2021-2022学年苏科版九年级数学上册2.4.3圆的内接四边形培优训练（word版、含解析）

2.4.3圆的内接四边形
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练
一、选择题
1、如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若，则的度数可能为（
）
A．
B．
C．
D．
2、如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(
)
A．115°
B．105°
C．100°
D．95°
3、如图，是四边形的外接圆，连接和，且，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
4、如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝105°，则∠BOD的度数是（
）
A．150°
B．105°
C．75°
D．165°
5、如图,四边形ABCD内接于☉O,连接BD.若=,∠BDC=50°,则∠ADC的度数是(　　)
A.125°
B.130°
C.135°
D.140°
6、如图,O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是(　　)
A.130°
B.140°
C.150°
D.160°
7、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠CBD的大小为（　　）
A．20°
B．21°
C．23°
D．25°
8、如图，扇形AOB的圆心角为142°，点C是弧AB上一点，则∠ACB的度数是(
)
A．38°
B．120°
C．109°
D．119°
9、如图，圆内接四边形，，，若，则圆的直径是（
）
A．6
B．5
C．
D．
10、如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为
(　　)
A.140°
B.70°
C.110°
D.80°
二、填空题
11、如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是________．
12、如图，在圆内接四边形ABCD中，、、的度数之比为，则________．
13、如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB=48°，则∠AOC的度数是_____．
14、如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于__．
15、如图，已知四边形内接于圆，且，．则的度数=_______．
16、如图所示，在⊙O中，A、B、C三点在圆上，且∠CBD=60，那么∠AOC=__________
17、如图,点A,B,C,D,E均在☉O上,且的度数为50°,则∠E+∠C=　　　　°.?
18、如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，，点E是上任意一点，连接BE，CE，
则
的度数为（
）
A．20°
B．30°
C．40°
D．60°
三、解答题
19、已知如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点，且，若，
求的度数．
20、如图所示,☉O1与☉O2都经过A,B两点,过点A的直线CD与☉O1交于点C,与☉O2交于点D,过点B的直线EF与☉O1交于点E,与☉O2交于点F.求证:CE∥DF.
21、如图,☉O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E,F.
(1)当∠E=∠F时,∠ADC=　　　　°;?
(2)当∠A=55°,∠E=30°时,求∠F的度数;
(3)若∠E=α,∠F=β,且α≠β,请你用含有α,β的代数式表示∠A的度数.
22、如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠ADB＝90°，过A，B，D三点的圆交BC边于点E．
（1）求证：E是BC的中点；
（2）若BC＝2CD，求证：∠BCD＝2∠ABD．
23、如图,在△ABC中,AC=BC,D是AB上一点,☉O经过点A,C,D,交BC于点E,过点D作DF∥BC,交☉O于点F.
求证:(1)四边形DBCF是平行四边形;
(2)AF=EF.
24、如图,在△ABC中,AB=AC,以边AB为直径的☉O交BC于点D,交AC于点E,连接DE.
(1)求证:DE=DC;
(2)如图②,连接OE,将∠EDC绕点D逆时针旋转,使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F,交AC的延长线于点G.试探究线段DF,DG的数量关系.
2.4.3圆的内接四边形
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练（有答案）
一、选择题
1、如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若，则的度数可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：∵四边形内接于，∴，
∵，∴，
∵为的外角，∴，只有D满足题意．
故选：D．
2、如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(
)
A．115°
B．105°
C．100°
D．95°
【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠BAD，
而∠BAD=105°，∴∠DCE=105°．
故选B．
3、如图，是四边形的外接圆，连接和，且，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理解答即可．
【详解】∵四边形ABCD为的内接四边形，，
∴，
由圆周角定理得，，
故选：A．
4、如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝105°，则∠BOD的度数是（
）
A．150°
B．105°
C．75°
D．165°
【答案】A
【解析】解：，，
由圆周角定理得：，故选：A．
5、如图,四边形ABCD内接于☉O,连接BD.若=,∠BDC=50°,则∠ADC的度数是(　　)
A.125°
B.130°
C.135°
D.140°
[解析]
∵∠BDC=50°,=,
∴∠ABC=∠BDC=50°,
∴∠ADC=180°-∠ABC=130°.
故选B.
6、如图,O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是(　　)
A.130°
B.140°
C.150°
D.160°
[解析]
由题意得OA=OB=OC=OD,作出圆O,如图所示,
∴四边形ABCD为圆O的内接四边形,
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵∠ABC=40°,∴∠ADC=140°.
故选B.
7、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠CBD的大小为（　　）
A．20°
B．21°
C．23°
D．25°
解：连接CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝50°，∴∠CDB+∠A＝180°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，
∴∠CBD＝∠BCD＝（180°﹣∠BDC）＝25°，
故选：D．
8、如图，扇形AOB的圆心角为142°，点C是弧AB上一点，则∠ACB的度数是(
)
A．38°
B．120°
C．109°
D．119°
【答案】C
【解析】如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，
∵∠AOB=142°，∴∠ADB=∠AOB=×142°=71°．
∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠ACB=180°﹣71°=109°．
故选C．
9、如图，圆内接四边形，，，若，则圆的直径是（
）
A．6
B．5
C．
D．
【答案】D
【解析】解：∵四边形是圆内接四边形，∴，
∵，∴，
又，∴为等腰直角三角形，∴，
∵，∴线段为圆的直径，∴圆的直径为．
故选：
10、如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为
(　　)
A.140°
B.70°
C.110°
D.80°
[解析]
如图,在优弧AB上取一点P,连接AP,BP.
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90°.
∵∠DCE=40°,∴∠AOB=360°-90°-90°-40°=140°,
∴∠P=∠AOB=70°.
∵A,C,B,P四点共圆,
∴∠P+∠ACB=180°,
∴∠ACB=180°-70°=110°.
故选C.
二、填空题
11、如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是________．
【答案】130°
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠A=180°，又∠A=50°，
∴∠BCD=180°-50°=130°．故答案为：130°．
12、如图，在圆内接四边形ABCD中，、、的度数之比为，则________．
【答案】100
【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D=∠A+∠C=180°，
∵∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，
∴∠A=180°×=40°，∠C=180°×=140°，∠B=180°×=80°，
∴∠D=180°﹣80°=100°，故答案为：100．
13、如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB=48°，则∠AOC的度数是_____．
【答案】96°
【解析】∵AD∥BC，∴∠B=180°﹣∠DAB=132°．
∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠D=180°﹣∠B=48°，
由圆周角定理得：∠AOC=2∠D=96°，故答案为：96°．
14、如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于__．
【答案】130°.
【解析】∵四边形ABCD内接与⊙O，∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=115°，∴∠C=65°，∴∠BOD＝2∠C＝130°；
15、如图，已知四边形内接于圆，且，．则的度数=_______．
【答案】75°；
【解析】解：∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠DCB+∠BAD=180°，
∵∠A=105°，∴∠C=180°﹣105°=75°，∵BD=CD，∴∠DBC=∠C=75°；
16、如图所示，在⊙O中，A、B、C三点在圆上，且∠CBD=60，那么∠AOC=__________
【答案】120°
【解析】弧AC上任取一点P,连接AP,CP,所以∠APC=60°，所以∠AOC=120°.
17、如图,点A,B,C,D,E均在☉O上,且的度数为50°,则∠E+∠C=　　　　°.?
[答案]
155
[解析]
连接EA.
∵的度数为50°,∴∠BEA=25°.
∵四边形DCAE为☉O的内接四边形,
∴∠DEA+∠C=180°,∴∠DEB+∠C=180°-25°=155°.
故答案为155.
18、如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，，点E是上任意一点，连接BE，CE，
则
的度数为（
）
A．20°
B．30°
C．40°
D．60°
【答案】B
【解析】解：连接AC，如图，
∵A，B，C，D在以AB为直径的半圆上，∴
∵∴
∵AB为半圆的直径∴，∴
∴
故选：B．
三、解答题
19、已知如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点，且，若，
求的度数．
【答案】
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，∴，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴，即，
∵，，
∴，∴，
∴，∴．
20、如图所示,☉O1与☉O2都经过A,B两点,过点A的直线CD与☉O1交于点C,与☉O2交于点D,过点B的直线EF与☉O1交于点E,与☉O2交于点F.求证:CE∥DF.
[解析]
利用圆内接四边形的性质定理证明同旁内角互补即可.
证明:连接AB.
∵四边形ABEC是☉O1的内接四边形,∴∠BAD=∠E.
∵四边形ABFD是☉O2的内接四边形,∴∠BAD+∠F=180°,
∴∠E+∠F=180°,∴CE∥DF.
21、如图,☉O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E,F.
(1)当∠E=∠F时,∠ADC=　　　　°;?
(2)当∠A=55°,∠E=30°时,求∠F的度数;
(3)若∠E=α,∠F=β,且α≠β,请你用含有α,β的代数式表示∠A的度数.
[解析]
(1)由∠E=∠F,易得∠ADC=∠ABC,由圆的内接四边形的性质,即可求得答案;
(2)由∠A=55°,∠E=30°,首先可求得∠ABE的度数,继而利用圆的内接四边形的性质,求得∠ADF的度数,则可求得答案;
(3)由三角形的内角和定理与圆的内接四边形的性质,即可求得180°-∠A-∠F+180°-∠A-∠E=180°,继而求得答案.
解:(1)∵∠E=∠F,∠DCE=∠BCF,∠ADC=∠E+∠DCE,∠ABC=∠BCF+∠F,∴∠ADC=∠ABC.
∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠ADC+∠ABC=180°,∴∠ADC=90°.
故答案为90.
(2)∵在△ABE中,∠A=55°,∠E=30°,
∴∠ABE=180°-∠A-∠E=95°,
∴∠ADF=180°-∠ABE=85°,
∴在△ADF中,∠F=180°-∠ADF-∠A=40°.
(3)∵∠ADC=180°-∠A-∠F,∠ABC=180°-∠A-∠E,∠ADC+∠ABC=180°,
∴180°-∠A-∠F+180°-∠A-∠E=180°,
∴2∠A+∠E+∠F=180°,
22、如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠ADB＝90°，过A，B，D三点的圆交BC边于点E．
（1）求证：E是BC的中点；
（2）若BC＝2CD，求证：∠BCD＝2∠ABD．
证明：（1）连接AE，如图，
∵∠ADB＝90°，∴AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，∴AE是△ABC的中线，∴E是BC的中点，
（2）连接DE，如图，
∵E是BC的中点，∴BC＝2CE，
∵BC＝2CD，∴CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED，∴∠BAD+∠BED＝180°．
∵∠CED+∠BED＝180°，∴∠BAD＝∠CED，
∵∠ABD＝90°﹣∠BAD，∠BCD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣2∠BAD，
∴∠BCD＝2∠ABD．
23、如图,在△ABC中,AC=BC,D是AB上一点,☉O经过点A,C,D,交BC于点E,过点D作DF∥BC,交☉O于点F.
求证:(1)四边形DBCF是平行四边形;
(2)AF=EF.
证明:(1)∵AC=BC,∴∠BAC=∠B.∵DF∥BC,∴∠ADF=∠B.∵∠BAC=∠CFD,
∴∠ADF=∠CFD,∴BD∥CF.又∵DF∥BC,∴四边形DBCF是平行四边形.
(2)如图,连接AE.
∵∠ADF=∠B,∠ADF=∠AEF,∴∠AEF=∠B.
∵四边形AECF是☉O的内接四边形,
∴∠ECF+∠EAF=180°.∵BD∥CF,∴∠ECF+∠B=180°,∴∠EAF=∠B,
∴∠AEF=∠EAF,∴AF=EF.
24、如图,在△ABC中,AB=AC,以边AB为直径的☉O交BC于点D,交AC于点E,连接DE.
(1)求证:DE=DC;
(2)如图②,连接OE,将∠EDC绕点D逆时针旋转,使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F,交AC的延长线于点G.试探究线段DF,DG的数量关系.
解:(1)证明:∵四边形ABDE内接于☉O,∴∠DEC=∠B.
∵AB=AC,∴∠C=∠B,
∴∠DEC=∠C,∴DE=DC.
(2)∵四边形ABDE内接于☉O,∴∠A=∠EDC.
∵OA=OE,∴∠A=∠OEA.
又∵∠OEA=∠CEF,∴∠EDC=∠CEF.
∵∠EDC+∠DEC+∠DCE=180°,
∴∠CEF+∠DEC+∠DCE=180°,即∠DEF+∠DCE=180°.
又∵∠DCG+∠DCE=180°,∴∠DEF=∠DCG.
∵∠EDC绕点D逆时针旋转得到∠FDG,∴∠EDC=∠FDG,
∴∠EDC-∠FDC=∠FDG-∠FDC,即∠EDF=∠CDG.
又∵DE=DC,∴△EDF≌△CDG(ASA),∴DF=DG.