 ，
，
，
故答案为： ．
【分析】 由题意先求出f(-3)的值，即可得到f[f (-3)]的值.
16．【答案】2
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】因为函数 既是幂函数又是 上的减函数，
所以 ，解得：
故答案为：2.
【分析】 由已知中当x∈(0， +∞)时，幂函数为减函数，可得解得答案.
17．【答案】由指数幂的运算公式，可得
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】根据指数幂的运算公式进行计算即可。
18．【答案】当 时，不等式 显然恒成立，符合题意；
当 时，要想不等式 在R上恒成立，
只需 且 ，解得 ，
综上所述： 的取值范围为 .
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【分析】 当 时，不等式 显然恒成立，符合题意；当 时，要想不等式 在R上恒成立， 可得 ，求解可得 的取值范围.
19．【答案】（1）因为函数 ( 且 )，图像经过点（2，4），
所以
（2）由（1）可知， ，则 在 上单调递增，
，
的值域为 .
【知识点】指数函数的概念与表示；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）把定点的坐标代入函数解析式，求得a值即可；
（2）根据指数函数的单调性即可求出函数 的值域 。
20．【答案】（1）由不等式 ，解得 ，即 ，
由 ，解得 ，即 ，
所以 ，
又由 或 ，所以 .
（2）由集合 ，
当 时，即 时，此时集合 ，满足 ；
当 时，即 时，要使得 ，则满足 ，
解得 ，
综上可得，实数 的取值范围 .
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】 (1)分别求得集合 ， ， 结合集合的运算方法，即可求解；
(2)分k≤-2和k>-2两种情况讨论，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解。
21．【答案】（1）解： 定义在 上的奇函数 ，
， ，
， ， ，
；
（2）证明：函数 是奇函数，不妨设 ， 且
， 且
，
故函数 在区间 上单调递增.
由于奇函数在对称区间上的单调性相同，故函数 在（-1，1）上是增函数．
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1）由函数f(x)是奇函数可得f (0) =0可求b，由 可求a，进而可求f (x)；
（2）由（1）可得 利用单调性的定义设 ， 且 ，，结合022．【答案】（1）当 时，
；
当 时， .
所以 .
（2）①当 时， ，
所以 ；
②当 时， ，
由对勾函数的性质知，当 ，即 时，W取最大值5760.
综合①②知，当 时，W取最大值6104.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的性质；基本不等式
【解析】【分析】 (1)根据利润公式分段求解函数得出解析式；
(2)利用分段函数，结合二次函数的最值以及基本不等式求解x>40时的最大利润，从而得出结论.
1 / 1福建省福州市闽江口联盟校2020-2021学年高一上学期数学期中联考试卷
一、单选题
1．（2020高一上·福州期中）已知集合A={ }， ，则 等于（　　）
A．1 B．-1 C．1或-1 D．1或
【答案】D
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】因为 ，所以 或 ，
当 时，解得 或 ，
当 时，此时集合 ，符合集合元互异性，
当 时， ，不符合集合元互异性，
当 时， ，此时 ，符合集合元互异性，
所以 等于1或 ，
故答案为：D
【分析】 根据可构造方程求得结果.
2．（2019高一上·蕉岭月考）函数 的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】依题意 ，解得 .
故答案为：D.
【分析】根据分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数 的定义域.
3．（2020高一上·福州期中）下列函数是偶函数且在(0，+∞)是增函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】因为指数函数不具有奇偶性，所以排除A、D，
因为幂函数 的定义域为非负实数集，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故排除，
二次函数 图象关于纵轴对称，所以该二次函数是偶函数，它又在(0，+∞)单调递增，
故答案为：B
【分析】 根据指数函数、二次函数、幂函数的性质进行判断即可。
4．（2020高一上·福州期中）函数 与函数 的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】对于A中，函数 ，可得 ，此时幂函数 的图象，符合题意；
对于B中，函数 ，可得 ，此时幂函数 的增长趋势，越来越快，B中的图象，不符合题意；
对于C中，函数 ，可得 ，此时幂函数 为单调递增函数，不符合题意；
对于D中，函数 ，可得 ，此时幂函数 的增长越来越慢，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】 结合选项，根据指数函数与幕函数的图象与性质，连项判定，即可求解。
5．（2020高一上·福州期中）不等式 的解集是（　　）
A．(-1，3] B．(-1，3)
C．[-1，3] D．(-∞，-1]∪[3，+∞)
【答案】A
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】当 时，即 时，显然是不等式的解，
当 时，即 时，
，
综上所述：不等式 的解集是 ，
故答案为：A
【分析】 把分式不等式等价转化为整式不等式即可得出.
6．（2020高一上·福州期中）三个数 ， ， 之间的大小关系是（　　）
A．< < B．< < C．< < D．< <
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ，
所以 ﹤ ﹤ .
故答案为：C
【分析】 利用指数函数的单调性即可求解.
7．（2020高一上·福州期中）如果函数 在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】因为二次函数开口向上，对称轴为 ，所以其减区间为 ，又函数在 上是减函数，故 ，所以 ，解得 ，
故答案为：A.
【分析】判断函数的开口方向，求出对称轴，列出不等式求解即可.
8．（2019高一上·嘉善月考）若函数 为定义在R上的奇函数,且在 内是增函数,又 ,则不等式 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】奇函数 在 内是增函数,所以函数 在 内是增函数,
.
当 时,则有 ,
当 时, 则有 ,所以 的解集为 .
故答案为：D
【分析】利用奇函数的单调性的性质,可以知道函数 在 上的单调性,结合 的值可以知道 的值,分类讨论求出 的解集.
二、多选题
9．（2020高一上·福州期中）下列说法正确的是（　　）
A． 是 的充分不必要条件
B． 是 的必要不充分条件
C． 是 的充分不必要条件
D． 是 的必要不充分条件
【答案】A,B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A， 是 的充分不必要条件，正确；
对于B， 等价于 是 的必要不充分条件，正确；
对于C， 等价于 或 是 的必要不充分条件，错误；
对于D， 是 的必要不充分条件，正确；
故答案为：ABD
【分析】 A，根据Q与R的关系可进行判断；B，由|x|= |y|， 则x = y或x = -y进而可判断；C，由解得x>1或x<-1，进而可判断；D，若a<0且b<0，则a+b<0，但反之不成立，举出反例即可进行判断.
10．（2020高一上·福州期中）下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， ，则 D．若 ，则
【答案】B,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A中，例如 ，此时满足 ，但 ，所以不正确；
对于B中，由 ，可得 ，根据不等式的性质，可得 ，所以正确；
对于C中，例如当 ，满足 ， ，此时 ，
所以不正确；
对于D中，由 ，根据不等式的性质，可得 ，所以正确.
故答案为：BD.
【分析】 利用不等式的基本性质，以及举反例法，逐项判定，即可求解。
11．（2020高一上·福州期中）下列函数相等的是（　　）
A．函数 与函数
B．函数 与函数
C．函数 与函数
D．函数 与函数
【答案】A,B
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】A，函数 与函数 定义域均为 ，且解析式相同，正确；
B，函数 与函数 定义域均为 ，且解析式相同，正确；
C，函数 的定义域为 ，函数 定义域为 ，错误；
D，函数 的定义域为 ，函数 定义域为 或 ，错误；
故答案为：AB
【分析】 根据函数的三要素逐一判断选项，得出答案。
12．（2020高一上·福州期中）设 ， 都是集合 的子集，如果 叫做集合 的长度，则下列说法正确的是（　　）
A．集合 的长度为
B．集合 的长度为
C．集合 的长度最小值为
D．集合 的长度最大值为
【答案】A,B,C
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】 ， 集合 的长度为 ，A符合题意；
， 集合 的长度为 ，B符合题意；
由 ，且 ，求出 ， ，
由 ，且 ，求出 ， ，
分别把 ， 的两端值代入求出：
， ，或 ， ，
所以 ，或 ．
所以 ，或 ，
综上所述，集合 的长度的最小值是 ，C符合题意，D不符合题意；
故答案为：ABC
【分析】根据题意，集合 的长度为 ，集合 的长度为 ，当集合 的长度的最小值时，把 ， 的两端值代入求出，即可得出答案。
三、填空题
13．（2020高一上·福州期中） 的否定是　 　
【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】 的否定是
故答案为：
【分析】 根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.
14．（2020高一上·福州期中）已知 且 都为正数，求 的最大值　 　.
【答案】9
【知识点】平均值不等式
【解析】【解答】 都为正数， ，解得 ，当且仅当 取等号
则 的最大值是9
故答案为：9
【分析】由即可求出ab的最大值，进而求出 的最大值 。
15．（2020高一上·福州期中）函数 ，则 的值为　 　．
【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解： 函数 ，
，
，
故答案为： ．
【分析】 由题意先求出f(-3)的值，即可得到f[f (-3)]的值.
16．（2020高一上·福州期中）当 时，幂函数 为减函数，则 的值为　 　.
【答案】2
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】因为函数 既是幂函数又是 上的减函数，
所以 ，解得：
故答案为：2.
【分析】 由已知中当x∈(0， +∞)时，幂函数为减函数，可得解得答案.
四、解答题
17．（2020高一上·福州期中）计算 .
【答案】由指数幂的运算公式，可得
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】根据指数幂的运算公式进行计算即可。
18．（2020高一上·福州期中）已知不等式 在R上恒成立，求 的取值范围.
【答案】当 时，不等式 显然恒成立，符合题意；
当 时，要想不等式 在R上恒成立，
只需 且 ，解得 ，
综上所述： 的取值范围为 .
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【分析】 当 时，不等式 显然恒成立，符合题意；当 时，要想不等式 在R上恒成立， 可得 ，求解可得 的取值范围.
19．（2020高一上·福州期中）已知函数 ( 且 )，图像经过点（2，4），
（1）求 的值
（2）求函数 的值域
【答案】（1）因为函数 ( 且 )，图像经过点（2，4），
所以
（2）由（1）可知， ，则 在 上单调递增，
，
的值域为 .
【知识点】指数函数的概念与表示；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）把定点的坐标代入函数解析式，求得a值即可；
（2）根据指数函数的单调性即可求出函数 的值域 。
20．（2020高一上·福州期中）已知全集 ，集合 ， ，
（1）求 ，
（2）若集合 是集合 的子集，求实数 的取值范围
【答案】（1）由不等式 ，解得 ，即 ，
由 ，解得 ，即 ，
所以 ，
又由 或 ，所以 .
（2）由集合 ，
当 时，即 时，此时集合 ，满足 ；
当 时，即 时，要使得 ，则满足 ，
解得 ，
综上可得，实数 的取值范围 .
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】 (1)分别求得集合 ， ， 结合集合的运算方法，即可求解；
(2)分k≤-2和k>-2两种情况讨论，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解。
21．（2020高一上·福州期中）已知奇函数 ，且
（1）确定函数 的解析式
（2）证明函数 在（-1，1）上是增函数
【答案】（1）解： 定义在 上的奇函数 ，
， ，
， ， ，
；
（2）证明：函数 是奇函数，不妨设 ， 且
， 且
，
故函数 在区间 上单调递增.
由于奇函数在对称区间上的单调性相同，故函数 在（-1，1）上是增函数．
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1）由函数f(x)是奇函数可得f (0) =0可求b，由 可求a，进而可求f (x)；
（2）由（1）可得 利用单调性的定义设 ， 且 ，，结合022．（2020高一上·福州期中）（已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元.设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为 万美元，且 .
（1）写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；
（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）当 时，
；
当 时， .
所以 .
（2）①当 时， ，
所以 ；
②当 时， ，
由对勾函数的性质知，当 ，即 时，W取最大值5760.
综合①②知，当 时，W取最大值6104.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的性质；基本不等式
【解析】【分析】 (1)根据利润公式分段求解函数得出解析式；
(2)利用分段函数，结合二次函数的最值以及基本不等式求解x>40时的最大利润，从而得出结论.
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