北师大版八年级上第一章勾股定理最短路径问题（word版含答案）

北师大版八年级上
第一章勾股定理最短路径问题(含答案）
一、选择题
如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）
A.
13cm
B.
12cm
C.
10cm
D.
8cm
如图是一个三级台阶,每一级的长、宽、高分别为8dm,3dm,2dm.A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（?
?
）
A.
15dm
B.
17dm
C.
20dm
D.
25dm
如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（　　）
A.
B.
C.
D.
如图,长方体的长为3m,宽为2m,高为4m,一只蚂蚁从点A出发,沿长方体表面到点B处吃食物,那么它爬行的最短路程是（?
?
）
A.
?m
B.
?m
C.
?m
D.
?m
如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝8cm，BC＝4cm，BF＝6cm，点M在棱AB上，且AM＝2cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（　　）
A.
10cm
B.
cm
C.
cm
D.
cm
如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径的长度是（）
A.
18cm
B.
20cm
C.
D.
如图，长方体的高为8cm，底面是正方形，边长为3cm，现有绳子从A出发，沿长方体表面到达C处，则绳子的最短长度是
???????
A.
8
B.
9
C.
10
D.
11
如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为（）
1
m
B.
C.
D.
二、填空题
如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B与点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A处爬到点B处，那么需要爬行的最短路程为________．
??????????????
如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要；如果从点开始经过个侧面缠绕圈到达点，那么所用细线最短时，最短距离的平方为．
如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18cm，BC=12cm，BF=10cm，点M在棱AB上，且AM=6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为______．
如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为________cm（杯壁厚度不计）．
我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上.
（1）若绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是______
尺.
（2）若绕n周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛滕的最短长度是______
尺.
如图,一个无盖的长方体玻璃鱼缸的长AD=80
cm,高AB=60
cm,水深AE=40
cm,在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵,鱼饵在水面线EF上,且FG=20
cm.在鱼缸外点A处的一只小虫沿玻璃壁(玻璃厚度忽略不计)爬进鱼缸内G处吃鱼饵,它爬行的最短路程是??????????cm.
如图是一个没有盖的圆柱形罐头盒，盒高3
cm，盒底周长为8
cm，盒外一只蚂蚁在底部处，想吃到盒内对侧处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是________cm．
如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为m的半圆，其边缘AB=CD=15m，点E在CD上，CE=3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为______m．（边缘部分的厚度忽略不计）
三、解答题
如图，一个放置在地面上的长方体，长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B与点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
???????
如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
如图，一只蚂蚁沿着边长为2cm的正方体表面从点A出发，它必须经过3个面才能爬到点B，若蚂蚁的速度是2cm/秒，求蚂蚁最短经过多长时间才能到达B点？
如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于64cm、10cm、6cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
如图是供滑板爱好者使用的U型场地的示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的纵断面图中半圆的半径为4m，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m．一名滑板爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线的长约为多少（精确到0.1m）？
如图所示，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为3cm的正方形，高为20cm.现有一根彩带，从底面A点开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达B点（假设彩带完美贴合四棱柱）.
（1）请问彩带的长度是多少？
（2）如图所示，一只蚂蚁在容器外A点发现容器的内部距离顶部2cm处有一滴蜂蜜，它想以最短的路程到达C处.请问蚂蚁走的最短路程是多少呢？
（注：以上两问均要画出平面展开示意图，再解答）
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.B
5.A
6.C
7.C
8.A
9.25
10.10，（64n2+36）cm2．
11.20cm
12.20
13.25?
14.?100
15.???????
16.20
17.解：如图所示，
根据勾股定理得，AB==25cm．
答：需要爬行的最短距离是25cm．
18.解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB===25；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB===5；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴AC=CD+AD=20+10=30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB===5；
∵25＜5＜5，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25．
19.解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，
AB==2，
∴t==（秒），
答：蚂蚁最短经过秒才能到达B点
20.解：展开后由题意得：∠C=90°，AC=3×10+3×6=48cm，
BC=55，
由勾股定理得：AB===80cm，
答：一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有80cm．
21.解：如图，
根据题意可知：
AD=2π，DE=CD-CE=20-2=18，
线段AE即为滑行的最短路线长．
在Tt△ADE中，根据勾股定理，得
AE==≈19.1（m）．
答：滑行的最短路线长约为19.1m．
22.解：（1）如图，
将长方体的侧面沿AB展开，取A′B′的四等分点C、D、E，取AB的四等分点C′、D′、E′，连接B′E′，D′E，C′D，AC，
则AC+C′D+D′E+E′B′=4AC为所求的最短细线长，
∵AC2=AA′2+A′C2，AC==13，
∴AC+C′D+D′E+E′B′=4AC=52，
答：彩带的长度是52cm；
（2）如图，
将四棱柱展开，找到C的对称点C′，连接AC′，则AC′即为蚂蚁走的最段路程，
在直角△AMC中，AM=6cm，MC′=20+（20-18）=22cm，
由勾股定理得：AC′2=AM2+MC′2=62+222=520，
则AC′=2cm，
答：蚂蚁走的最短路程是2cm．
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