第22章一元二次方程(全章学案)

23.1 一元二次方程 学案
学习目标：
1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
课堂研讨：
探究新知
【例1】小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm,那么剪去的正方形的边长是多少？
设剪去的正方形的边长为xcm，你能列出满足条件的方程吗？你是如何建立方程模型的？
合作交流
动手实验一下，并与同桌交流你的做法和想法。
列出的方程是 .
自主学习
【做一做】根据题意列出方程：
1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？
2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？
观察上述四个方程结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。
【我学会了】
1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ,其中 二次项， 是一次项， 是常数项， 二次项系数 ， 一次项系数。
展示反馈
【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。
【例2】 将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
（1） （2）
【挑战自我】
1、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2－x=2； （2）7x－3=2x2;
（3）(2x－1)－3x(x－2)=0 （4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.
2、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；
（1） ±1 ±2；
（2） ±2， ±4
3、要使是一元二次方程，则k=_______.
4、已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值。
拓展提高
1、已知关于x的方程。问
（1）当k为何值时，方程为一元二次方程？
（2）当k为何值时，方程为一元一次方程？
归纳小结
1、本节课我们学习了哪些知识？
2、学习过程中用了哪些数学方法？
3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？
作业：
课本第19页习题23.1第1、2、3题。
课后反思：
23.2.1一元二次方程的解法（一）
教学目标
1.会用直接开平方法解形如（a≠0,a≥0）的方程；
2.灵活应用直接开平方法解一元二次方程。
3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用。
研讨过程
一、复习导学
1.什么叫做平方根
2.平方根有哪些性质？
二、探索新知
试一试：
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流。
（1）x2=4 （2）x2-1=0
解（1）∵x是4的平方根
∴x＝
即原方程的根为： x1= ，x2 =
（2）移向，得x2=1
∵ x是1的平方根
∴x=
即原方程的根为： x1= ，x2 =
概括总结：
就是把方程化为形如x2=a（a≥0）或（a≠0,a≥0）的形式，然后再根据平方根的意义求解的过程，叫做直接开平方法解一元二次方程。
如：已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m、n必须满足的条件是（ ）
A.n=0 B.m、n异号
C.n是m的整数倍 D.m、n同号
例1解下列方程
（1）x2-1.21=0 （2）4x2-1=0
解：（1）移项，得x2= （2）移项，得4x2=
∵x是 的平方根 两边都除以4，得
∴x= ∵x是 的平方根
即原方程的根为： x1= ，x2 = ∴x=
即原方程的根为：
x1= ，x2 =
例2解下列方程：
⑴ （x＋1）2= 2 ⑵ （x－1）2－4 = 0
⑶ 12（3－2x）2－3 = 0
练一练：
1.解下列方程：
（1）x2-0.81=0 （2）9x2=4
2.解下列方程：
（1）（x+2）2 =3 （2）（2x+3）2-5=0
（3）（2x-1）2 =（3-x）2
4、一个正方形的面积是100cm2， 求这正方形的边长是多少？
课堂小结：
能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明。
课后反思：
23.2.2一元二次方程的解法（二）
教学目标
会用直接开平方法解形如（a≠0,a≥0）的方程；
灵活应用因式分解法解一元二次方程。
使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。
研讨过程
一 、 复习练习：
什么是直接开平方法？请举例说明。
你能解以下方程吗？
（1）8－x2= —1 （2)3y2—18=0
（3) x(x-1)+4x=0 （4）—3x2 —27=0
二、例题讲解与练习
你是怎样解方程的？
解：1、直接开平方，得x+1=
所以原方程的解是x1＝ ，x2＝
2、原方程可变形为
方程左边分解因式，得（x+1+16） =0
即可（x+17） =0
所以x＋17=0， =0
原方程的蟹 x1＝ ，x2＝
练习： 解下列方程
（1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0.
（3）（x＋2）2－16＝0； （4）(x－1)2－18＝0；
（5）(1－3x)2＝1； （6）(2x＋3)2－25＝0.
三、读一读
小张和小林一起解方程 x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.
小张将方程左边分解因式，得
(3x＋2)(x－6)＝0,
所以 3x＋2＝0,或x－6＝0.
方程的两个解为　　x1＝， x2＝6.
小林的解法是这样的：
移项，得　　 x(3x＋2)＝6(3x＋2),
方程两边都除以（3x+2），得 x＝6.
小林说:“我的方法多简便！”可另一个解x1＝哪里去了？
小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？
四、讨论、探索：解下列方程
（1）(x+2)2=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2)2 -x+2 =0
（4）(2x+1)2=(x-1)2 （5）。
练习：解下列方程
2 (x+3)2=6(x+3) 2) (2x+3)2=(4-2x)2 3) x(3x+1)=9x+3
本课小结
这节课你学到了什么？你认为应该注意哪些？
布置作业：
习题1（5、6）习题2（1、2）
课后反思：
23.2.2一元二次方程的解法（因式分解法）
◆随堂检测
1. 一元二次方程的解是_____.
A. B.
C. D.
2. 方程的根是_____.
A. B.
C. D.
3. 当______时，是关于的完全平方式.
4. 下列方程中，不适合用因式分解法的是_____.
A. B.
C. D.
◆典例分析
用因式分解法解方程：
解：，
，
则，
所以。
●拓展提高
1. 用因式分解法解下列一元二次方程
（1）
（2）
（3）
（4）
2. 已知方程的一个根为-1，那么方程的根为_____
A. B.
C. D. 以上答案都不对
3. 如果，则的值为__________________.
4. 以1和—3为两根的一元二次方程是______________.
5. 用因式分解法解下列方程。
（1）
（2）
6. 已知，求的值。
23.2.3一元二次方程的解法（三）配方法
学习目标：
1、熟练掌握完全平方公式，会将一个二次三项式配成一个完全平方
2、理解配方法的根据就是直接开平方。
3、会用配方法解一元二次方程。注意变形形式的求解
学习过程：
复习回顾：
1、若x2=a(a≥0)，则x =_______.
若（x+1）2=a(a≥0)，则x =_______，即 x1＝_______，x2＝________.
直接开平方法解一元二次方程要求方程左边是一个含有未知数的 ，右边是一个 。
2、解方程：（1）、 （2）、
3、思考下面方程如何求解，并思考它们之间的联系
（1）、 （2）、
新课研讨：
象上面的方程求解，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方法是为了 ，把一个一元二次方程转化为两个 来解。
2、配方法是将方程左边变成含有未知数的 ，右边是 ，再用直接开平方法求解。
3、例1、在空格处填上适当的数字，使式子成为完全平方。
（1）、+ = ）； （2）、+ +25= ）
（3）、+ =3 ） （4）、+ =2 ）
练习1、填空配方
代数式 写成形式 写成形式
+ 4
总结：（1）、 要配成完全平方，横线上只需加上 ，就可以配成完全平方 ）
（2）、对于二次项系数不为1的情况，可以先将系数变为1，再进行配方。
例2、解下列方程
（1）、 （2）、 （3）、
练习2、（1）、 （2）、
（3）、 （4）、
（5）、 （6）、
作业：
课后反思：
23.2.3一元二次方程的解法（配方法）练习
◆随堂检测
1.将一元二次方程化成的形式，则等于_____.
A.-4 B. 4 C.-14 D. 14
2. .
3. 二次三项式的最小值为______.
4. 若方程可化为，则=_____，=______.
5. 方程配方后得=_________.
◆课下作业
6. 当=______时，有最大值，这个最大值是_______.
7. 如果、、是△ABC的三边，且满足式子，请指出△ABC的形状，并给出论证过程.
8. 说明代数式总大于.
9. 用配方法解下列方程
（1） （2）
（3）
●体验中考
1.（2009年山西太原）用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2009年湖北仙桃）解方程：．
3.（2008杭州）已知方程可以配成的形式，那么可以配成下列的_____
A. B.
C. D.
23.2 .4一元二次方程的解法(四)
教学目标
1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。
2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。
3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。
研讨过程
一、复习旧知，提出问题
1.用配方法解下列方程：
（1） (2)
2.用配方解一元二次方程的步骤是什么？
3.用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？
二、探索解法
问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为吗？
因为，方程两边都除以，得
移项，得
配方，得
即
问题2：当，且时，大于等于零吗？
得出结论：当时，因为，所以，从而。
问题3：在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？
得出结论，当时，一般形式的一元二次方程的根为，即。
由以上研究的结果，得到了一元二次方程的求根公式： （）
这个公式说明方程的根是由方程的系数、、所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数、、的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
思考：当时，方程有实数根吗？
三、例题
例1、解下列方程：
1、； 2、；
3、； 4、
例2、解方程
解：这里，，，
因为负数不能开平方，所以原方程无实数根。
如：不解方程，判断下列方程根的情况：
（1） （2）
◆随堂检测
1.若关于的方程有实数解，则得取值范围是____
A. B.
C. D.
2. 方程的根是_____
A. B.
C.无实根 D.
3. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么=______
4. 若关于的方程没有实数根，则得取值范围是______
5. 下列方程中，没有实数根的是_____
A. B.
C. D.
6. 已知两数的积是12，两数的平方和是25，则这两个数的和为______
7. 用公式法解一元二次方程。
（1） （2）
课堂小结：
当时，方程有两个 的实数根；
当时，方程有两个 的实数根；
当时，方程 实数根。
课堂作业：
课本28页练习题
课后反思：
23.2.5一元二次方程的解法(五)
教学目标
1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程的应用题。
2、提高学生分析问题、解决问题的能力。
3、培养学生数学应用的意识。
研讨过程
一、复习旧知，提出问题
1、叙述列一元一次方程解应用题的步骤。
2、用多种方法解方程
二、解决问题
请同学们先看看Ｐ18页问题1，要想解决§23.1的问题1，首先要解方程，同学谁能解这个方程吗？
口答结果：x1= x2= ,
提问：
1、所求、都是所列方程的解吗？
2、所求、都符合题意吗？说明了什么问题？
我们应把实际问题转化为数学问题来解决，求得的方程的解，不一定是原问题的解答，因此，要注意是检验解是否符合题意。（作为应用题，还应作答）。
三、例题
例1．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。
分析：设截去正方形的边长x厘米，底面（图中虚线线部分）长等于 厘米，宽等于 厘米，底面= 。
解：设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得
解方程得
经检验， 不符合题意，应舍去，符合题意的解是
答：截去正方形的边长为 厘米。
合作交流：
列一元二次方程解应用题的步骤：
。
三、课堂练习
1.学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540，小道的宽应是多少？
2.用一块长80cm、宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的边长为xcm的小正方形，然后做成底面积为1500cm的无盖长方体盒子。为求出x，根据题意，列方程并整理得（ ）
A、x-70x+825=0 B、x+70x-825=0
C、x-70x-825=0 D、x+70x+825=0
3.要用一条长为24cm的铁丝围成一个斜边长为10cm的直角三角形，则两条直角边的长分别为（ ）
A、4cm，8cm B、6cm，8cm C、4cm，10cm D、7cm，7cm
课后延伸：（典型习题）
1、台门中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上，修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与图纸设计．现有三位学生各设计了一种方案（图纸如下所示），问三种设计方案中道路的宽分别为多少米？
⑴甲方案图纸为图1，设计草坪总面积540平方米．
解：设道路宽为米，根据题意，得
答：本方案的道路宽为 米．
⑵乙方案图纸为图2，设计草坪总面积540平方米．
解：设道路宽为米，根据题意，得
答：本方案的道路宽为 米．
⑶丙方案图纸为图3，设计草坪总面积570平方米．
解：设道路宽为米，根据题意，得
答：本方案的道路宽为 米．
四、小结
让学生反思、归纳、总结，应用一元二次方程解实际问题，要认真审题，要分析题意，找出数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决。求得方程的解之后，要注意检验是否任命题意，然后得到原问题的解答。
五、作业：
练习1、2
课后反思:
23.2.6一元二次方程的解法(六)
教学目标
1、使学生会列出一元二次方程解有关变化率的问题。
2、培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学应用的意识。
研讨过程
一、创设问题情境
百分数的概念在生活中常常见到，而量的变化率更是经济活动中经常接触，下面，我们就来研究这样的问题。
问题：某商品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率一样。求每次降价的百分率。（精确到0.1%）
二、探索解决问题
分析：“两次降价的百分率一样”，指的是第一次和第二次降价的百分数是一个相同的值，即两次按同样的百分数减少，而减少的绝对数是不相同的，设每次降价的百分率为，若原价为，则第一次降价后的零售价为 ，又以这个价格为基础，再算第二次降价后的零售价为 。
解：设每次降价的百分率为x.根据题意，得
解这个方程，得
经检验：
答：每次降价的百分率为 .
三、拓展引申
某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）
解：每次升价的百分率为，根据题意，得
解这个方程，得
经检验：
答：每次升价的百分率为 。
四、巩固练习
1.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.
2.某商场今年1月份销售额为100万元,2月份销售额下降了10%, 该商场马上采取措施,改进经营管理,使月销售额大幅上升,4月份的销售额达到129.6万元,求3, 4月份平均每月销售额增长的百分率.
3.某公司向银行贷款20万元资金, 约定两年到期时一次性还本付息, 年利率是12%,该公司利用这笔贷款经营,两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余6. 4万元,若在经营期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数.
五、小结
关于量的变化率问题，不管是增加还是减少，都是变化前的数据为基础，每次按相同的百分数变化，若原始数据为，设平均变化率为，经第一次变化后数据为；经第二次变化后数据为。在依题意列出方程并解得值后，还要依据的条件，做符合题意的解答。
六、作业：
课本第30页，练习1、2
课后反思：
图
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