2022届新高考一轮复习 第四章 导数及其应用 第5讲 恒成立和存在性问题 教案 （含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
第四章
导数及其应用
第5讲
恒成立和存在性问题
学习要求：
1．积累常用的不等式，熟练运用导数解决不等式恒成立问题、存在性问题．
2．熟练使用分离参数、分类讨论等方法解决参数范围问题．
3．能够大致描绘函数图象，能借助图象理解题意和解题．
题型总结：
1利用导数证明不等式恒成立问题
【例1】已知函数，．
（1）若，其中是函数的导函数，试讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
【变式1．1】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，恒成立．
【例2】已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）设，证明：．
【变式2．1】已知函数（）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，，求证：当时，．
利用导数证明不等式恒成立的两种情形
（1）若函数最值可以通过研究导数求得，则可先利用导数研究函数单调性，将不等式恒成立问题转化成函数最值问题来解决：
；．
（2）若函数最值无法通过研究导数求得，即导函数的零点无法精确求出时，可以利用“虚设和代换”的方法求解．
“虚设和代换”法
当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点存在，再虚设为，接下来通常有两个方向：
（1）由得到一个关于的方程，再将这个关于的方程的整体或局部代入，从而求得，然后解决相关问题．
（2）根据导函数的单调性，得出两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解．
2利用导数证明存在性问题
【例3】已知函数，．
（1）证明：当时，；
（2）证明：当时，存在，使得任意，恒有；
（3）确定的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有．
【变式3．1】已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得不等式成立．
3根据恒成立、存在性条件，求参数范围问题
【例4】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在，求的取值范围．
【变式4．1】已知函数．
（1）当时，讨论函数的极值；
（2）若存在，使得，求实数的取值范围．
【例5】已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．
【变式5．1】已知是自然对数的底数，函数，．
（1）若曲线在点处的切线斜率为，求的最小值；
（2）若当时，有解，求实数的取值范围．
【例6】已知函数()．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【变式6．1】函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围．
附：．
【例7】已知函数．
（1）当时，求证：；
（2）当时，，求实数的取值范围．
【变式7．1】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的最大值．
（1）解决“已知不等式恒成立或能成立求参数”问题常用方法之一是“分离参数法”，即将参数与含有变量的式子分离，转化成或的形式，利用“恒成立，恒成立，能成立，能成立”把不等式恒成立或能成立问题转化成利用导数求函数值问题．
（2）在恒成立或能成立问题中，若参数无法分离，可以尝试带着参数对原函数求导，然后令导数得零，得出极值点，根据极值点与区间端点的大小对参数进行分类讨论，然后再从正面证明或者从反面找反例来说明每一类是否符合条件，最后取并集．
4含有两个量词的恒成立问题
【例8】已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若对任意的，使得，求实数的取值范围（为自然对数的底数）．
【变式8．1】设，已知函数，函数．（注：为自然对数的底数）
（1）若，求函数的最小值；
（2）若对任意实数和正数，均有，求的取值范围．
【例9】已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，存在实数，使得不等式成立，求的取值范围．
【变式9．1】已知函数，．
（1）若，求证：当时，函数与的图象相切；
（2）若，对，都有，求的取值范围．
【例10】已知函数，其中．
（1）求的单调区间；
（2）若对任意的，总存在，使得，求实数的值．
【变式10．1】已知函数，，．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）设，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围．
不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．
课后作业
一、解答题．
1．已知函数，（）．
（1）当时，求函数的极值；
（2）函数在区间上存在最小值，记为，求证：．
2．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围．
3．设是函数的一个极值点．
（1）求与之间的关系式，并求当时，函数的单调区间；
（2）设，．若存在使得成立，求实数的取值范围．
4．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
5．已知函数．
（1）若存在极值，求的取值范围；
（2）当时，求证：．
6．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设，当时，对任意，存在，使得，求实数的取值范围．
7．已知函数，实数．
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围．
1利用导数证明不等式恒成立问题
【例1】已知函数，．
（1）若，其中是函数的导函数，试讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；（2）证明见解析．
【解析】（1）的定义域为，，
，，
当时，恒成立，此时在上单调递增；
当时，，即可得，所以，
由，即可得，所以，
所以当时，在单调递增，在单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减．
（2）当时，，
设，则，
令，则，
所以在上单调递增，且，
所以时，，即，此时单调递减；
当时，，即，此时单调递增，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以，
所以对于恒成立，
所以．
【变式1．1】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，恒成立．
【答案】（1）时，在为单调减函数；时，在为单调减函数，在为单调增函数；（2）证明见解析．
【解析】（1），其中；
当时，，在为单调减函数；
当时，，，为单调减函数；，，为单调增函数，
综上，时，在为单调减函数；
时，在为单调减函数，在为单调增函数．
（2）证明：因为，所以，
当且仅当，即时，取等号．
由（1）知，所以，
令，则为增函数，
所以，即时，恒成立．
【例2】已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）设，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1），且，
所以切线方程，即．
（2）由，，，
所以在为增函数，
又因为，，
所以存在唯一，使，
即且当时，，为减函数，
时，，为增函数，
所以，，
记，，
，所以在上为减函数，
所以，
所以．
【变式2．1】已知函数（）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，，求证：当时，．
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）函数的定义域为，且．
①若，则，因而在上单调递增；
②若，则当及时，，单调递增，
当时，，单调递减；
③若，则当及时，，单调递增，
当时，，单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增；在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
（2）由题意知，∴，
故．
欲证当时，，
∵当时，，．
∴只需证：，即在上恒成立，
设，则．
设，则，
故当时，，单调递增．
又，，
∴有且只有一个根，且，．
∴在上，，单调递减；在上，，单调递增，
∴函数的最小值．
又∵，∴在上恒成立，
故成立．
利用导数证明不等式恒成立的两种情形
（1）若函数最值可以通过研究导数求得，则可先利用导数研究函数单调性，将不等式恒成立问题转化成函数最值问题来解决：
；．
（2）若函数最值无法通过研究导数求得，即导函数的零点无法精确求出时，可以利用“虚设和代换”的方法求解．
“虚设和代换”法
当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点存在，再虚设为，接下来通常有两个方向：
（1）由得到一个关于的方程，再将这个关于的方程的整体或局部代入，从而求得，然后解决相关问题．
（2）根据导函数的单调性，得出两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解．
2利用导数证明存在性问题
【例3】已知函数，．
（1）证明：当时，；
（2）证明：当时，存在，使得任意，恒有；
（3）确定的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】（1）证明：令，
所以．
当时，，所以在上单调递减．
又因为，所以当时，，即，
所以．
（2）证明：令，，
．
当时，，所以在上单调递增，
所以，即，
故对任意的正实数均满足题意．
当时，令，得，
取，对任意，恒有，
所以在上单调递增，，即．
综上，当，总存在，使得对任意，恒有．
（3）当时，由（1）知，对于任意，，
故．
此时．
令，
则有．
令，得，
（另一根为负，舍去），
故当时，，
即在上单调递增，
故，即．
所以满足题意的不存在．
当时，由（2）知，存在，使得对任意的，恒有，
此时．
令，
则有．
令，即，
得（另一根为负，舍去），
故当时，，
即在上单调递增，
故，即．
记与中较小的为，
则当时，恒有，
故满足题意的不存在．
当时，由（1）知，当时，
．
令，则有．
当时，，即在上单调递减，
故．
故当时，恒有，此时任意正实数满足题意，
综上，的取值为1．
【变式3．1】已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得不等式成立．
【答案】（1），无极大值；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为，所以，
令，则，
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减，
所以时，取得极小值，，无极大值．
（2）由（1）知当时，，要证，即，即证当时，不等式，即在上有解．
令，即证，
由，得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
令，其中，
则，递减，，
综上得证．
3根据恒成立、存在性条件，求参数范围问题
【例4】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在，求的取值范围．
【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）．
【解析】（1）函数的定义域为，，
当时，，则在上递增，
当时，由，得，
由，得；由，得，
于是有在上递增，在上递减．
（2）由，得，，
，当时，，满足题意；
当时，令，，在上递增，则，不合题意；
当时，由，得；由，得，
于是有在上递减，在上递增，，
则时，，
综上，的取值范围为．
【变式4．1】已知函数．
（1）当时，讨论函数的极值；
（2）若存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．
【解析】（1）由题意，函数，
可得．
①当时，若，则；若，则，
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数，
所以当时，取得极小值，无极大值；
②当时，若或，则；若，则，
在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数，
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值；
③当时，，∴在区间上是增函数，
∴既无极大值又无极小值，
综上所述，当时，有极小值，无极大值；
当时，有极大值，极小值；
当时，既无极大值又无极小值．
（2）由题知，存在，使得，
设，则，
设，∴在区间上是增函数，
又，，
∴存在，使得，即，∴，
当时，，即；当时，，即，
∴在区间上是减函数，在区间上是增函数，
∴，
∴，∴，
∴实数的取值范围为．
【例5】已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
则，所以，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）若存在，使不等式成立，
即存在，使不等式成立，
存在，不等式成立，
设，，则，
当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，
又，，，
即，故，
所以实数的取值范围为．
【变式5．1】已知是自然对数的底数，函数，．
（1）若曲线在点处的切线斜率为，求的最小值；
（2）若当时，有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，得．
曲线在点处的切线斜率为，，
，．
当时，，，，
当时，，，则，
在上单调递增，．
（2），设，，
则当时，有解．
，．
当时，，解，可得或，解得，．
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减．
，，且，
，的取值范围为．
【例6】已知函数()．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，．
则曲线在点处的切线的斜率为．
又，所以切线方程为．
（2）由函数，等价于恒成立，
则，其中，，
当时，因为，所以，在上单调递增，
则，符合题意；
当时，令，，
当时，解得，，在上单调递减，
则，对于任意恒成立，不合题意；
当时，，设的两个零点为，
设，，
则，当，，单调递增；
当时，，，单调递减，
又∵当时，对数函数的增长速度远不如的减小速度，
∴，所以不合题意，
综上所述，实数的取值范围是．
【变式6．1】函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围．
附：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，得出切点，
因为，所以切线的斜率为，
所以曲线在处的切线方程为，
化简得．
（2）对任意的，都有恒成立，
即恒成立，
令，．
①当时，恒成立，
函数在上单调递增，，时符合条件．
②当时，由，及，解得．
当时，；当时，，
，这与相矛盾，应舍去．
综上可知，，
所以的取值范围为．
【例7】已知函数．
（1）当时，求证：；
（2）当时，，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：当时，，定义域为，
则，
由，得；由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，也是的最小值点，且，
所以．
（2）解：由（），得（），
当时，上述不等式恒成立，
当时，，
令（），
则，
由（1）可知，当时，，
所以由，得；由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，也是的最小值点，且，
所以，
所以实数的取值范围为．
【变式7．1】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的最大值．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1），
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，在单调递增；在单调递减；
当时，在单调递增，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在单调递增，
在单调递减．
（2）在恒成立，可得恒成立；
设，则，
令，则，
令，则，
因为，所以，在上单调递增，
，
，
令，则，
易知在单调递减；在单调递增，
，可得，所以在上单调递增，
又因为，所以在上，；在上，，
所以在上，单调递减；在上，单调递增，
所以在上，，所以，
所以的最大值为．
（1）解决“已知不等式恒成立或能成立求参数”问题常用方法之一是“分离参数法”，即将参数与含有变量的式子分离，转化成或的形式，利用“恒成立，恒成立，能成立，能成立”把不等式恒成立或能成立问题转化成利用导数求函数值问题．
（2）在恒成立或能成立问题中，若参数无法分离，可以尝试带着参数对原函数求导，然后令导数得零，得出极值点，根据极值点与区间端点的大小对参数进行分类讨论，然后再从正面证明或者从反面找反例来说明每一类是否符合条件，最后取并集．
4含有两个量词的恒成立问题
【例8】已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若对任意的，使得，求实数的取值范围（为自然对数的底数）．
【答案】（1）的单调减区间为，增区间为；（2）．
【解析】（1）（），
由于，则，当时，，则；
当时，，则，
所以的单调减区间为，增区间为．
（2）对任意的，都有，
则，即，
当时，，当时，，则，
当时，，则，
所以此时的单调减区间为，增区间为，
结合第（1）问知，当时，的单调减区间为，增区间为，
所以，，
由，，则，
令，则，
所以在上是增函数，
又，
故当时，；当时，，
即当时，；当时，，
①当时，，
令，则，
又，即在上是增函数，所以；
②当时，有，则，即，
所以，即，
综上可知，实数的取值范围是．
【变式8．1】设，已知函数，函数．（注：为自然对数的底数）
（1）若，求函数的最小值；
（2）若对任意实数和正数，均有，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，为增函数，且，
所以在递减，在递增，
所以．
（2）因为，
由于函数在上单增，且，，
所以存在唯一的使得，且．
再令，，可知在单增，
而由可知，，，所以．
于是，所以．
又为增函数，当时，，
当时，；
又当时，，
当时，，所以对任意，存在唯一实数，
使得，即，且．
由题意，即使得，
也即，
即，
又由于单调递增且，
所以的值范围为，代入求得的取值范围为．
【例9】已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，存在实数，使得不等式成立，求的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．
【解析】（1）∵，∴，
①当时，∵，∴，，
∴单减，∴减区间是；
时，，∴单增，∴增区间是．
②当时，∵，∴，∴的减区间是．
③当时，∵，∴的减区间是．
④当时，，∴，∴的增区间是；
，，∴的减区间是．
（2），
因为存在实数，使得不等式成立，
∴，
，
∵，，，单减；，，∴单增，
∴，．
∴，∴，
∵，∴．
【变式9．1】已知函数，．
（1）若，求证：当时，函数与的图象相切；
（2）若，对，都有，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：∵，∴，
当时，，
设点为函数图象上的一点，
令，
设，∴，所以单调递增，
又，∴，
此时，，
即当时，结论成立，切点为．
（2）解：由已知得，
∵，∴，
可知，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又∵；，
∴当时，，
又∵当时，，∴，
∴，∴①；
若，当时，，
又∵，∴②；
由①②可得，∴的取值范围为．
【例10】已知函数，其中．
（1）求的单调区间；
（2）若对任意的，总存在，使得，求实数的值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）∵，，
当时，对，，
所以的单调递减区间为．
当时，令，得，
∵时，；时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
综上所述，时，的单调递减区间为；时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）讨论：
①当且时，由（1）知，在上单调递减，
则，
因为对任意的，总存在，使得，
所以对任意的，不存在，使得；
②当时，由（1）知，在上是增函数，在上是减函数，
则，
因为对，对，，
所以对，不存在，使得；
③当时，令，
由（1）知，在是增函数，进而知是减函数，
所以，，
，，
因为对任意的，总存在，使得，
即，故有，即，
所以，解得，
综上，的值为．
【变式10．1】已知函数，，．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）设，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）．
【解析】（1）当时，，所以，
所以，
所以曲线在处的切线方程为，即．
（2）的定义域是，，
令，得，
①当时，，所以函数的单调增区间是；
②当时，变化如下：
+
+
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
所以函数的单调增区间是，单调减区间是；
③当时，变化如下：
+
+
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
所以函数的单调增区间是，单调减区间是．
（3）因为，所以，
当时，，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，
所以在上的最小值是，最大值是，
即当时，的取值范围为，
由（2）知，当时，，在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以不合题意；
当时，，在上单调递减，
所以在上的最大值为，最小值为，
所以当时，的取值范围为，
“对于任意，总存在，使得成立”等价于，即，解得，
所以的取值范围为．
不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．
课后作业
一、解答题．
1．已知函数，（）．
（1）当时，求函数的极值；
（2）函数在区间上存在最小值，记为，求证：．
【答案】（1）极大值为，无极小值；（2）证明见解析．
【解析】（1）当时，，，则，
当，；当，所以．
所以当时，取得极大值为，无极小值．
（2）由题可知．
①当时，由（1）知，函数在区间上单调递减，所以函数无最小值，此时不符合题意；
②当时，因为，所以，此时函数在区间上单调递增，
所以函数无最小值，此时亦不符合题意；
③当时，此时，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，即，
要证，只需证当时，成立，
设，，
由（1）知，所以．
2．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1），
当时，，
所以函数在区间上单调递增；
当时，由，得；由，得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上所述，当时，函数在区间上单调递增；
当时，函数在区间上单调递减﹐在区间上单调递增．
（2）由（1）可得：当时，在区间上单调递增；
又，所以当时，，不满足题意；
当时，函数在区间上单调递减﹐在区间上单调递增；
所以，
为使恒成立，只需，
令，，则只需恒成立，
又，
由，得；由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则；
又，所以只有，即，则，
综上，的取值范围为．
3．设是函数的一个极值点．
（1）求与之间的关系式，并求当时，函数的单调区间；
（2）设，．若存在使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）由，在上单调递增，在和单调递减；（2）．
【解析】（1），
由题意知，解得．
当，则，故令，得，
于是在上单调递增，在和单调递减．
（2）由（1）得，
令，得（），
所以在上单调递增，在单调递减，
于是，；
另一方面在上单调递增，．
根据题意，只要，解得，所以．
4．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1）函数的定义域为，且．
①当时，，若，则；若，则，
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
②当时，，令，可得（舍）或．
若，则；若，则，
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
③当时，．
（i）若，即当时，对任意的，，
此时，函数在上为增函数；
（ii）若，即当时，由可得或，且．
由，可得或；
由，可得．
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、．
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、；
当时，函数在上为增函数．
（2）由，可得，即对任意的恒成立，
令，其中，，
令，其中，则，．
所以，函数在上单调递减，则，
所以，函数在上单调递减，故，
所以，当时，，此时函数在上单调递增，
当时，，此时函数在上单调递减．
所以，，．
因此，实数的取值范围是．
5．已知函数．
（1）若存在极值，求的取值范围；
（2）当时，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）函数的定义域为，，
当时，对任意的，，
故在上单调递增，无极值；
当时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故在处取得极大值，无极小值，
综上所述，若存在极值，则的取值范围为．
（2）当时，．
设，其定义域为，
则证明即可．
，设，
则，
故函数在上单调递增．
，．
有唯一的实根，且，
．
当时，；当时，，
故函数的最小值为．
，
．
6．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设，当时，对任意，存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）函数的定义域为，
，
由，得或．
当，即时，由，得，
由，得或；
当，即时，当时都有；
当时，单调减区间是，单调增区间是，；
当时，单调增区间是，没有单调减区间．
（2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
从而在上的最小值为．
对任意，存在，使得，
即存在，使的值不超过在区间上的最小值．
由，．
令，则当时，．
，
当时，；当时，，．
故在上单调递减，
从而，从而．
7．已知函数，实数．
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）由题知的定义域为，
．
∵，，∴由可得．
（i）当时，
，当时，单递减；
（ii）当时，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
综上所述，时，在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递减，
在区间上单调递增．
（2）由题意：不等式在成立，
即在时有解．
设，，只需．
则，
因为，所以在上，；在上，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
因此．
不等式在成立，
则恒成立．
又，所以恒成立．
令，则．
在上，，单调递增；在上，，单调递减，
所以．
因此解可得且，
即且．
所以实数a的取值范围是．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)