2020-2021学年河北省沧州市九年级（上）第一次月考数学试卷(word解析版)

2020-2021学年河北省沧州九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（共16个小题，每小题3分，共48分）
1．下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+﹣3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．一元二次方程（3x﹣1）2＝5x化简成一般式后，二次项系数为9，其一次项系数为（　　）
A．1
B．﹣1
C．﹣11
D．11
3．抛物线y＝x2﹣6x+4的顶点坐标是（　　）
A．（3，5）
B．（﹣3，5）
C．（3，﹣5）
D．（﹣3，﹣5）
4．下列图形是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（　　）
A．45
B．60
C．90
D．120
6．把函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，所得到的新函数的表达式是（　　）
A．y＝3x2﹣2
B．y＝3x2+2
C．y＝3（x﹣2）2
D．y＝3（x+2）2
7．关于二次函数y＝2（x﹣2）2+5，下列说法错误的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，13）
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
D．当x＝2时，函数有最小值为5
8．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是（　　）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
9．正方形的边长为3，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（　　）
A．y＝（x+3）2
B．y＝x2+9
C．y＝x2+6x
D．y＝3x2+12x
10．如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，则路宽xm应满足的方程是（　　）
A．（40﹣x）（70﹣x）＝400
B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝400
C．（40﹣x）（70﹣x）＝2400
D．（40﹣2x）（70﹣3x）＝2400
11．某商品价格从2017年底到2018年底下降19%，从2018年底到2019年底下降36%，那么此商品价格从2017年底到2019年底平均下降百分率为（　　）
A．30%
B．28%
C．25.5%
D．20%
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣2，0），（5，0），则一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个解是（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝5
B．x1＝2，x2＝﹣5
C．x1＝﹣2，x2＝﹣5
D．x1＝2，x2＝5
13．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球运动的时间为6s；
③小球抛出3秒时，速度为0；
④当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m．
其中正确的是（　　）
A．①④
B．①②
C．②③④
D．②④
14．根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（　　）
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣1
2
…
A．y＝x
B．y＝﹣
C．y＝（x﹣1）2+2
D．y＝﹣（x﹣1）2+2
15．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤a﹣b+c＜0．其中正确的个数是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
16．如图，已知点P（m，n）在抛物线y＝x（x﹣2）上，针对n的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下：甲：若n＝﹣2，则点P的个数为0．乙：若n＝﹣1，则点P的个数为1．丙：若n＝4，则点P的个数为0．下列判断正确的是（　　）
A．乙错，丙对
B．甲和乙都错
C．乙对，丙错
D．甲错，丙对
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）
17．点M（1，a）和点N（b，﹣2）关于原点对称，则（a+b）2020＝　
　．
18．用公式法解一元二次方程，得：x＝，则该一元二次方程是　
　．
19．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴有两个交点，则原点左侧交点坐标为　
　．
20．用承重指数W衡量水平放置得长方体木板的最大称重量．实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3．选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄，当x＝　
　时，Q＝3W薄．
三、解答题（本大题5个小题；共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（21分）解方程：
①（x﹣2）2＝2；
②x2﹣2x﹣3＝0；
③2x2+x+1＝0．
22．对于实数a，b，定义新运算“
”：a
b＝，例如：4
2，因为4＞2，所以4
2＝42﹣4×2＝8．
（1）求（﹣7）
（﹣2）的值；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1
x2的值．
23．某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．
（1）求销售量y件与销售单价x（x＞10）元之间的关系式；
（2）当销售单价x定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
24．已知抛物线经过A（1，0），B（5，0），C（0，4），Q四个点，且点Q在x轴下方．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）P是抛物线对称轴上的一点，直接写出满足PA+PC的值为最小的点P坐标；
（3）点Q是否能使得△ABQ的面积和△ABC的面积相等？若能，请直接写出此时的点Q的坐标；若不能，请说明理由．
25．已知△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝1．若把△ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD．
（1）如图1，当点E落在AC边上时，求旋转角度大小．
（2）如图2，当点E落在直线CD上时，求点C和点D之间的距离．
参考答案
一、选择题（本大题共16个小题，每小题3分，共48分，在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+﹣3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：一元二次方程只有④，共1个，
故选：A．
2．一元二次方程（3x﹣1）2＝5x化简成一般式后，二次项系数为9，其一次项系数为（　　）
A．1
B．﹣1
C．﹣11
D．11
解：一元二次方程（3x﹣1）2＝5x的一般形式9x2﹣11x+1＝0，
其中二次项系数9，一次项系数﹣11，常数项是1，
故选：C．
3．抛物线y＝x2﹣6x+4的顶点坐标是（　　）
A．（3，5）
B．（﹣3，5）
C．（3，﹣5）
D．（﹣3，﹣5）
解：y＝x2﹣6x+4＝（x﹣3）2﹣5，
故抛物线y＝x2﹣6x+4的顶点坐标是：（3，﹣5）．
故选：C．
4．下列图形是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选：B．
5．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（　　）
A．45
B．60
C．90
D．120
解：该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合，
故n的最小值为120．
故选：D．
6．把函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，所得到的新函数的表达式是（　　）
A．y＝3x2﹣2
B．y＝3x2+2
C．y＝3（x﹣2）2
D．y＝3（x+2）2
解：二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，
得：y＝3（x﹣2）2．
故选：C．
7．关于二次函数y＝2（x﹣2）2+5，下列说法错误的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，13）
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
D．当x＝2时，函数有最小值为5
解：A、y＝2（x﹣2）2+5＝2x2﹣8x+13，则图象与y轴的交点坐标为（0，13），原题说法正确，故此选项不合题意；
B、对称轴为x＝2，图象的在y轴的右侧，原题说法正确，故此选项不合题意；
C、a＝2，开口向上，对称轴为x＝2，则当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，原题说法错误，故此选项符合题意；
D、顶点坐标为（2，5），开口向上，则当x＝2时，函数有最小值为5，原题说法正确，故此选项不合题意；
故选：C．
8．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是（　　）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，
∴a2+a﹣1＝0，即a2+a＝1，
∴﹣2a2﹣2a+2020＝﹣2（a2+a）+2020＝﹣2×1+2020＝2018．
故选：A．
9．正方形的边长为3，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（　　）
A．y＝（x+3）2
B．y＝x2+9
C．y＝x2+6x
D．y＝3x2+12x
解：原边长为3的正方形面积为：3×3＝9，
边长增加x后边长变为：x+3，
则面积为：（x+3）2，
∴y＝（x+3）2﹣9＝x2+6x．
故选：C．
10．如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，则路宽xm应满足的方程是（　　）
A．（40﹣x）（70﹣x）＝400
B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝400
C．（40﹣x）（70﹣x）＝2400
D．（40﹣2x）（70﹣3x）＝2400
解：由图可得，
（40﹣2x）（70﹣3x）＝40×70×（1﹣），
即（40﹣2x）（70﹣3x）＝2400，
故选：D．
11．某商品价格从2017年底到2018年底下降19%，从2018年底到2019年底下降36%，那么此商品价格从2017年底到2019年底平均下降百分率为（　　）
A．30%
B．28%
C．25.5%
D．20%
解：设此商品价格为a元，从2017年底到2019年底平均下降百分率为x，
根据题意，得：a（1﹣x）2＝a（1﹣19%）（1﹣36%），
解得：x1＝0.28＝28%，x2＝﹣1.72（舍去），
答：此商品价格从2017年底到2019年底平均下降百分率为28%．
故选：B．
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣2，0），（5，0），则一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个解是（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝5
B．x1＝2，x2＝﹣5
C．x1＝﹣2，x2＝﹣5
D．x1＝2，x2＝5
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为（﹣2，0），（5，0），
即自变量为﹣2和5时函数值为0，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝5．
故选：A．
13．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球运动的时间为6s；
③小球抛出3秒时，速度为0；
④当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m．
其中正确的是（　　）
A．①④
B．①②
C．②③④
D．②④
解：①由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故①错误；
②由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故③正确；
④设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，将（0，0）代入得：
0＝a（0﹣3）2+40，
解得a＝﹣，
∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，
∴当t＝1.5s时，h＝﹣（1.5﹣3）2+40＝30，
∴④正确．
综上，正确的有②③④．
故选：C．
14．根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（　　）
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣1
2
…
A．y＝x
B．y＝﹣
C．y＝（x﹣1）2+2
D．y＝﹣（x﹣1）2+2
解：∵抛物线过点（0，）和（2，），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2）
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+2，
把（﹣1，﹣1）代入得4a+2＝﹣1，解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2．
故选：D．
15．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤a﹣b+c＜0．其中正确的个数是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，所以③正确；
∵点（﹣0.5，y1）到直线x＝﹣1的距离比点（﹣2，y2）到直线x＝﹣1的距离小，
而抛物线开口向上，
∴y1＜y2；所以④错误；
∵当x＝﹣1时，对应y值在x轴下方，
∴a﹣b+c＜0，所以⑤正确．
故选：B．
16．如图，已知点P（m，n）在抛物线y＝x（x﹣2）上，针对n的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下：甲：若n＝﹣2，则点P的个数为0．乙：若n＝﹣1，则点P的个数为1．丙：若n＝4，则点P的个数为0．下列判断正确的是（　　）
A．乙错，丙对
B．甲和乙都错
C．乙对，丙错
D．甲错，丙对
解：甲：当n＝﹣2时，m（m﹣2）＝﹣2，
整理得：m2﹣2m+2＝0，
△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，
方程没有实数根，
即此时点P的个数为0，故甲的说法正确；
乙：当n＝﹣1时，m（m﹣2）＝﹣1，
整理得：m2﹣2m+1＝0，
△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝﹣4＝0，
方程有两个相等的实数根，
即此时点P的个数为1，故乙的说法正确；
丙：当n＝4时，m（m﹣2）＝4，
整理得：m2﹣2m﹣4＝0，
△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，
方程有两个不相等的实数根，
即此时点P的个数为2，故丙的说法错误；
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）
17．点M（1，a）和点N（b，﹣2）关于原点对称，则（a+b）2020＝　1　．
解：根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
∴b+1＝0，a﹣2＝0，
即：b＝﹣1且a＝2，
∴（a+b）2020＝（2﹣1）2020＝1．
故答案为：1．
18．用公式法解一元二次方程，得：x＝，则该一元二次方程是　3x2+5x+1＝0　．
解：根据题意得：a＝3，b＝5，c＝1，
则该一元二次方程是3x2+5x+1＝0，
故答案为：3x2+5x+1＝0
19．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴有两个交点，则原点左侧交点坐标为　（﹣1，0）　．
解：y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，
则y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或3，
故原点左侧交点坐标为（﹣1，0），
故答案为（﹣1，0）．
20．用承重指数W衡量水平放置得长方体木板的最大称重量．实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3．选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄，当x＝　2　时，Q＝3W薄．
解：设W＝kx2（k≠0），
∵当x＝3时，W＝3，
∴3＝9k，解得k＝，
∴W与x的函数关系式为W＝x2；
设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为（6﹣x）厘米，
∴Q＝W厚﹣W薄＝（6﹣x）2﹣x2＝﹣4x+12，
∴Q与x的函数关系式为Q＝﹣4x+12；
∵Q是W薄的3倍，
∴﹣4x+12＝3×x2，
整理得，x2+4x﹣12＝0，
解得，x1＝2，x2＝﹣6（不合题意舍去），
故x＝2时，Q是W薄的3倍．
故答案为：2
三、解答题（本大题5个小题；共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（21分）解方程：
①（x﹣2）2＝2；
②x2﹣2x﹣3＝0；
③2x2+x+1＝0．
解：①∵（x﹣2）2＝2，
∴x﹣2＝，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
则x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1；
③∵a＝2，b＝1，c＝1，
∴Δ＝12﹣4×2×1＝﹣7＜0，
∴此方程无实数根．
22．对于实数a，b，定义新运算“
”：a
b＝，例如：4
2，因为4＞2，所以4
2＝42﹣4×2＝8．
（1）求（﹣7）
（﹣2）的值；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1
x2的值．
解：（1）∵﹣7＜﹣2，
∴（﹣7）
（﹣2）＝14﹣4＝10；
（2）方程x2﹣5x﹣6＝0变形得：（x+1）（x﹣6）＝0，
解得：x＝﹣1或x＝6，
当x1＝﹣1，x2＝6时，x1
x2＝﹣6﹣36＝﹣42；
当x1＝6，x2＝﹣1时，x1
x2＝36+6＝42．
23．某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．
（1）求销售量y件与销售单价x（x＞10）元之间的关系式；
（2）当销售单价x定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
解：（1）y＝100﹣10（x﹣10）
＝200﹣10x（10≤x＜20）；
（2）设商店每天获得的利润为W元，则
W＝（x﹣8）（200﹣10x）＝﹣10x2+280x﹣1600，
当x＝14时，w最大＝360，
所以当售价为14元时，每天获得的最大利润为360元．
24．已知抛物线经过A（1，0），B（5，0），C（0，4），Q四个点，且点Q在x轴下方．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）P是抛物线对称轴上的一点，直接写出满足PA+PC的值为最小的点P坐标；
（3）点Q是否能使得△ABQ的面积和△ABC的面积相等？若能，请直接写出此时的点Q的坐标；若不能，请说明理由．
解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
∵抛物线经过A（1，0），B（5，0），C（0，4），
∴，解得：．
故抛物线解析式为y＝x2﹣x+4．
函数的对称轴为：x＝＝3；
（2）连接B、C交对称轴于点P，此时PA+PC的值为最小，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，
解得：，
直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，
当x＝3时，y＝，
故点P（3，）；
（3）不能，理由：
设点Q的坐标为（x，x2﹣x+4），
∵A（1，0），B（5，0），C（0，4），
∴AB＝4，OC＝4，
∴S△ABC＝AB?OC＝×4×4＝8，
∵△ABQ的面积和△ABC的面积相等，
∴S△ABQ＝AB×|yQ|＝2×|yQ|＝8，
∵点Q在x轴下方，
∴yQ＝﹣x2+x﹣4，
∴2（﹣x2+x﹣4）＝8，
整理得：x2﹣6x+10＝0，
Δ＝36﹣40＝﹣4＜0，
∴原方程无解，
∴点Q不能使得△ABQ的面积和△ABC的面积相等．
25．已知△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝1．若把△ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD．
（1）如图1，当点E落在AC边上时，求旋转角度大小．
（2）如图2，当点E落在直线CD上时，求点C和点D之间的距离．
解：（1）∵将△ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD，
∴AB＝BE，
∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴∠A＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
即旋转角为60°；
（2）∵将△ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD，
∴BD＝BC，∠D＝∠ACB＝30°，∠DBE＝∠ABC＝90°，BE＝AB＝1
∴∠D＝∠BCD＝30°，DE＝2BE＝2，
∴∠CBD＝120°，
∴∠CBE＝∠CBD﹣∠DBE＝120°﹣90°＝30°，
∴∠CBE＝∠BCD，
∴BE＝CE＝1，
∴CD＝CE+DE＝1+2＝3．