2022届新高考一轮复习 第四章 导数及其应用 第4讲 利用导数研究函数零点问题 教案（含解析）

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第四章
导数及其应用
第4讲
利用导数研究函数零点问题
学习要求：
1．理解并且能够熟练运用零点存在定理．
2．能够运用参变分离的方法然后采用数形结合的思想分析函数零点问题．
题型总结：
1利用导数研究零点个数
【例1】已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，探究关于的方程的实数根的个数．
【变式1．1】已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，讨论函数的零点个数．
2与函数零点有关的证明
【例2】设函数，．
（1）当时，证明：；
（2）当时，证明：有唯一零点．
【变式2．1】已知函数的导函数为．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：存在，使有且仅有一个零点．
3已知零点个数求参数的范围：
【例3】已知函数在处有极值．
（1）求，的值；
（2）若，函数有零点，求实数的取值范围．
【变式3．1】已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）设，若在上有两个零点，求实数的取值范围．
【例4】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在实数a，使得有两个零点？说明理由．
【变式4．1】已知函数的图象与x轴有三个交点，则实数a的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
课后作业
一、选择题．
1．若函数存在三个不同的零点，则实数的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题．
2．在上有唯一零点，则的值为_________．
三、解答题．
3．设函数，其中常数．
（1）若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若，设函数，求证：函数在上有两个零点．
4．已知函数．
（1）若在上单调递减，求的取值范围；
（2）证明：当时，在上有且仅有一个零点．
5．已知函数（为自然常数）．
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）设，讨论函数的零点个数．
6．已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若函数有三个不同的零点、、，求的取值范围，并证明：．
1利用导数研究零点个数
【例1】已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，探究关于的方程的实数根的个数．
【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；（2）详见解析．
【解析】（1）当时，，
所以，即为偶函数．
讨论：当时，，
所以．
所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
又根据偶函数图象关于轴对称知，函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）因为，所以．
讨论：当时，对任意的恒成立，此时在上单调递增．
又，所以关于的方程无实数根；
当时，，使得，即，
且当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
，．
ⅰ．当，即时，关于的方程在区间上无实数根，所以关于的方程在上无实数根；
ⅱ．当，即时，关于的方程在上有1个实数根，所以关于的方程在上有2个实数根．
综上，当时，关于的方程有2个实数根；
当时，关于的方程无实数根．
【变式1．1】已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，讨论函数的零点个数．
【答案】（1）调递增区间为，；单调递减区间为；（2）时，有个零点；时，有个零点；时，有个零点．
【解析】（1）当时，，
，
令，即，解得或；
令，即，解得，
所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．
（2），
①时，，
时，单调递减；时，单调递增，
，，，
有个零点．
②令，，，，
（i）当时，即，恒成立，
单调递增，只有个零点，且．
（ii），则，
由，解得或；由，解得，
在上单调递减；在，上单调递增，
，
也只有，只有个零点．
（iii），，
由，解得或；由，解得，
在上单调递减；在，上单调递增，
由，令，解得，
当时，，且，所以，
，，即有个零点．
当时，，
此时函数只有这个零点．
综上所述，时，有个零点；
时，有个零点；
时，有个零点．
2与函数零点有关的证明
【例2】设函数，．
（1）当时，证明：；
（2）当时，证明：有唯一零点．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）当，时，则有，，
则有，
若能证得，则原不等式得证．
要证，只需证：当时，，
设，
则，
令，，则，即是上的增函数，
，即，
，
其中为锐角，且，
所以，，
即是上的增函数，，
故当，时，．
（2）当时，，．
，令，
则，若，递增，
，，
故存在唯一实数，使，
递减
极小值
递增
，
又，故存在唯一实数，使，
递减
极小值
递增
又，，，
令，则，故函数为增函数，
，在有唯一零点；
当时，函数单调递增，且，
故，
故在上有唯一零点．
【变式2．1】已知函数的导函数为．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：存在，使有且仅有一个零点．
【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析．
【解析】（1）∵，∴，定义域为，∴，
若，则恒成立，∴在上单调递增；
若，令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
综上所述，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：∵，
∴当时，，，∴，即在内无零点，因此只需要考虑的情形．
当时，由，可知，
设，则，
令，则，即在上单调递减．
又，，
∴存在，使得，即，
此时，且当时，，单调递增；当时，，单调递减．
∴，其在上单调递减，
∴，
∴存在，使得，即，
故存在，使有且仅有一个零点．
3已知零点个数求参数的范围：
【例3】已知函数在处有极值．
（1）求，的值；
（2）若，函数有零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意，函数，可得，
因为函数在处有极值，可得，解得，
所以函数，此时，
当或时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，符合题意，
所以．
（2）由，函数有零点，即，函数有根，
即，函数与的图象有交点，
又由（1）知，当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
又由，，可得，所以函数的最大值为，
即函数的值域为，
要使得函数与的图象有交点，可得，
即实数的取值范围是．
【变式3．1】已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）设，若在上有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，所以，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程，
即．
（2）由题意知：在上有两个零点，显然，
由，得，
令，则，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，
又，时，，
故当在上有两个零点时，，所以，
所以实数的取值范围为．
【例4】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在实数a，使得有两个零点？说明理由．
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）存在，答案见解析．
【解析】（1）函数的定义域为，
，令，则，．
（i）若，则恒成立，所以在上是增函数．
（ii）若，则，
当时，；当时，．
（iii）若，则，
当时，；当时，．
综上所述；当时，在上是增函数；
当，在，上是增函数，在上是减函数；
当时，在，上是增函数，在上是减函数．
（2）由（1）知（i）当时，在上是增函数，至多一个零点．
（ii）当，在，上是增函数，在上是减函数．
此时，所以至多一个零点．
（iii）当时，在，上是增函数，在上是减函数．
此时，
由，
所以存在一个，使．
，
若存在两个零点，则有解即可．
设，
，
所以在上是增函数，
由，，
所以存在一个，使得，，
综上，存在，使得有两个零点．
【变式4．1】已知函数的图象与x轴有三个交点，则实数a的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，函数，可得，
当时，，在R上单调递增，只有一个交点，不符合题意；
当时，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
要使得函数的图象与x轴有三个交点，
则满足，解得，
且恒成立，
所以，即实数的取值范围是，故选B．
课后作业
一、选择题．
1．若函数存在三个不同的零点，则实数的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由，知，
令，，
则函数在上单增，在上单减，在上单增，
由，，，，
则若使函数存在三个不同的零点，只需满足，
故选C．
二、填空题．
2．在上有唯一零点，则的值为_________．
【答案】
【解析】，；，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
要使得在上有唯一零点，必须，
即，
故答案为．
三、解答题．
3．设函数，其中常数．
（1）若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若，设函数，求证：函数在上有两个零点．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为函数在上是增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
设函数，则，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，解得．
（2）证明：由题意得，当时，，
所以，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，，，
所以存在，，使得，，
所以在上有两个零点．
4．已知函数．
（1）若在上单调递减，求的取值范围；
（2）证明：当时，在上有且仅有一个零点．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意得，
若在上单调递减，则在上恒成立，
在上恒成立，
令，则，
当时，，
当时，，，，，
又，
当时，，在上单调递减，
，，即的取值范围为．
（2）当时，，则，
当时，，在上恒成立，
只需证在上有且仅有一个零点；
，当时，，，
在上恒成立，在上单调递增，
又，，
在上有且仅有一个零点，即在上有且仅有一个零点．
5．已知函数（为自然常数）．
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）设，讨论函数的零点个数．
【答案】（1）；（2）存在唯一一个零点．
【解析】（1），则在上恒成立，
记，则在上恒成立，．
当时，，即在上单调递增，
，；
当时，令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增．
，解得；
综上：．
（2）（），
令，得（），
令，则，
当时，，，为增函数，
当时，，为增函数，
所以在上为单调递增函数，
又，
所以与图象只有一个交点，
所以，只有唯一一个零点．
6．已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若函数有三个不同的零点、、，求的取值范围，并证明：．
【答案】（1）详见解析；（2）的取值范围为，证明见解析．
【解析】（1）∵，∴，
①当时，，则在上单调递增，无递减区间；
②当时，令，得，
的解集为；的解集为，
则在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）知函数有三个零点，则，
∵在上单调递减，在上单调递增，
∴的极大值为，且极大值大于，极小值为，
∵有三个不同的零点，∴，解得，
故的取值范围为．
又∵，当时，有，当时，有．
∴设，
由零点存在性定理知，∴，
又∵，
∴，
因此．
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