思法数学 第2讲 集合及其表示
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第2讲 集合及其表示
一【学习目标】
1.了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性；
2.体会元素与集合间的关系；
3.记住常用数集的表示符号并会应用；
4.掌握集合的表示方法；
二【知识梳理】
1.集合的概念
（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集），常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……
（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……
2.常用数集及记法
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N，；
（2）正整数集：非负整数集内除0的集合.记作N*或N+，；
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z,；
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作, ；
（5）实数集：全体实数的集合.记作R，；
3.元素对于集合的隶属关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
4.集合中元素的特性
（1）确定性：按照明确的判断标准，给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，二者居其一而且只居其一.不能模棱两可；
（2）互异性：集合中的元素没有重复；
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）.
5.集合的表示方法
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合；
如：，，…
（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法，格式：{x∈A|P（x）}含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合；
如：…
（3）文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法.
点拨：，，是互不相同的集合.
6.按元素的多少，集合可分为以下三类：
（1）有限集：含有有限个元素的集合
（2）无限集：含有无限个元素的集合
（3）空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：
点拨：注意Φ，0，三者的区别与联系.
三【典例精析】
例1.下列语句能确定是一个集合的是 （要简述理由）
（1）著名的科学家：（2）留长发的女生；（3）不超过π的正整数；
（4）视力差的男生：（5）本班中成绩好的同学；
（6）高一数学课本中所有的简单题；
（7）平方后等于自身的数．
例2.求集合{3，x，}中实数x所组成的集合.
例3.由实数,所组成的集合中，最多含几个元素？
例4.用描述法表示下列集合：
（1）{1，4，7，10，13}； （2）{-2，-4，-6，-8，-10}；
（3）所有奇数组成的集合； （4）坐标平面内到两坐标轴的距离相等的点组成的集合.
例5.用列举法表示下列集合
（1）{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}； （2）；
（3）； （4）；
（5）设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合.
例6. 集合A=，判断下列元素x与集合A的关系：
（1）x=0； (2)x=； (3) x=； (4).
例7.设集合A=（x,y,x+y）,B=(0,，xy)且A=B，求实数x，y的值
例8.设A为实数集，且满足条件：若，则．求证：
(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．
证明：(1)若a∈A，则∈A.又∵2∈A，∴＝－1∈A.∵－1∈A，∴＝∈A.∵∈A，∴＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，∴A不可能为单元素集．
四【过关精练】
一.选择题
1.给定四个集合：，,则（ ）
A. B. C. D.
2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是( )
A．0∈A B． C．a∈A D．a＝A
3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．由组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )
A．1 B．－2 C．6 D．2
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为( )
A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3均可
6．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
7.将集合表示成列举法，正确的是( )
A．{2,3} B．{(2,3)} C．{x＝2，y＝3} D．(2,3)
8.集合的列举法表示应该是( )
A．{－3，－1,1,3} B．{1,3} C．{－1,1,3} D．{－1,1}
二.填空题
9.集合A=中只有一个元素，则的值是______
10.已知P=，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是_____
11.用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，∈N}＝____________
12.已知a∈Z，A＝{(x，y)|ax－y≤3}且(2,1)∈A，，则满足条件的a的值为________．
三.解答题
13.设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
14.用适当的方法表示下列集合：
①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；
③不等式x－2>6的解的集合；
④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
15.对于，现规定：
集合.
(1)用列举法表示奇偶性不同时的集合；
(2)当与的奇偶性相同时集合中共有多少个元素？
参考答案
一.选择题
1.D；2．C；3．D；4．C；5．B；6.B；7.B；8.A；
二.填空题
9.0或1；10. ；11.{5,4,2，－2}；12.0,1,2.
三.解答题
13．解：由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．
14.解：①∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，
∴解集为{0，－1}；
②{x|x＝2n＋1，且x<1000，n∈N}；
③{x|x>8}；
④{1,2,3,4,5,6}．
15．解：(1)当a，b奇偶性不同时，a*b＝a×b＝36，
则满足条件的(a，b)有(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)，故集合可表示为：
＝{(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)}．
(2)当a与b的奇偶性相同时a*b＝a＋b＝36，由于两奇数之和为偶数，两偶数之和仍为偶数，故36＝1＋35＝2＋34＝3＋33＝…＝17＋19＝18＋18＝19＋17＝…＝35＋1，
所以当a，b奇偶性相同时这样的元素共有35个．
一【学习目标】
1.了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性；
2.体会元素与集合间的关系；
3.记住常用数集的表示符号并会应用；
4.掌握集合的表示方法；
二【知识梳理】
1.集合的概念
（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集），常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……
（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……
2.常用数集及记法
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N，；
（2）正整数集：非负整数集内除0的集合.记作N*或N+，；
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z,；
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作, ；
（5）实数集：全体实数的集合.记作R，；
3.元素对于集合的隶属关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
4.集合中元素的特性
（1）确定性：按照明确的判断标准，给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，二者居其一而且只居其一.不能模棱两可；
（2）互异性：集合中的元素没有重复；
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）.
5.集合的表示方法
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合；
如：，，…
（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法，格式：{x∈A|P（x）}含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合；
如：…
（3）文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法.
点拨：，，是互不相同的集合.
6.按元素的多少，集合可分为以下三类：
（1）有限集：含有有限个元素的集合
（2）无限集：含有无限个元素的集合
（3）空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：
点拨：注意Φ，0，三者的区别与联系.
三【典例精析】
例1.下列语句能确定是一个集合的是 （要简述理由）
（1）著名的科学家：（2）留长发的女生；（3）不超过π的正整数；
（4）视力差的男生：（5）本班中成绩好的同学；
（6）高一数学课本中所有的简单题；
（7）平方后等于自身的数．
例2.求集合{3，x，}中实数x所组成的集合.
例3.由实数,所组成的集合中，最多含几个元素？
例4.用描述法表示下列集合：
（1）{1，4，7，10，13}； （2）{-2，-4，-6，-8，-10}；
（3）所有奇数组成的集合； （4）坐标平面内到两坐标轴的距离相等的点组成的集合.
例5.用列举法表示下列集合
（1）{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}； （2）；
（3）； （4）；
（5）设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合.
例6. 集合A=，判断下列元素x与集合A的关系：
（1）x=0； (2)x=； (3) x=； (4).
例7.设集合A=（x,y,x+y）,B=(0,，xy)且A=B，求实数x，y的值
例8.设A为实数集，且满足条件：若，则．求证：
(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．
证明：(1)若a∈A，则∈A.又∵2∈A，∴＝－1∈A.∵－1∈A，∴＝∈A.∵∈A，∴＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，∴A不可能为单元素集．
四【过关精练】
一.选择题
1.给定四个集合：，,则（ ）
A. B. C. D.
2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是( )
A．0∈A B． C．a∈A D．a＝A
3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．由组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )
A．1 B．－2 C．6 D．2
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为( )
A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3均可
6．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
7.将集合表示成列举法，正确的是( )
A．{2,3} B．{(2,3)} C．{x＝2，y＝3} D．(2,3)
8.集合的列举法表示应该是( )
A．{－3，－1,1,3} B．{1,3} C．{－1,1,3} D．{－1,1}
二.填空题
9.集合A=中只有一个元素，则的值是______
10.已知P=，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是_____
11.用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，∈N}＝____________
12.已知a∈Z，A＝{(x，y)|ax－y≤3}且(2,1)∈A，，则满足条件的a的值为________．
三.解答题
13.设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
14.用适当的方法表示下列集合：
①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；
③不等式x－2>6的解的集合；
④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
15.对于，现规定：
集合.
(1)用列举法表示奇偶性不同时的集合；
(2)当与的奇偶性相同时集合中共有多少个元素？
参考答案
一.选择题
1.D；2．C；3．D；4．C；5．B；6.B；7.B；8.A；
二.填空题
9.0或1；10. ；11.{5,4,2，－2}；12.0,1,2.
三.解答题
13．解：由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．
14.解：①∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，
∴解集为{0，－1}；
②{x|x＝2n＋1，且x<1000，n∈N}；
③{x|x>8}；
④{1,2,3,4,5,6}．
15．解：(1)当a，b奇偶性不同时，a*b＝a×b＝36，
则满足条件的(a，b)有(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)，故集合可表示为：
＝{(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)}．
(2)当a与b的奇偶性相同时a*b＝a＋b＝36，由于两奇数之和为偶数，两偶数之和仍为偶数，故36＝1＋35＝2＋34＝3＋33＝…＝17＋19＝18＋18＝19＋17＝…＝35＋1，
所以当a，b奇偶性相同时这样的元素共有35个．