思法数学 第3讲 子集
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第3讲 子集、全集、补集
一【学习目标】
1.了解子集、真子集的定义，掌握集合之间的关系；
2.了解全集的意义；掌握补集的定义及其性质.
二【知识梳理】
1．子集的概念
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.
记作，读作.
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB或BA
2.集合相等与真子集的概念
（1）如果，且，则
（2）如果，但存在元素则称是的真子集，记作
3.空集
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.并规定：
空集是任何一个集合的子集；空集是任何非空集合的真子集.
4.集合之间的基本关系.
（1）任何一个集何都是它本身的子集，即；
（2）对于集合，如果，那么
结论：含个元素的集合共有个子集；有 个真子集；有 个非空真子集.
5.补集：引入：观察下列三个集合：
U＝{高一年级的同学}——全集；
A＝{高一年级参加军训的同学}；
B＝{高一年级没有参加军训的同学}.
（1），；
（2）集合B(或A)就是集合U中除去集合A(或B)之外．——补集
（3）Venn图表示
（1）定义
定义（1）所要研究的集合都是某个给定集合的子集，这个给定的集合就是全集.全集常用表示.
定义（2）设S是一个集合，A是S的一个子集（即），则由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作，
（2）符号语言：
（3）图形语言：如右图：
（3）性质：；：.
三【典例精析】
例1.写出集合的所有子集和真子集.
解：集合的所有子集是：
，，，，，，，.
在上述子集中，除去集合A本身，即{1，2，3}，剩下的都是A的真子集.
例2.说出下列每对集合之间的关系：
（1），；
（2），；
（3）,.
解：（1）；（2）；（3）.
例3.（1）填空：N___Z； N___Q； R___Z； R___Q； Φ___{0}.
（2）若A={x∈R|x-3x-4=0},B={x∈Z||x|<10},则AB正确吗？
（3）是否对任意一个集合A，都有AA，为什么？
（4）集合{a,b}的子集有那些？
（5）高一（1）班同学组成的集合A，高一年级同学组成的集合B，则A、B的关系为 .
解：（1）；；；；.
（2）正确.
（3）是
（4），
（5）
点拨：
（1）“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如ΦR，{1}{1，2，3}.
（2）{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合.
例4.填空：
（1）U={x|0≤X<6,X∈Z},A={1,3,5},B=｛1,4},
则=_____________,=_____________
（2）U={3,6,9},,则=________
（3）U={实数}，A={有理数},则=________
（4）A={1,3,5},={2,4,6},B={4,6},则=________
（5）全集U={x|0则=___________________
例5.已知全集U＝R，集合A＝｛x｜1≤2x＋1＜9｝，求.
例6.已知U＝｛x｜－1≤x＋2＜8｝，A＝｛x｜－2＜1－x≤1｝，B＝｛x｜5＜2x－1＜11｝，讨论A与的关系
点拨:方法：数轴法和Venn图(图示法)．
四【过关精练】
一、选择题
1.下列八个关系式①{0}=；②=0；③={}；④{}；⑤{0}；⑥0；⑦{0}；⑧{}其中正确的个数（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
2.集合{1，2，3}的真子集共有（ ）
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
3.集合A={x}；B={}；C={}
又则有（ ）
A.（a+b）A B.(a+b)B C.(a+b)C D.(a+b)A、B、C任一个
4.下列各组对象不能形成集合的是（ ）
A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数 D.函数y=1图象上所有的点
5.设集合=，则（ ）
A． B. C． D．
6.下列各式中，正确的是（ ）
A.2
B.{}
C.{}
D.{}={}
7.设一元二次方程的根的判别式，则不等式的解集为（ ）
A.R B. C.{} D.{}
8.集合A={x|x=2n＋1，n∈Z}， B={y|y=4k±1，k∈Z}，则A与B的关系为 （ ）
A．AB B．AB C．A=B D．A≠B
二、填空题
9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为__________________
10.设集合A={},B={x},且AB，则实数k的取值范围
是 。
11.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是 .
12.集合{a,b,c}的所有子集是 ；
真子集是 ；
非空真子集是 .
13.方程x2-5x+6=0的解集可表示为 ；
方程组 .
三、解答题
14.已知方程x2-(k2-9)+k2-5k+6=0的一根小于1，另一根大于2，求实数k的取值范围。
15.设，，点(2，1)∈E，但(1，0)E，(3，2)E。求的值。
16.设全集U=﹛1，2，3，4，5﹜，A=﹛2，5﹜，求A的真子集的个数
17.已知全集={1，2，3，4}，，求及.
18.设全集,，求实数的值.
参考答案
一、选择题
1.B；2。C；3。B；4。B；5。D；6。D；7。D；8。C
二、填空题
9.{(x,y) }
10.{}
11.{}
12.,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c};除去{a,b,c}外所有子集；除去及{a,b,c}外的所有子集
13.{2,3};{2,3}
三、解答题
14.解：令f(1)<0 且f(2)<0解得
15.解：∵点(2,1)∈E，∴(2－a)2+3b≤6 ①
∵点(1,0)E，∴(1－a)2+3b>0 ②
∵点(3,2)E，∴(3－a)2+3b>12 ③
由①②得6－(2－a)2>－(1－a)2，解得a>－；类似地由①③得a<－。
∴－B
A
+
A=B
U
A
S
A
一【学习目标】
1.了解子集、真子集的定义，掌握集合之间的关系；
2.了解全集的意义；掌握补集的定义及其性质.
二【知识梳理】
1．子集的概念
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.
记作，读作.
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB或BA
2.集合相等与真子集的概念
（1）如果，且，则
（2）如果，但存在元素则称是的真子集，记作
3.空集
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.并规定：
空集是任何一个集合的子集；空集是任何非空集合的真子集.
4.集合之间的基本关系.
（1）任何一个集何都是它本身的子集，即；
（2）对于集合，如果，那么
结论：含个元素的集合共有个子集；有 个真子集；有 个非空真子集.
5.补集：引入：观察下列三个集合：
U＝{高一年级的同学}——全集；
A＝{高一年级参加军训的同学}；
B＝{高一年级没有参加军训的同学}.
（1），；
（2）集合B(或A)就是集合U中除去集合A(或B)之外．——补集
（3）Venn图表示
（1）定义
定义（1）所要研究的集合都是某个给定集合的子集，这个给定的集合就是全集.全集常用表示.
定义（2）设S是一个集合，A是S的一个子集（即），则由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作，
（2）符号语言：
（3）图形语言：如右图：
（3）性质：；：.
三【典例精析】
例1.写出集合的所有子集和真子集.
解：集合的所有子集是：
，，，，，，，.
在上述子集中，除去集合A本身，即{1，2，3}，剩下的都是A的真子集.
例2.说出下列每对集合之间的关系：
（1），；
（2），；
（3）,.
解：（1）；（2）；（3）.
例3.（1）填空：N___Z； N___Q； R___Z； R___Q； Φ___{0}.
（2）若A={x∈R|x-3x-4=0},B={x∈Z||x|<10},则AB正确吗？
（3）是否对任意一个集合A，都有AA，为什么？
（4）集合{a,b}的子集有那些？
（5）高一（1）班同学组成的集合A，高一年级同学组成的集合B，则A、B的关系为 .
解：（1）；；；；.
（2）正确.
（3）是
（4），
（5）
点拨：
（1）“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如ΦR，{1}{1，2，3}.
（2）{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合.
例4.填空：
（1）U={x|0≤X<6,X∈Z},A={1,3,5},B=｛1,4},
则=_____________,=_____________
（2）U={3,6,9},,则=________
（3）U={实数}，A={有理数},则=________
（4）A={1,3,5},={2,4,6},B={4,6},则=________
（5）全集U={x|0
例5.已知全集U＝R，集合A＝｛x｜1≤2x＋1＜9｝，求.
例6.已知U＝｛x｜－1≤x＋2＜8｝，A＝｛x｜－2＜1－x≤1｝，B＝｛x｜5＜2x－1＜11｝，讨论A与的关系
点拨:方法：数轴法和Venn图(图示法)．
四【过关精练】
一、选择题
1.下列八个关系式①{0}=；②=0；③={}；④{}；⑤{0}；⑥0；⑦{0}；⑧{}其中正确的个数（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
2.集合{1，2，3}的真子集共有（ ）
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
3.集合A={x}；B={}；C={}
又则有（ ）
A.（a+b）A B.(a+b)B C.(a+b)C D.(a+b)A、B、C任一个
4.下列各组对象不能形成集合的是（ ）
A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数 D.函数y=1图象上所有的点
5.设集合=，则（ ）
A． B. C． D．
6.下列各式中，正确的是（ ）
A.2
B.{}
C.{}
D.{}={}
7.设一元二次方程的根的判别式，则不等式的解集为（ ）
A.R B. C.{} D.{}
8.集合A={x|x=2n＋1，n∈Z}， B={y|y=4k±1，k∈Z}，则A与B的关系为 （ ）
A．AB B．AB C．A=B D．A≠B
二、填空题
9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为__________________
10.设集合A={},B={x},且AB，则实数k的取值范围
是 。
11.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是 .
12.集合{a,b,c}的所有子集是 ；
真子集是 ；
非空真子集是 .
13.方程x2-5x+6=0的解集可表示为 ；
方程组 .
三、解答题
14.已知方程x2-(k2-9)+k2-5k+6=0的一根小于1，另一根大于2，求实数k的取值范围。
15.设，，点(2，1)∈E，但(1，0)E，(3，2)E。求的值。
16.设全集U=﹛1，2，3，4，5﹜，A=﹛2，5﹜，求A的真子集的个数
17.已知全集={1，2，3，4}，，求及.
18.设全集,，求实数的值.
参考答案
一、选择题
1.B；2。C；3。B；4。B；5。D；6。D；7。D；8。C
二、填空题
9.{(x,y) }
10.{}
11.{}
12.,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c};除去{a,b,c}外所有子集；除去及{a,b,c}外的所有子集
13.{2,3};{2,3}
三、解答题
14.解：令f(1)<0 且f(2)<0解得
15.解：∵点(2,1)∈E，∴(2－a)2+3b≤6 ①
∵点(1,0)E，∴(1－a)2+3b>0 ②
∵点(3,2)E，∴(3－a)2+3b>12 ③
由①②得6－(2－a)2>－(1－a)2，解得a>－；类似地由①③得a<－。
∴－
A
+
A=B
U
A
S
A