一元二次方程、函数与不等式
一、单选题
1.“
恒成立”的一个充分不必要条件是（?
）
A.????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
2.若实数
是不等式
的一个解，则
可取的最小正整数是（???
）
A.?1??????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
3.已知
，则x+y的最小值为（???
）
A.?1???????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?8
4.不等式4＋3x－x2<0的解集为（
??）
A.?{x|－14或x<－1}???????????C.?{x|x>1或x<－4}?????????????????D.?{x|－45.若不等式
对一切
恒成立，则实数
的取值范围为（???
）
A.??????
B.?
或
???????
??C.???????????
D.?
或
6.已知
满足
，且
，那么下列选项中一定成立的是（??
）
A.???????????????????B.????????????????????C.?????????????????????????D.?
7.设
，则下列不等式中正确的是（??
）
A.??????B.????
??C.??????D.?
8.不等式
的解集为（??
）
A.?????????B.????????
?C.???????
??D.?
二、多选题
9.若
，
，且
，则下列不等式恒成立的是（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????D.?
10.下列表达式中，最小值是2的是（???
）
A.??????????B.?y=
+
?????????C.?????????????D.?y=
+
11.下列命题中，假命题是（???
）
A.?若x，y∈R且x+y>2，则x，y至少有一个大于1????
B.??x∈R，xC.?a+b=0的充要条件是
????????????????????????????
D.??x∈R，x2+2≤0
12.下列命题正确的是（?
?）
A.?若
，则
的最小值为4
B.?若
，则
的最小值为3
C.?若
，则
的最大值为5
D.?若
，则
的最大值为2
三、填空题
13.已知不等式x2-ax-b<0的解集为(2,3)，则不等式bx2-ax-1>0的解集为________.
14.设p：(4x－1)2＜1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若?p是?q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________.
15.二次不等式
的解集为
，则
________．
16.关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞﹣
}，则关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为________．
四、解答题
17.??
（1）比较
与
的大小；
（2）解关于
的不等式
．
18.???
（1）若
且
，求
的最小值；
（2）若
且
，求
的最小值.
19.若不等式
的解集是
.
（1）求
的值；
（2）求不等式
的解集.
20.已知函数
.
（1）若不等式
的解集为
，求实数
的取值范围；
（2）若不等式
在区间
{x|≤x≤}
内恒成立，求实数
的取值范围.
21.（Ⅰ）关于x的不等式
的解集为R，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）关于x的不等式
的解集为
，求a,b的值．
22.已知函数
.
（1）当
时，解不等式
；
（2）若
，
的解集为
，求
的最小値.一元二次不等式
一、单选题
1.“
恒成立”的一个充分不必要条件是（?
）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
2.若实数
是不等式
的一个解，则
可取的最小正整数是（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
3.已知
，则x+y的最小值为（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?8
4.不等式4＋3x－x2<0的解集为（
??）
A.?{x|－14或x<－1}?????????????????C.?{x|x>1或x<－4}?????????????????D.?{x|－45.若不等式
对一切
恒成立，则实数
的取值范围为（???
）
A.???????????B.?
或
??????????C.???????????D.?
或
6.已知
满足
，且
，那么下列选项中一定成立的是（??
）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
7.设
，则下列不等式中正确的是（??
）
A.??????B.??????C.??????D.?
8.不等式
的解集为（??
）
A.?????????B.?????????C.?????????D.?
二、多选题
9.若
，
，且
，则下列不等式恒成立的是（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
10.下列表达式中，最小值是2的是（???
）
A.?????????????B.?y=
+
????????????C.?????????????D.?y=
+
11.下列命题中，假命题是（???
）
A.?若x，y∈R且x+y>2，则x，y至少有一个大于1????B.??x∈R，xC.?a+b=0的充要条件是
????????????????????????????D.??x∈R，x2+2≤0
12.下列命题正确的是（?
?）
A.?若
，则
的最小值为4
B.?若
，则
的最小值为3
C.?若
，则
的最大值为5
D.?若
，则
的最大值为2
三、填空题
13.已知不等式x2-ax-b<0的解集为(2,3)，则不等式bx2-ax-1>0的解集为________.
14.设p：(4x－1)2＜1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若?p是?q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________.
15.二次不等式
的解集为
，则
________．
16.关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞﹣
}，则关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为________．
四、解答题
17.??
（1）比较
与
的大小；
（2）解关于
的不等式
．
18.???
（1）若
且
，求
的最小值；
（2）若
且
，求
的最小值.
19.若不等式
的解集是
.
（1）求
的值；
（2）求不等式
的解集.
20.已知函数
.
（1）若不等式
的解集为
，求实数
的取值范围；
（2）若不等式
在区间
{x|≤x≤}
内恒成立，求实数
的取值范围.
21.（Ⅰ）关于x的不等式
的解集为R，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）关于x的不等式
的解集为
，求a,b的值．
22.已知函数
.
（1）当
时，解不等式
；
（2）若
，
的解集为
，求
的最小値.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
【解析】【解答】
恒成立，
当
时，
恒成立，满足题意，
当
时，
，解得
，
综上，“
恒成立”对应的
的范围为
，
则它的一个充分不必要条件是
的真子集，只有C选项满足.
故答案为：C.
【分析】根据题意由一元二次不等式的解法结合一元二次方程图象的性质得出a的取值范围，再由充分和必要条件的定义即可求出a的取值范围。
2.【答案】
C
【解析】【解答】∵实数2是不等式
的一个解，
∴代入得：
，解得
，
∴a可取的最小整数是
，
故答案为：C．
【分析】直接把2代入不等式，即可求得的范围，从而求得可取的最小正整数。
3.【答案】
D
【解析】【解答】
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所有
的最小值为8.
故答案为：D.
【分析】首先整理原式，再由基本不等式求出最小值。
4.【答案】
B
【解析】【解答】不等式4＋3x－x2<0可化为x2－3x－4>0，即(x＋1)(x－4)>0，解得x>4或x<－1.故不等式的解集为{x|x>4或x<－1}.
故答案为：B
【分析】先将二次项系数化为正数，然后根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.
5.【答案】
A
【解析】【解答】由题,若不等式
对一切
恒成立,
则
,即
,
故答案为：A
【分析】由题可分析,
,解出
范围即可
6.【答案】
A
【解析】【解答】解：
，且
则
设
，排除B,C,D。
故答案为：A。
【分析】根据不等式的性质，即可得到答案，同时a=2，b=0，c=?1
，排除B,C,D。
7.【答案】
B
【解析】【解答】取
，则
，
，只有B符合．
故答案为：B．
【分析】取特殊值a
=
4
,
b
=
16验证选项即可。
8.【答案】
A
【解析】【解答】因为
，所以
，所以
或
，
即原不等式的解集为
故答案为：A
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出不等式解集。
二、多选题
9.【答案】
A,B
【解析】【解答】
，当且仅当
时取等号，A符合题意；
，
，
，当且仅当
时取等号，B符合题意，C不符合题意，
，D不符合题意．
故答案为：AB．
【分析】利用基本不等式的性质进行判断即可得到答案。
10.【答案】
A,C
【解析】【解答】对于A，
，
∴
，当且仅当
，即
时等号成立，A符合题意；
对于B，
，由于
无解，所以最小值不是2，B不符合题意；
对于C，
，当且仅当
，即
时等号成立，C符合题意；
对于D，当
时，
，故最小值不是2，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】根据题意由基本不等式整理原式即可求出最小值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
11.【答案】
B,C,D
【解析】【解答】对A，可设
，则
，与
矛盾，A为真命题；
对B，当
时，
在
图像上方，
，B为假命题；
对C，
中，
，而
中，可以取到
，C为假命题；
对D，
恒成立，D为假命题
故答案为：BCD
【分析】由不等式的性质结合命题的真假判断，对选项逐一判断即可得出答案。
12.【答案】
C,D
【解析】【解答】解：对于A，因为
，所以
，当且仅当
取等号，所以
有最大值
，所以A不符合题意；
对于B，
，而
不成立，所以
的最小值不等于3，而其最小值为
，
对于C，由
可知
，得
，当且仅当
时取等号，
的最大值为5，所以C符合题意；
对于D，由于
，所以
，即
，当且仅当
，即
时取等号，所以
的最大值为2，
故答案为：CD
【分析】对于A，由于
，所以对
变形后再利用基本不等式求最值判断即可；对于B，不满足基本不等式的条件；对于C，D利用基本不等式判断即可
三、填空题
13.【答案】
【解析】【解答】依题意知方程
的两根为2，3，
根据根与系数的关系可求得
，
所以所求解的不等式为6x2+5x+1<0，解得
.
故答案为：
【分析】由一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，结合韦达定理即可求出a与b的值，由此即可得出不等式再结合一元二次不等式的解法即可求出不等式的解集。
14.【答案】
【解析】【解答】由
，解得
.
由
，即
，解得
.
又因为
是
的必要不充分条件,则
是
的充分不必要条件，所以
.
解得
.所以实数
的取值范围为
.
【分析】
是
的必要不充分条件,则
是
的充分不必要条件，即
的解集是
的解集是子集，利用子集定义计算即可.
15.【答案】
【解析】【解答】解：∵不等式
的解集为
，
，
∴原不等式等价于
，
由韦达定理知
?
?
?．
故答案为
．
【分析】先解出一元二次不等式的解集，再利用韦达定理，求出a和b的值，即可求解ab的值.
16.【答案】
【解析】【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞﹣
}，
∴a＜0，且方程ax2+bx+c=0的根为x=﹣2或x=﹣
，
由根与系数的关系式得：
﹣2+（﹣
）=﹣
，（﹣2）×（﹣
）=
，
即
=
，
=1；
又关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0可化为
x2﹣
x+
＜0，
即x2﹣
x+1＜0，
解不等式，得
＜x＜2，
∴不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|
＜x＜2}；
故答案为：{x|
＜x＜2}．
【分析】由不等式ax2+bx+c＜0的解集得出a＜0以及对应方程ax2+bx+c=0的两根，再由根与系数的关系式得
、
的值；把不等式ax2﹣bx+c＞0化为x2﹣
x+
＜0，代入数据求出不等式的解集即可．
四、解答题
17.【答案】
（1）解：
，
因为
，所以
，
即
.
（2）解：
.
当
，即
时，解原不等式，可得
；
当
，即
时，解原不等式，可得
；
当
，即
时，解原不等式，可得
.
综上所述，当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
.
【解析】【分析】（1）利用作差法比较大小即可；
（2）利用十字相乘法，将不等式左边分解，讨论与的大小，进而可得不同情况下不等式的解集。
18.【答案】
（1）解：
，
.
，
.
，
.
当且仅当
，等号成立.故当
时，
的最小值为9.
（2）解：
且
.
，
.
当且仅当
，即
时，等号成立.
故当
时，
的最小值为9
【解析】【分析】（1）利用基本不等式可得
，再解不等式即可得解；（2）依题意可得
，再利用基本不等式乘“1”法计算可得；
19.【答案】
（1）解:依题意，可知方程
的两个实数根为
和
?
由韦达定理得：
解得：
?
（2）解:原不等式化为
，即
，即
解得
【解析】【分析】（1）依题意，可知方程
ax2+5x-2=0
的两个实数根为和
2，利用韦达定理，即可求解；
（2）将圆不等式化为(2x-1)(x+3)<0，即可求解不等式的解集。
20.【答案】
（1）解：∵不等式y
的解集为
，
∴
?
∴
（2）解：∵不等式
在
恒成立
∴
∴
?
∴
【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解。
（2）由题列出关于端点的不等式方程组即可求解。
21.【答案】
解：（Ⅰ）关于x的不等式
的解集为R，
所以（1）
解得
，（2）m=-3时符合题意．
所以
（Ⅱ）关于x的不等式
的解集为
，
所以
，所以a=4,b=-2，或a=-4,b=2
【解析】【分析】(1)二次不等式解集为R,说明不等式恒成立,则二次不等式恒成立的条件得到关于m的不等式组,求m的范围;
(2)二次不等式解集为{
x
|
x
≠
b
}
，说明对应方程有两相等实根,求出a,b的值.
22.【答案】
（1）解：当
时，不等式
，即为
，
可得
，
即不等式
的解集为
或
.
（2）解：由题
的根即为
，
，故
，
，故
，
同为正，
则
，
当且仅当
，
等号成立，所以
的最小值为
.
【解析】【分析】（1）由一元二次不等式的解法即可求得结果；（2）由题
的根即为
，
，根据韦达定理可判断
，
同为正，且
，从而利用基本不等式的常数代换求出
的最小值.
