河北省张家口市第一重点高中2022届高三上学期9月5日数学周测试题（普实班） (Word版含答案解析)

张家口市第一中学高三第一学期9月5日周测试卷
(普实数学)
一、选择题：本题共6小题，每小题8分，共48分
1．对于复数z1，z2，若(z1－i)z2＝1，则称z1是z2的“错位共轭”复数，则复数－i的“错位共轭”复数为(　　)
A．－－i
B．－＋I
C.＋i
D.＋i
2．已知sin＋sinα＝－，－＜α＜0，则cos＝(　　)
A．－
B．－
C.
D.
3．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝(　　)
A.
B.
C.
D.
4．已知函数f(x)＝cos－cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论：
①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数；
②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x＝；
③函数f(x)图象的一个对称中心为；
④函数f(x)的递增区间为，k∈Z.
则正确结论的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
5．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝，则·的值是(　　)
A.
B.
C．2
D．3
6．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．
若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)
A．3
B．2
C.
D．2
二、填空题：本题共3小题，每小题8分，共24分．
7．设a是实数，且＋是实数，则a等于________．
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
9．在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，－1)，P是曲线y＝上一个动点，则·的取值范围是________．
三、解答题：共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
10．(本小题满分14分)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足cos2A－cos2B＋2cos(－B)cos＝0.
(1)求角A的值；
(2)若b＝且b≤a，求a的取值范围．
11．(本小题满分14分)设向量m＝(cosα，1)，n＝(sinα，2)，且m∥n，其中α∈.
(1)求sinα；
(2)若sin(α－β)＝，β∈，求cosβ.
高三普实数学周测试题（2021年9月5日星期日）
一、选择题：本题共6小题，每小题8分，共48分
1．对于复数z1，z2，若(z1－i)z2＝1，则称z1是z2的“错位共轭”复数，则复数－i的“错位共轭”复数为(　　)
A．－－i
B．－＋I
C.＋i
D.＋i
解法一：由(z－i)＝1，可得z－i＝＝＋i，所以z＝＋i.
解法二：(z－i)＝1且＝1，所以z－i和－i是共轭复数，
即z－i＝＋i，故z＝＋i.故选D.
2．已知sin＋sinα＝－，－＜α＜0，则cos＝(　　)
A．－
B．－
C.
D.
解：因为sin＋sinα＝sinα＋cosα＝－，所以sinα＋cosα＝－.所以cos＝cosαcos－sinαsin＝－cosα－sinα＝.故选C.
3．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解：在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，
因为b＝c，所以a2＝2b2(1－cosA)，
又因为a2＝2b2(1－sinA)，
所以cosA＝sinA，所以tanA＝1，
因为A∈(0，π)，所以A＝.故选C.
4．已知函数f(x)＝cos－cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论：
①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数；
②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x＝；
③函数f(x)图象的一个对称中心为；
④函数f(x)的递增区间为，k∈Z.
则正确结论的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解：f(x)＝cos－cos2x＝cos2xcos－sin2xsin－cos2x＝－sin，不是奇函数，①错；f＝－sin＝1，②正确；f＝－sinπ＝0，③正确；令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z，④正确．综上知正确结论的个数为3.故选C.
5．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝，则·的值是(　　)
A.
B.
C．2
D．3
解：取BC的中点D，连接AD，OD，则OD⊥BC，＝(＋)，＝－，
所以·＝(＋)·＝·＋·＝·
＝(＋)·(－)＝(2－2)
＝×(32－22)＝.故选B.
6．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．
若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)
A．3
B．2
C.
D．2
解：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(1，0)，C(1，2)，D(0，2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝，因为P在圆C上，所以设P(1＋cosθ，2＋sinθ)，＝(1，0)，＝(0，2)，＝λ＋μ＝(λ，2μ)，所以
λ＋μ＝2＋cosθ＋sinθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(这里tanφ＝2)，所以λ＋μ的最大值为3.故选A.
二、填空题：本题共3小题，每小题8分，共24分．
7．设a是实数，且＋是实数，则a等于________．
解：＋＝＋＝－i，由题意知＋＝0，所以a＝－1.故填－1.
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
解：由题意，＝，即sinB＝＝＝，结合b＜c，可得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°.故填75°.
9．在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，－1)，P是曲线y＝上一个动点，则·的取值范围是________．
解：由题意可知y＝表示以原点为圆心，半径为1的圆的上半圆．设P(cosα，sinα)，
α∈[0，π]，因为＝(1，1)，＝(cosα，sinα＋1)，所以·＝cosα＋sinα＋1＝sin＋1∈[0，1＋]．故填[0，1＋]．
三、解答题：共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
10．(本小题满分14分)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足cos2A－cos2B＋2cos(－B)cos＝0.
(1)求角A的值；
(2)若b＝且b≤a，求a的取值范围．
解：(1)由已知cos2A－cos2B＋2coscos＝0，得2sin2B－2sin2A＋2＝0，
化简得sinA＝，又△ABC为锐角三角形，故A＝.
……………….6分
(2)若b＝≤a，所以c≥a，因而≤C＜，＜B≤，＜sinB≤.
由正弦定理得，＝，即＝，
即a＝，由＜sinB≤，知a∈[，3)．
所以a的取值范围是[，3).
……………….14分
11．(本小题满分14分)设向量m＝(cosα，1)，n＝(sinα，2)，且m∥n，其中α∈.
(1)求sinα；
(2)若sin(α－β)＝，β∈，求cosβ.
解：(1)因为m∥n，所以2cosα＝sinα.
又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋sin2α＝1，所以sin2α＝.
因为α∈，所以sinα＞0，所以sinα＝.
……………….6分
(2)因为α∈，β∈，所以－＜α－β＜.
因为sin(α－β)＝，所以cos(α－β)＝.
又sinα＝，所以cosα＝.
所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.
……………….14分