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第二章单元评估测试(满分150分)
班级：
姓名：
一、单选题(共8小题，每题5分，共40分)
1.函数y=2x2－3x＋的零点个数是(
)
A.0
B.1
C.2
D.无法确定
2.二次函数y=ax2＋bx＋c的图像如图(1)所示，则不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为(
)
A.{x0}
B.?
C.{x|x≠x0}
D.R
3.代数式x2＋取得最小值时对应的x值为(
)
A.2
B,
C.±2
D.±
4.用一段长为l的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园(墙足够长)，菜园的面积最大时(
)
A.菜园为正方形
B.菜园为邻边为2倍关系的矩形，且靠墙的边比邻边长
C.菜园为邻边为2倍关系的矩形，且靠墙的边比邻边短
D.菜园为邻边为2倍关系的矩形，且靠墙的边和邻边无法比较长短
5.?xR，2x2+5x+6>x2＋3x＋m，m的值可以为（
）
A.7
B.6
C.5
D.4
6.下列命题中，真命题的个数是（
）
①若a>b>0，则ac2>bc2
②若a>b>0，则a2>b2
③若a
ab>b2
④若a
A.1
B.2
C.3
D.4
7.不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x－2=
ax2＋bx＋c有下列说法：
①图象开口朝下；②零点确定；③a、b、c的值确定；④对称轴确定
正确说法的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
8.已知非负实数a，b满足a＋b=1，则＋的最小值(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
二、多选题(共4小题，每题5分，共20分)
9.已知则下列不等式中恒成立的是
A.已知a，b为正数，则a＋b＋≥2
B.已知a，b∈R，则a2＋b2＋2≥2a＋2b
C.已知a，b为正数，则≥2
D.已知a，b为正数，则>ab
10.下列不等式中无解的是
A.x2＋2x+4<0
B.
x2－8x＋16≤0
C.－x2－3x－>0
D.2x2+ax－3a2≥0
11.下列结论正确的是
A.若函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)对应的方程没有根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集R；
B.不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的充要条件是a<0，且△=b2－4ac≤0；
C.
若关于x的不等式ax2＋x－1≤0的解集为R，则a≤－；
D.
不等式>1的解集为{x|012已知的斜边长为则下列关于△ABC的说法中，错误的是
A.
周长的最大值为2＋2
B.
周长的最小值为2＋2
C.
面积的最大值为2
D.
面积的最小值为1
三、填空题(共4小题，每题5分，共20分)
13.已知集合A={x}，B={x|x2－4x＋3>0}，则A∩B=
；
14.?xR，有意义，a的取值构成的集合为
；
15.若正实数x，y满足2x＋y＋6=xy.
设t
=2x＋y，t的取值范围构成集合A.
?t∈A，t≤m，则m的最小值等于__________．
16.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=6，b＋c=8，则此三角形面积的最大值为
四、解答题(共6题，17题10分，其余各题每题12分，共70分)
17.已知集合A={x≥0}，集合B={x|ax>1}.若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求a的取值范围.
18.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．要确保销售的总收入不低于20万元，提价后的定价有什么限制？销售的总收入最高时，定价多少？
19.对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0，写出满足下列条件的关于a、b、c的不等式组.
（1）有两个不等正根；
（2）有两个不等负根；
（3）两根异号；
（4）两根一个比1大，一个比1小.
20.(1)设a，b，c∈R，a＋b＋c=1，证明：ab＋bc＋ac≤；
(2)已知a>b>c，求证：≥．
21.(1)若不等式ax2＋2x＋1>0的解集为{x|b(2)求关于x的不等式ax2＋2x＋1>－ax－1(a>0)的解集．
22.已知不等式x2－ax＋a－2>0(a>2)的解集为{x|xx2}.
(1)求x1＋x2＋的最小值M；
(2)若正数a，b，c满足a＋b＋c=，求证：＋＋≥2
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第二章单元评估测试解析(满分150分)
班级：
姓名：
一、单选题(共8小题，每题5分，共40分)
1.函数y=2x2－3x＋的零点个数是(
)
A.0
B.1
C.2
D.无法确定
【答案】B
解析：零点就是y=0时，方程2x2－3x＋=0的根.
△=(－3)2－4×2×=0，方程两根相同，函数有1个零点，故选B.
2.二次函数y=ax2＋bx＋c的图像如图(1)所示，则不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为(
)
A.{x0}
B.?
C.{x|x≠x0}
D.R
【答案】A
解析：ax2＋bx＋c≥0，即y≥0.
根据图像可知，只有在x-x0时，y=0.
x取其它任何实数时，y都是负值，故选A.
3.代数式x2＋取得最小值时对应的x值为(
)
A.2
B,
C.±2
D.±
【答案】D
解析：x2在分母的位置，则x2>0.
x2＋≥2=4，当且仅当x2=，即x4=4，x2=2，x=±时，取等号，故选D,
4.用一段长为l的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园(墙足够长)，菜园的面积最大时(
)
A.菜园为正方形
B.菜园为邻边为2倍关系的矩形，且靠墙的边比邻边长
C.菜园为邻边为2倍关系的矩形，且靠墙的边比邻边短
D.菜园为邻边为2倍关系的矩形，且靠墙的边和邻边无法比较长短
【答案】B
解析：设菜园的相邻两边长分别为x(靠墙的边)，y，则x＋2y=l.
菜园面积S=xy=≤()2=，当且仅当，即时，取等号，故选B.
5.?xR，2x2+5x+6>x2＋3x＋m，m的值可以为（
）
A.7
B.6
C.5
D.4
【答案】D
解析：?xR，2x2+5x+6>x2＋3x＋mx2＋2x＋6－m>0.
△=22－4(6－m)<0，m<5，故选D.
6.下列命题中，真命题的个数是（
）
①若a>b>0，则ac2>bc2
②若a>b>0，则a2>b2
③若aab>b2
④若a
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】C
解析：对于①，c=0时，ac2=bc2，是假命题；
对于
②，根据正数同向不等式可乘方的原则可知，是真命题；
对于③，∵aab；∵ab2，根据不等式的传递性可知，此选项为真命题；
对于④，－=2(－)=2.
∵a0，ab>0，∴－=2>0，>.
此选项为真命题.
综上，选项为C.
7.不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x－2=
ax2＋bx＋c有下列说法：
①图象开口朝下；②零点确定；③a、b、c的值确定；④对称轴确定
正确说法的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】C
解析：不等式大于0，取中间，可断定a<0，函数图像开口朝下，①正确；
－2，5是对应方程的根，也是对应函数的零点，②正确；
根据韦达定理，，即，所以a、b、c的值不确定，对称轴方程为x=－=－=.
所以③不正确，④正确.
综上，选C.
8.已知非负实数a，b满足a＋b=1，则＋的最小值(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】A
解析：a＋b=1，(a＋1)＋(b＋2)=4.
＋=(＋)=[(a＋1)＋(b＋2)](＋)=(2＋＋)≥(2＋2)=1.
当且仅当，即时，取等号.
综上，＋的最小值为1，选A.
二、多选题(共4小题，每题5分，共20分)
9.已知则下列不等式中恒成立的是
A.已知a，b为正数，则a＋b＋≥2
B.已知a，b∈R，则a2＋b2＋2≥2a＋2b
C.已知a，b为正数，则≥2
D.已知a，b为正数，则>ab
【答案】ABC
解析：对于A选项，a＋b＋≥2＋≥2=2，正确；
对于B选项，(a2＋b2＋2)－(2a＋2b)=(a2－2a+1)＋(b2－2b＋1)=(a－1)2＋(b－1)2≥0，正确；
对于C选项，≥=2，正确；
对于D选项，≤=，不正确.
综上，选项ABC.
10.下列不等式中无解的是
A.x2＋2x+4<0
B.
x2－8x＋16≤0
C.－x2－3x－>0
D.2x2+ax－3a2≥0
【答案】AC
解析：对于A选项，对应二次函数开口朝上，△<0，y值恒正，此不等式无解；
对于B选项，对应二次函数开口朝上，△=0，y值非负，此不等式有解(可以取等)；
对于C选项，对应二次函数开口朝下，△=0，y值非正，此不等式无解；
对于D选项，对应二次函数开口朝上，△=25a2≥0，y值不可能皆负，此不等式有解.
综上，选AC.
11.下列结论正确的是
A.若函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)对应的方程没有根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集R；
B.不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的充要条件是a<0，且△=b2－4ac≤0；
C.
若关于x的不等式ax2＋x－1≤0的解集为R，则a≤－；
D.
不等式>1的解集为{x|0【答案】CD
解析：对于A选项，a<0时，对应的方程没有根，ax2＋bx＋c>0的解集为?，不正确；
对于B选项，“ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立”推不出“a<0，且△=b2－4ac≤0”，
反例：0x2＋0x－1≤0在R上恒成立，但a=0.
此选项不正确；
对于C选项，分两种情况考虑：
①当a=0时，x－1≤0的解集不是R；
②当a≠0时，ax2＋x－1≤0的解集为R，所以，即a≤－.此选项正确；
对于D选项，>1，－1>0，>0，x(1－x)>0，0正确.
综上，选CD.
12已知的斜边长为则下列关于△ABC的说法中，错误的是
A.
周长的最大值为2＋2
B.
周长的最小值为2＋2
C.
面积的最大值为2
D.
面积的最小值为1
【答案】BCD
解析：设斜边为c，则c
=
2，a2＋b2=
4.
先研究面积：S=ab≤?=1，当且仅当，即a=b=时，取等号，所以面积的最大值是1.
C、D选项都是错误的；
再研究周长：a2＋b2=
4.，(a＋b)2－2ab=4，(a＋b)2－2()2≤4，(a＋b)2≤8，a＋b≤2，当且仅当，即a=b=时，取等号，所以a＋b的最大值为2，周长的最大值为2＋2.
综上，选BCD.
三、填空题(共4小题，每题5分，共20分)
13.已知集合A={x}，B={x|x2－4x＋3>0}，则A∩B=
；
【答案】{x|－2解析：A={x}={x}，B={x|x2－4x＋3>0}={x|x<1或x>3}.
A∩B={x|－214.?xR，有意义，a的取值构成的集合为
；
【答案】{a|0≤a≤1}
解析：?xR，有意义，即ax2－2ax＋1≥0的解集为R.
分情况讨论：
当a=0时，0x2－2?0x＋1≥0的解集是R，符合题意；
当a≠0时，，即0综上，a的取值构成的集合为{a|0≤a≤1}.
15.若正实数x，y满足2x＋y＋6=xy.
设t
=2x＋y，t的取值范围构成集合A.
?t∈A，t≤m，则m的最小值等于__________．
【答案】12
解析：2x＋y＋6=xy，2x＋y＋6=?2x?y，(2x＋y)＋6≤()2，(2x＋y)2－8(2x＋y)－48≥8，(2x＋y＋4)(2x＋y－12)≥0，∵2x＋y＋4>0，∴2x＋y－12≥0，2x＋y≥12.
当且仅当，即时，等号成立.
综上，2x＋y的最小值是12，即t的最小值为12，m的最小值是12.
16.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=6，b＋c=8，则此三角形面积的最大值为
【答案】3
解析：p==7，S==.
－b=>0，则>b，即b<
7，7－b>0；同理7－c
>0.
≤?=?=3.
当且仅当，即b=c=
4时，取等号.
综上，三角形面积的最大值为3.
四、解答题(共6题，17题10分，其余各题每题12分，共70分)
17.已知集合A={x≥0}，集合B={x|ax>1}.若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求a的取值范围.
解析：A={x≥0}={x}={x1≤x<2}.
根据题意，AB，所以B≠?，a≠0，且a值不可能为负值(若a<0，则B中元素都是负数，而A中元素都是正值，A不可能真包含于B).
综上，a>0，B={x|ax>1}=B={x|x>}，，即a>1.
18.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．要确保销售的总收入不低于20万元，提价后的定价有什么限制？销售的总收入最高时，定价多少？
解析：设提价后的定价为每本x元.
(8－)x≥20，
[8－2(x－2.5)]x－20≥0
(13－2x)x－20≥0
13x－2x2－20≥0
2x2－13x＋20≤0
2x2－13x＋20=0的两根分别为、4，∴不等式的解集为{x|≤x≤4}.
综上，要确保销售的总收入不低于20万元，提价后的定价即不低于2.5元，也不高于4元.
销售的总收入y=(8－)x
=－2x2＋13x
对称轴方程为x=.
所以定价为元时，销售的总收入最高.
19.对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0，写出满足下列条件的关于a、b、c的不等式组.
（1）有两个不等正根；
（2）有两个不等负根；
（3）两根异号；
（4）两根一个比1大，一个比1小.
解析：设方程的两部不等根分别为x1、x2,
(1)，；（2），；
(3)，；(4)，
.
20.(1)设a，b，c∈R，a＋b＋c=1，证明：ab＋bc＋ac≤；
(2)已知a>b>c，求证：≥．
(1)证明：a＋b＋c=1
(a＋b＋c)2=1
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1
＋＋＋2ab+2bc+2ac=1
＋＋＋2ab+2bc+2ac≤1
3ab+3bc+3ac≤1
ab＋bc＋ac≤，命题得证.
(2)∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，
≥
?≥
?[(a－b)＋(b－c)]()≥4
?2＋＋≥4
?＋≥2
∵＋≥2=2，∴命题得证.
21.(1)若不等式ax2＋2x＋1>0的解集为{x|b(2)求关于x的不等式ax2＋2x＋1>－ax－1(a>0)的解集．
解析：(1)
b、1是方程ax2＋2x＋1=0的两根，根据韦达定理，得
，.
(2)
ax2＋2x＋1>－ax－1
ax2＋(a＋2)x＋2>0
(ax＋2)(x＋1)>0
(ax＋2)(x＋1)=0的根为－，－1.
当－<－1，即0－1}；
当－=－1，即a=2时，，不等式解集为{x∈R|x≠－1}；
当－>－1，即a>2时，不等式解集为{x|x<－1，或x>－}.
22.已知不等式x2－ax＋a－2>0(a>2)的解集为{x|xx2}.
(1)求x1＋x2＋的最小值M；
(2)若正数a，b，c满足a＋b＋c=，求证：＋＋≥2
(1)解析：△=a2－4(a－2)=a2－4a＋8=(a－2)2＋4>0.
x1＋x2＋=a＋=(a－2)＋＋2≥2＋2=4.
当且仅当a－2=，即a=3时，取等号.
综上，x1＋x2＋的最小值是4，即M=4.
(2)证明：a＋b＋c=2.
＋＋
=(＋a)＋(＋b)＋(＋c)－2
≥2＋2＋2－2
=2b＋2c＋2a－2
=2(a＋b＋c)－2
=2×2－2
=2.
命题得证.
1
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