湖北省孝感奥美高中2022届高三上学期一轮复习数学练习卷（2）（Word版含答案）

奥美高中2019级第一轮复习数学练习卷（2）
一、单选题
1．集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．若曲线在处的切线与直线垂直，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．的展开式中的系数为（
）
A．88
B．104
C．
D．
4．函数的图象可能是（
）
A．B．C．
D．
5．设双曲线的左右焦点分别为，圆与双曲线C在第一象限的交点为A，若的周长为，则双曲线的渐近线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
6．若圆上的两个动点满足点在圆上运动，则的最小值是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
7．下列五个命题
①在某项测量中，测量结果
服从正态分布
，若在(0，2)内取值的概率为0.4，则在(0，+∞)内取值的概率为0.8;
②集合，，则的真子集个数为3;
③命题“若，则”的逆否命题为“若，则”;
④若的展开式中各项的二项式系数之和为，则此展开式中项的系数为;
⑤在道题中有道理科题和道文科题，如果不放回地依次抽取道题，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为．
其中正确的个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
8．已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知，则下列结论一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（
）
A．
B．若，则复平面内对应的点位于第二象限
C．已知复数且，则
D．若复数是纯虚数，则或
11．已知圆和圆的交点为，，则
A．圆和圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．圆上存在两点和使得
D．圆上的点到直线的最大距离为
12．如图，在正方体中，，点M，N分别在棱AB和上运动（不含端点），若，下列命题正确的是（
）
A．
B．平面
C．线段BN长度的最大值为
D．三棱锥体积不变
三、填空题
13．设函数则_____________.
14．设，（），若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是______．
15．已知圆与有唯一的公共点，且公共点的横坐标为，则的值为_________．
16．已知关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是________
四、解答题
17．已知是数列的前项和，且.在等比数列中，，公比为3.
（1）求数列和的通项公式，以及数列的前项和；
（2）设，求数列的前项和.
18．在中，内角、、的对边分别为、、．已知，向量，，且．
（1）求外接圆的直径；
（2）若，求的面积．
19．作为世界最大棉花消费国、第二大棉花生产国，我国2020－2021年度棉花产量约595万吨，总需求量约780万吨，年度缺口约185万吨.其中，新疆棉产量520万吨，占国内产量比重约87%，占国内消费比重约67%.新疆地区的棉花是世界上最好的棉花之一，新疆长绒棉，世界顶级，做衣被，暖和、透气、舒适，长年供不应求.评价棉花质量的重要指标之一就是棉花的纤维长度，新疆农科所在土壤环境不同的A、B两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从A、B两地的棉花中各随机抽取40根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于300mm的为“长纤维”，其余为“短纤维”）.
纤维长度
A地（根数）
4
9
2
17
8
B地（根数）
2
1
2
20
15
（1）由以上统计数据，填写下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”(的观测值精确到0.001)
.
A地
B地
总计
长纤维
短纤维
总计
附：（1）（2）临界值表；
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（2）现从抽取的80根棉花纤维中“短纤维”里任意抽取2根做进一步研究，记Ｂ地“短纤维”的根数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
（3）根据上述B地关于“长纤维”与“短纤维”的调查，将B地“长纤维”的频率视为概率，现从B地棉花（大量的棉花）中任意抽取3根棉花，记抽取的“长纤维”的根数为，求的分布列及数学期望.
20．如图，在三棱锥中，底面，，、分别是、的中点，与交于点，是上的一个点，记．
（1）若平面，求实数的值；
（2）当时，求二面角的余弦值．
21．已知为椭圆的左右焦点，椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到的距离之和为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线分别交椭圆于和，且，试求四边形的面积S的取值范围.
22．已知函数，函数满足．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个不同的零点、，证明：．
参考答案
1．B
2．C
3．D
4．B
5．C
6．C
7．C
8．C
9．AB
10．AC
11．ABD
12．ACD
13．
14．
15．
16．
17．【详解】（1）依题意得，，当时，，
又，∴.由，得，∴，∴.
（2）依题意得，，
则，①
，②
①-②，得
，
∴.
18．【详解】（1）因为，所以，则，
因为，所以，则，因为，所以，，故外接圆的直径.
（2）因为，所以由正弦定理易知，，
因为，所以，即，由余弦定理易知，，即，
联立，即，
解得或（舍去），，故的面积.
19．【详解】解：（1）根据已知数据得到如下列联表：
A地
B地
总计
长纤维
25
35
60
短纤维
15
5
20
计
40
40
80
根据列联表中的数据，可得，
因为，所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”；
（2）由题意可知，抽取的80根棉花纤维中“短纤维”有20根，A地15根，B地5根，从中任意抽取2根做进一步研究，则Ｂ地“短纤维”的根数的可能取值为：0，1，2，
，，，
故的分布列为：
0
1
2
所以
；
（3）由表中数据可知，抽到的棉花为“长纤维”的概率为
，
依题意，将B地“长纤维”的频率视为概率，从B地棉花（大量的棉花）中任意抽取3根棉花，则抽取的“长纤维”的根数，
所以，，
，．
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
故X的期望为.
20．【详解】（1）连接，并延长交于点，
因为、分别是、的中点，所以点为重心，且为的中点，所以，因为平面，平面平面，平面，所以，所以，又因为，所以；
（2）因为，于是，所以，
不妨设，则，且，，
平面，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
，，，
设平面的法向量为，由，取，可得，设平面的法向量为，
由，取，可得，，
由图可知，二面角的平面角为钝角，因此，二面角的余弦值为.
21．【详解】（1）由椭圆定义知2a=4，即a=2，又离心率得半焦距，，所以椭圆的标准方程为：；
（2）由(1)知点，
①当直线的斜率为0时，直线的方程为，则，直线的方程为，则与椭圆的二交点坐标为，，此时，可得；
②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则与椭圆的二交点坐标为，，此时，
直线的方程为，则，可得；
③当直线的斜率存在且不为0时，设直线的斜率为，则直线，
由得，
，设，则，
，同理可得，
由于（当时取等号），，，
，，所以，
综合①②③可知，四边形面积的取值范围是．
22．【详解】（1）由已知得函数的定义域为，
则，
当，即时，，在上单调递增，
当，即时，若时，，若时，，
所以，在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2），，其定义域为，等价于，即，
设，
令，则；令，则.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数有两个不同的零点，即有两个不同的根，，
有两个不同的零点、且，且，
令，
则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，所以，，
即当时，，又，，
，，且在上单调递增，，故，得证．