3.2.2 奇偶性—2021-2022学年上学期人教A版（2019）必修第一册第三章（Word含答案解析）

3.2.2
奇偶性
一、单选题
1．下列函数中既是偶函数又在上为增函数的是（
）
A．
B．
C．+1
D．
2．下列函数为奇函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（
）
A．
B．
C．
D．
5．函数为定义在上的奇函数，当时，，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知为上奇函数，为上偶函数，且，，则的值为（
）
A．-3
B．1
C．2
D．3
7．若函数为奇函数，则=（
）
A．
B．
C．
D．1
8．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（
）
A．8
B．
C．16
D．
二、多选题
9．以下是定义域为的四个函数，奇函数的为（
）
A．
B．
C．
D．
10．下列判断不正确的是（
）
A．函数f（x）=是奇函数
B．函数f（x）=是偶函数
C．函数f（x）=x+是非奇非偶函数
D．函数f（x）=1既是奇函数又是偶函数
11．设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（
）
A．是奇函数
B．是奇函数
C．是偶函数
D．是偶函数
12．函数的定义域为，且与都为奇函数，则（
）
A．为奇函数
B．为周期函数
C．为奇函数
D．为偶函数
三、填空题
13．已知是奇函数，当时，，且，则的值为___
14．已知函数，若，则________．
15．若偶函数在上为增函数，若，则实数的取值范围是__________.
16．已知，函数是定义在上的偶函数，则的值是_
四、解答题
17．判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
18．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x3＋x；（2）；
（3）；（4）
19．函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）计算，；　　
（2）当时，求的解析式．
20．已知奇函数f（x）在R上是减函数，且f（3a－10）＋f（4－2a）<0，求a的取值范围.
21．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.
（1）求出函数在上的解析式；
（2）画出函数的图像，并写出单调区间；
（3）若与有3个交点，求实数的取值范围.
22．已知函数对一切，，都有.
（1）判断函数的奇偶性，并给与证明；
（2）若，试用表示.
参考答案
1．C
【解析】对于A，函数在为增函数，但不是偶函数，所以A不合题意．
对于B，由于，所以函数为奇函数，所以B不合题意．
对于C，函数，所以为偶函数，且在上单调递增，所以C符合题意．
对于D，函数，所以函数为奇函数，故D不合题意．
故选：C．
2．D
【解析】为非奇非偶函数，不正确；
为非奇非偶函数，不正确；
为偶函数，不是奇函数，不正确；
的定义域为，且，所以为奇函数，正确.
故选：D
3．B
【解析】当时可得，当时，，，
又函数为定义在上的偶函数，当时，故选：B．
4．B
【解析】由于是偶函数，所以，且.故选：B
5．B
【解析】由函数为定义在上的奇函数，得，解得，
所以.所以．所以．故选：B．
6．A
【解析】为R上的奇函数，∴，，
是R上的偶函数，，
由，，
得，．故选：A．
7．A
【解析】∵为奇函数，∴，得．故选：A.
8．D
【解析】由，分别是定义在上的偶函数和奇函数，
故，故选：D.
9．AB
【解析】对于A选项，设，则，该函数为奇函数；
对于B选项，设，则，该函数为奇函数；
对于C选项，设，则，该函数为偶函数；
对于D选项，设，则，该函数为偶函数.
故选：AB.
10．ABD
【解析】A中函数的定义域为{x|x≠2}，不关于原点对称，故f（x）不是奇函数，故A错误；
B中函数的定义域为{x|x≠-1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函数，故B错误；
C中函数的定义域为{x|x≤-1，或x≥1}，
f（-x）=-x+≠f（x），f（-x）=-x+≠-f（x），
故f（x）是非奇非偶函数，故C正确；
D中函数是偶函数，但不是奇函数，故D错误.
故选：ABD.
11．BD
【解析】对于A：令，则，
所以A中的函数是偶函数，所以A错误；
对于B：令，则
，所以B中的函数为奇函数，故B正确；
对于C：令
，则
，故C错误；
对于D：令，则
，故D正确．
故选：BD
12．ABC
【解析】由题意知：且，
∴，即，可得，
∴是周期为2的函数，且、为奇函数，故A、B正确，D错误；
由上知：，即为奇函数，C正确.
故选：ABC.
13．
【解析】因为是奇函数，
所以
解得：，
14．0
【解析】令，
因为，所以为奇函数，
所以，即，因为，所以，
15．
【解析】因为偶函数在上为增函数，所以在上递减，
因为为偶函数，所以可化为，
所以，即，，
解得，所以实数的取值范围为，
16．
【解析】由已知是定义在上的偶函数，
故，即，或，且函数图象关于轴对称，
又，故，因为关于直线对称，
故，，
17．【解析】（1）函数的定义域为，
，所以函数为偶函数；
（2）函数的定义域为，
，则且，
所以函数为非奇非偶函数；
（3）定义域为R，，为偶函数；
（4）定义域为R，，为奇函数.
18．【解析】（1）函数的定义域为R，关于原点对称．
又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f（x），因此函数f（x）是奇函数．
（2）由
得x2＝1，即x＝±1.
因此函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f（1）＝f(－1)＝－f(－1)＝0，
所以f（x）既是奇函数又是偶函数．
（3）函数f（x）的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
不关于原点对称，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（4）函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．
f(－x)＝，于是有f(－x)＝－f（x）．所以f（x）为奇函数．
19．【解析】（1），
（2）令则则，又函数f(x)是奇函数
所以
20．【解析】∵f（3a－10）＋f（4－2a）<0，∴f（3a－10）<－f（4－2a），
∵f（x）为奇函数，∴－f（4－2a）＝f（2a－4），
∴f（3a－10）又f（x）在R上是减函数，∴3a－10>2a－4，∴a>6
故a的取值范围为（6,＋∞）.
21．【解析】（1）①由于函数是定义域为的奇函数，则；
②当时，，因为是奇函数，所以．
所以．
综上：．
（2）图象如下图所示：．
单调增区间：
单调减区间：．
（3）因为方程有三个不同的解，由图像可知，
，即．
22．【解析】（1）令，则，
令，即，则，
所以是奇函数.
（2）∵是奇函数，∴，又∵，
∴.