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13.4.1尺规作图
学案
课题
13.4.1
尺规作图
单元
第13章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1.掌握前三种尺规作图的方法及一般步骤，能说出基本作图语言;
2.通过动手操作、合作探究，培养作图能力、语言表达能力、逻辑思维能力和推理能力;
重点
难点
理解并掌握作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角及作已知角的平分线三个基本作图.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
【想一想】你知道什么是尺规作图吗？尺规的基本作用分别是什么？
只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图．
尺规作图的工具只能是直尺和圆规,其中直尺用来作直线、线段、射线或延长线段等；圆规用来作圆或圆孤等．
值得注意的是直尺是没有刻度的或不考虑刻度的存在.
合
作
探
究
探究一：
我们已经会使用刻度尺、三角尺、量角器和圆规等工具方便地画出各种几何图形.如果限定只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形，你还能作出符合条件的图形吗?
以下我们将研究仅用直尺和圆规作已知角的平分线、经过一已知点作已知直线的垂线、作已知线段的垂直平分线的方法.
1.作一条线段等于已知线段
MN为已知线段,你能用直尺和圆规准确地作一条与MN相等的线段吗?
探究二：
2.作一个角等于已知角
探究三：
3.作已知角的平分线
我们可以证明这样作出来的射线是符合要求的，即∠AOC=∠BOC.
如图13.4.5,连结EC、DC.
OD=OE,DC=EC,OC=OC,
△OCD≌△OCE(S.S.S.
)
,
∠AOC
=∠BOC(全等三角形的对应角相等).
注意:
①已知:根据文字语言用数学语言写出题目中的条件;
②求作:根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件;
③作法:根据作图的过程写出每一步的操作过程.
当
堂
检
测
1、利用尺规不可作的直角三角形是
（
）
A、已知斜边及一条直角边
B、已知两条直角边
C、已知两锐角
D、已知一锐角及一直角边
1.C
如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD=∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（ ）
①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．
②作射线CD，则∠BCD=∠AOB．
③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．
④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．
A.
①-②-③-④
B.
③-②-④-①
C.
④-①-③-②
D.
④-③-①-②
2.C
3、已知：∠AOB．求作：一个角，使它等于∠AOB．步骤如下：如图，
（1）作射线O'A'
（2）以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；
（3）以O'为圆心，OC为半径作弧C'E'，交O'A'于C'；
（4）以C'为圆心，CD为半径作弧，交弧C'E'于D'；
（5）过点D'作射线O'B'．则∠A'O'B'就是所求作的角．
请回答：该作图的依据是（ ）
A.
SSS
B.
SAS
C.
ASA
D.
AAS
3.A
4.如图，已知线段a，c，∠α.
求作△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.
解：
(1)作∠MBN＝∠α.
(2)在射线BM上截取BA＝c，在射线BN上截取BC＝a.
(3)连结AC，则△ABC即为所求作的三角形(如图)．
课
堂
小
结
今天学习了尺规作图的哪几种方法？
参考答案
合作探究：
探究一：
我们把只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图.
作法：
(1)
作射线AB
；
(2)
以点M为圆心，以MN的长为半径画弧，交射线AB于点C，
AC就是所求作的线段.
探究二：
作法：
(1)画射线O'A'
(2)以角∠AOB的顶点O为圆心，以适当长为半径画弧，交∠AOB的两边于C、D
(3)以点O'为圆心，以OC长为半径画弧，交O'A'于点C'
(4)以点C'
为圆心，以CD长为半径画弧，交前一条弧于点D'.
(5)经过点D'作射线O'B'.
∠A'OB'就是所画的角.
探究三：
第一步:在射线OA、OB上，
分别截取OD、OE,使OD=OE;
第二步:分别以点D和点E为圆心、适当长(大于线段DE长的一半)为半径作圆弧，在∠AOB内在∠AOB内，两弧交于点C;
第三步:作射线OC.
射线OC就是所要求作的∠AOB的平分线.
课堂小结：
1、作一条线段等于已知线段
2、作一个角等于已知角
3、作已知角的平分线
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精品试卷·第
2
页
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2
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13.4.1
尺规作图
数学华师版
八年级上
新知导入
情境引入
【想一想】你知道什么是尺规作图吗？尺规的基本作用分别是什么？
只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图．
尺规作图的工具只能是直尺和圆规,其中直尺用来作直线、线段、射线或延长线段等；圆规用来作圆或圆孤等．
值得注意的是直尺是没有刻度的或不考虑刻度的存在.
据传为了显示谁的逻辑思维能力更强，古希腊人限制了几何作图的工具，结果一些普通的画图题让数学家苦苦思索了两千多年.尺规作图特有的魅力，使无数人沉湎其中。
复习导入
直尺、量角器、圆规都是大家很熟悉的工具，大家都知道用直尺可以画线，用量角器可以画角，用圆规可以画圆.
请大家画一条长4cm的线段，画一个35°的角.
复习导入
A
B
1
3
2
8
7
4
9
6
5
0
10
4
我们已经会使用刻度尺、三角尺、量角器和圆规等工具方便地画出各种几何图形.如果限定只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形，你还能作出符合条件的图形吗?
我们把只能使用圆规和没有刻度的直尺这
两种工具作几何图形的方法称为尺规作图.
新知讲解
以下我们将研究仅用直尺和圆规作已知角的平分线、经过一已知点作已知直线的垂线、作已知线段的垂直平分线的方法.
新知讲解
新知讲解
M
N
图13.4.1
1.作一条线段等于已知线段
MN为已知线段,你能用直尺和圆规准确地作一条与MN相等的线段吗?
新知讲解
图13.4.2
A
B
C
作法：
(1)
作射线AB
；
(2)
以点M为圆心，以MN的长为半径画弧，交射线AB于点C，
AC就是所求作的线段.
M
N
O
A
D'
B'
B
O'
A'
新知讲解
2.作一个角等于已知角
------------
------------
作法：
(1)画射线O'A'
(2)以角∠AOB的顶点O为圆心，以适当长为半径画弧，交∠AOB的两边于C、D
(3)以点O'为圆心，以OC长为半径画弧，交O'A'于点C'
(4)以点C'
为圆心，以CD长为半径画弧，交前一条弧于点D'.
(5)经过点D'作射线O'B'.
∠A'OB'就是所画的角.
C'
C
D
新知讲解
如图13.4.4，∠AOB为已知角,试按下列步骤
用直尺和圆规准确地作出∠AOB的平分线.
3.作已知角的平分线
图13.4.4
E
B
C
O
D
A
新知讲解
第一步:在射线OA、OB上，
分别截取OD、OE,使OD=OE;
第二步:分别以点D和点E为圆心、适当长(大于线段DE长的一半)为半径作圆弧，在∠AOB内，两弧交于点C;
第三步:作射线OC.
射线OC就是所要求作的∠AOB的平分线.
B
C
O
A
E
D
新知讲解
我们可以证明这样作出来的射线是符合要求的，即∠AOC=∠BOC.
如图13.4.5,连结EC、DC.
∵OD=OE,DC=EC,OC=OC,
∴△OCD≌△OCE(S.S.S.
)
,
∴∠AOC
=∠BOC(全等三角形的对应角相等).
图13.4.5
注意:
①已知:根据文字语言用数学语言写出题目
中的条件;
②求作:根据题目写出要求作出的图形及此
图形应满足的条件;
③作法:根据作图的过程写出每一步的操作.
过程.
新知讲解
课堂练习
1、利用尺规不可作的直角三角形是
（
）
A、已知斜边及一条直角边
B、已知两条直角边
C、已知两锐角
D、已知一锐角及一直角边
C
2.C
3.A
4.如图，已知线段a，c，∠α.
求作△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.
解：
(1)作∠MBN＝∠α.
(2)在射线BM上截取BA＝c，在射线BN上截取BC＝a.
(3)连结AC，则△ABC即为所求作的三角形(如图)．
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13.4.1
尺规作图
课题
13.4.1
尺规作图
单元
第14单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
1.掌握前三种尺规作图的方法及一般步骤，能说出基本作图语言;2.通过动手操作、合作探究，培养作图能力、语言表达能力、逻辑思维能力和推理能力;
重点难点
理解并掌握作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角及作已知角的平分线三个基本作图.
教学过程
教学环节
教师活动
设计意图
讲授新课
【想一想】你知道什么是尺规作图吗？尺规的基本作用分别是什么？只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图．尺规作图的工具只能是直尺和圆规,其中直尺用来作直线、线段、射线或延长线段等；圆规用来作圆或圆孤等．值得注意的是直尺是没有刻度的或不考虑刻度的存在.直尺、量角器、圆规都是大家很熟悉的工具，大家都知道用直尺可以画线，用量角器可以画角，用圆规可以画圆.请大家画一条长4cm的线段，画一个35°的角.我们已经会使用刻度尺、三角尺、量角器和圆规等工具方便地画出各种几何图形.如果限定只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形，你还能作出符合条件的图形吗?我们把只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图.以下我们将研究仅用直尺和圆规作已知角的平分线、经过一已知点作已知直线的垂线、作已知线段的垂直平分线的方法.1.作一条线段等于已知线段MN为已知线段,你能用直尺和圆规准确地作一条与MN相等的线段吗?作法：(1)
作射线AB
；(2)
以点M为圆心，以MN的长为半径画弧，交射线AB于点C，AC就是所求作的线段.2.作一个角等于已知角作法：(1)画射线O'A'
(2)以角∠AOB的顶点O为圆心，以适当长为半径画弧，交∠AOB的两边于C、D(3)以点O'为圆心，以OC长为半径画弧，交O'A'于点C'(4)以点C'
为圆心，以CD长为半径画弧，交前一条弧于点D'.(5)经过点D'作射线O'B'.
∠A'OB'就是所画的角.3.作已知角的平分线如图13.4.4，∠AOB为已知角,试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出∠AOB的平分线.第一步:在射线OA、OB上，
分别截取OD、OE,使OD=OE;第二步:分别以点D和点E为圆心、适当长(大于线段DE长的一半)为半径作圆弧，在∠AOB内，两弧交于点C;第三步:作射线OC.射线OC就是所要求作的∠AOB的平分线.我们可以证明这样作出来的射线是符合要求的，即∠AOC=∠BOC.如图13.4.5,连结EC、DC.∵OD=OE,DC=EC,OC=OC,∴△OCD≌△OCE(S.S.S.
)
,∴∠AOC
=∠BOC(全等三角形的对应角相等).注意:①已知:根据文字语言用数学语言写出题目中的条件;②求作:根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件;③作法:根据作图的过程写出每一步的操作.过程.课堂练习：1、利用尺规不可作的直角三角形是
（
）A、已知斜边及一条直角边
B、已知两条直角边C、已知两锐角
D、已知一锐角及一直角边1.C
如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD=∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（ ）
①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．
②作射线CD，则∠BCD=∠AOB．
③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．
④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．A.
①-②-③-④
B.
③-②-④-①
C.
④-①-③-②
D.
④-③-①-②
3、已知：∠AOB．求作：一个角，使它等于∠AOB．步骤如下：如图，
（1）作射线O'A'
（2）以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；
（3）以O'为圆心，OC为半径作弧C'E'，交O'A'于C'；
（4）以C'为圆心，CD为半径作弧，交弧C'E'于D'；
（5）过点D'作射线O'B'．则∠A'O'B'就是所求作的角．
请回答：该作图的依据是（ ）A.
SSS
B.
SAS
C.
ASA
D.
AAS4.如图，已知线段a，c，∠α.求作△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.解：
(1)作∠MBN＝∠α.(2)在射线BM上截取BA＝c，在射线BN上截取BC＝a.(3)连结AC，则△ABC即为所求作的三角形(如图)．
课堂小结
本节课你学到了什么？作一个角等于已知角可以归纳为“一线三弧”先画一条射线,再作三次弧.其中前两次弧半径相同,而第三次以原角的两边与弧的交点之间的距离为半径.
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精品试卷·第
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