2020-2021学年湘教新版九年级上册数学《第4章 锐角三角函数》单元测试卷（word版、含答案）

2020-2021学年湘教新版九年级上册数学《第4章
锐角三角函数》单元测试卷
一．选择题
1．如图，在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝3，∠C＝90°，则cosB的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．已知sinα＜cosα，那么锐角α的取值范围是（　　）
A．30°＜α＜45°
B．0°＜α＜45°
C．45°＜α＜60°
D．0°＜α＜90°
3．已知sinα?cosα＝，45°＜α＜90°，则cosα﹣sinα＝（　　）
A．
B．﹣
C．
D．±
4．tan45°的值为（　　）
A．2
B．﹣2
C．1
D．﹣1
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则cosA的值是（　　）
A．
B．2
C．
D．
6．Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，cosA＝，则AC的长为（　　）
A．
B．
C．
D．5
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠B的正切值为（　　）
A．3
B．
C．
D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则tanA＝（　　）
A．
B．
C．
D．
9．sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（　　）
A．tan70°＜cos70°＜sin70°
B．cos70°＜tan70°＜sin70°
C．sin70°＜cos70°＜tan70°
D．cos70°＜sin70°＜tan70°
10．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，则BC＝　
　．
12．已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是　
　．
13．Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则sinB的值为　
　．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则tanA的值是　
　．
15．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则sin
A＝　
　．
16．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA＝　
　．
17．比较大小：sin44°　
　cos44°（填＞、＜或＝）．
18．已知角α为锐角，且sinα＝，则cosα＝　
　．
19．在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA+sinB＝，则sinA﹣sinB＝　
　．
20．已知∠A为锐角，且tanA＝，则∠A的大小为　
　．
三．解答题
21．在△ABC中，∠B、∠C
均为锐角，其对边分别为b、c，求证：＝．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝2，求AB的长．
23．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝24cm，cosA＝，求这个三角形的周长．
24．如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝．
（1）求BC的长；
（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）
25．在锐角△ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84，求：
（1）tanC的值；
（2）sinA的值．
26．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα　
　cosα；若∠α＜45°，则sinα　
　cosα；若∠α＞45°，则sinα　
　cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝3，
由勾股定理得，AB＝＝＝5，
∴cosB＝＝，
故选：C．
2．解：∵cosα＝sin（90°﹣α），
∴sinα＜cosα＝sin（90°﹣α）．
又正弦值随着角的增大而增大，
得α＜90°﹣α，
∴α＜45°．
又α是锐角，则α的取值范围是0°＜α＜45度．
故选：B．
3．解：∵45°＜α＜90°，
∴cosα﹣sinα＜0
又∵（cosα﹣sinα）2＝cos2α+sin2α﹣2sinα?cosα＝1﹣＝，
∴cosα﹣sinα＝﹣＝﹣．
故选：B．
4．解：tan45°＝1，
故选：C．
5．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，
∴sinA＝＝，
∴∠A＝30°，
∴cosA＝cos30°＝，
故选：D．
6．解：如图所示：
∵∠C＝90°，AB＝4，cosA＝，
∴cosA＝＝＝，
故AC＝．
故选：B．
7．解：在Rt△ABC中，tanB＝＝，
故选：B．
8．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
tanA＝＝，
故选：B．
9．解：根据锐角三角函数的概念，知
sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1．
又cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，
∴sin70°＞cos70°＝sin20°．
故选：D．
10．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°得
∠B+∠A＝90°．
由一个角的正弦等于它余角的余弦，得
cosB＝sinA＝，
故选：B．
二．填空题
11．解：sinA＝CB：AB＝CB：10＝，
CB＝6．
故答案为：6．
12．解：∵＜cosA＜sin70°，sin70°＝cos20°，
∴cos30°＜cosA＜cos20°，
∴20°＜∠A＜30°．
故答案为：20°＜∠A＜30°．
13．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴sinB＝＝．
故答案为：．
14．解：tanA＝＝，
故答案为：．
15．解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴sinA＝＝．
故答案为．
16．解：如图，
由勾股定理得AC＝2，AD＝4，
cosA＝，
故答案为：．
17．解：∵cos44°＝sin46°，正弦值随着角的增大而增大，
又∵44°＜46°，
∴sin44°＜cos44°．
故答案为：＜．
18．解：∵sin2α+cos2α＝1，
∴cosα＝＝．
19．解：（sinA+sinB）2＝（）2，
∵sinB＝cosA，
∴sin2A+cos2A+2sinAcosA＝，
∴2sinAcosA＝﹣1＝，
则（sinA﹣sinB）2＝sin2A+cos2A﹣2sinAcosA＝1﹣＝，
∴sinA﹣sinB＝±．
故答案为：±．
20．解：∠A为锐角，且tanA＝，则∠A＝60°，
故答案为：60°．
三．解答题
21．证明：过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，sinB＝，
∴AD＝ABsinB，
在Rt△ADC中，sinC＝，
∴AD＝ACsinC，
∴ABsinB＝ACsinC，
而AB＝c，AC＝b，
∴csinB＝bsinC，
∴＝．
22．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴tanA＝＝．
∵BC＝2，
∴＝，AC＝6．
∵AB2＝AC2+BC2＝40，
∴AB＝．
23．解：可设AC＝5xcm，AB＝13xcm，
则BC＝12xcm，
由12x＝24得x＝2，
∴AB＝26，AC＝10，
∴△ABC的周长为：10+24+26＝60cm．
24．解：（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示：
在Rt△ADC中，AC＝4，
∵∠ACB＝150°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，
CD＝AC?cos30°＝4×＝2，
在Rt△ABD中，tanB＝＝＝，
∴BD＝16，
∴BC＝BD﹣CD＝16﹣2；
（2）在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，如图2所示：
∵∠ACB＝150°，
∴∠AMC＝∠MAC＝15°，
tan15°＝tan∠AMD＝＝＝＝2﹣≈0.3．
25．解：（1）过A作AD⊥BC于点D．
∵S△ABC＝BC?AD＝84，
∴×14×AD＝84，
∴AD＝12．
又∵AB＝15，
∴BD＝＝9．
∴CD＝14﹣9＝5．
在Rt△ADC中，AC＝＝13，
∴tanC＝＝；
（2）过B作BE⊥AC于点E．
∵S△ABC＝AC?EB＝84，
∴BE＝，
∴sin∠BAC＝＝＝．
26．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．
（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．
（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．