2021—2022学年人教版数学九年级上册21.2解一元二次方程公式法和因式分解法课件（共2课时、28张PPT）

(共28张PPT)
第21章：一元二次方程
21.2
解一元二次方程---公式法
学
习
目
标
1.了解用配方法推导求根公式的过程
2.掌握判别式与方程根的关系
3.会用公式法解一元二次方程
情境导入
思
考
请用配方法求方程：x?+bx+c=0(a≠0)的解？
回
顾
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
如：4x?-8x-12=0
2.形如x?=P的根有几种情形？
利用配方法解：x?+bx+c=0(≠0)
归纳
x?+bx+c=0(a≠0)
??＞0(△＞0)，方程有两个不等的实数根．
??，
．
??=0
(△=0)
，方程有两个相等的实数根．
??=．
??＜0
(△＜0)
，方程没有实数根．
如何表示方程有实根？
△≥0
利用公式法解一元二次方程
例题1
解析
解方程：x?4x=7
??????化为一般式得：x??4x-7=0
∵，b=4??????
，c=7??????.
?
?????∴△==16(28)=44＞0.
??????
∴方程有两个不相等的实数根
∴
即
?????，??????.
一般步骤
①化成一般式
②找到a，b，c，③计算判别式，判断根的情况
④代入求根公式
⑤写出最终结果
利用公式法解一元二次方程
练习1-1
解析
解方程：①x?6x=-5
②(x+2)(x+3)=1
??????
化为一般式为：x??6x+5=0
∵，b=-6??????
，c=5??????.
?
?????∴△==3620=16＞0.
??????
∴方程有两个不相等的实数根
∴
即
?????
，??????.
??????化简得：x?+5x+5=0
∴，b=5??????
，c=5??????.
?
?????∴△==25-20=5＞0.
??????
∴方程有两个不相等的实数根
∴
即
?????，??????.
判别式的应用
例题2
解析
关于x的一元二次方程：(m-3)x?-4x-1=0，有实数根，求m的取值范围？
??????依题可得
即
解得
∴1且m
陷阱提示：若没有限定“一元二次方程”，m-3=0也符合题意.
不解方，判断关于
x
的方程
x?-kx+k-2=0????
的根的情况.
练习
2-2
若关于
x
的一元二次方程
(k-1)x2+2x-2=0
有不相等实数根，求
k的取值范围．
练习
2-1
不解方程，判断关于
x
的方程
x?-kx+k-2=0????
的根的情况.
练习
2-2
若关于
x
的一元二次方程
(k-1)x2+2x-2=0
有不相等实数根，求
k的取值范围．
练习
2-1
????????
解：∵=1，b=k????
，c=k2
，
?
????
∴△=
=k?4(k2)=k?4k+8
=
k?4k+4+4=(k
2)?+4＞0
????
∴方程有两个不相等的实数根．
k
的取值范围为：k＞????
且
k
≠
1．
利用公式法解一元二次方程
练习2-3
要设计一座1m高的人体雕像，雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？
利用公式法解一元二次方程
练习2-3
要设计一座1m高的人体雕像，雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？
解：设BC为x，依题可得
x?=1(1-x)
整理得
x2+x-2=0
解得
x
∴，≈0.618
今天我们学习了哪些知识？
归纳总结
1.用配方法推导了球根公式：
2.判别式与根的个数关系：4种
△＞0,△=0,
△＜0,
△≥0
3.用公式法解一元二次方程的步骤：4步
①化
②算
③代
④写
21.2
解一元二次方程---因式分解法
情境导入
回
顾
因式分解的方法有哪些？
因
式
分
解
C可以表示一个字母，也可以表示一个代数式.
情境导入
回
顾
若
=0，能得出什么结论？
=0，则=0或=0
方程
0(≠0)，通过变形和因式分解，变成(x+p)(x+q)=0的形式，则x+p=0或x+q=0，进而解出方程。
请将进行因式分解
解方程：0
猜想
归纳
探究因式分解法解一元二次方程
例题1
解方程
x?4x=0
配方法
解：x?4x=0
x?-4x+4=4
(x-2)?=4
x-2=±2
x
=2±2
∴4，0
也可将方程的解代入原方程来验证是否正确
因式分解法
解：x?4x=0
x(x-4)=0
∴4，0
可以发现，上述解法中，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
由于不是所有的方程都能因式分解，这种方法仅限于能因式分解的一元二次方程.
练习1-1
用因式分解法解下列方程
①(x-2)?=3(x-2)
②(2x-1)?-x?=0
③x?-6x+9=0
③x?-12x+35=0
，
，
，
例题2
下面是小明同学在解一道一元二次的过程，你认为正确吗？为什么？
解方程：
x?2x
解：方程两边同时除以x
得
x=2
∴方程的解为x=2
易错点：漏解
直接开平方法：
可以解ax?=b
型的方程
.
配方法：
可以解任何一元二次方程，需要先配方，再使用直接开平方法。配方时，建议先二次项系数化为1，再配一次项系数一半的平方.
公式法：
可以解任何一元二次方程，计算量稍大．
因式分解法：
可以使用提公因式法、公式法、十字相乘法分解因式的方程．
用合适的方法解一元二次方程
例题3
用适当的方法解下列方程
①x?-14x=8
②2x?-9x+8=0
③4x(2x+1)=3(2x+1)
④3x?-7x+2=0
温馨提示：计算△=b?-4ac，若为平方数，此方程必定可以因式分解。
，
，
，
，
21.2.4
一元二次方程---根与系数的关系
情境导入
回
顾
一元二次方程
的
公式法求的两根分别是？
思考
，
请你计算+与的值分别是多少？
+
说明：任何一元二次方程的两根与它的系数存在着一定的关系。
一元二次方程根与系数的关系
归纳
一元二次方程的根为
和
，他们的关系是：
+
即：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比
.
这个关系被叫做韦达定理，是
16
世纪的法国数学家韦达首先发现并使用的
.
一元二次方程根与系数的验证
例题1
已知是方程x?4x+3=0的两根，
求值
练习1-1
关于x的方程，x?+3x+a=0有一根为-1，则另一个根为
.（请尝试不同的方法）
练习1-2
请构造一个两根分别是3和5的一元二次方程。（请尝试不同的方法）
一元二次方程根与系数的关系
例题2
已知方程
x??4x+2=0
的两根为.
（1）求
（2）求
（3）求
:由韦达定理可知
4，2
(1)∵
∴12
(2)∵
∴
(3)
∵
∴4?4×2=8
∴±±2
已知方程x?+2x-3=0有两根为，则?+2-5的值为。
练习2-1
已知是关于
的方程的两个实数根，且满足，求
m
的值
.
练习2-2
:由韦达定理可知
-1，
∵
∴8
整理得
解得
=1
当m=7时，△=6?-4×14=-20＜0，∴m=7舍去
当m=1时，△=2?+4×2=12＞0，符合题意
综上所述，m=-1
思考：为什么需要检验呢，原因是？
使用的前提是方程有两根，故需要对“判别式△≥0”
进行验证。