2021-2022学年八年级数学苏科版上册1.3探索全等三角形的条件综合强化提优(三）（word版、含解析）

2021-2022学期苏科版八年级数学上《1.3探索全等三角形的条件》综合强化提优(三）
（时间：90分钟
满分：120分）
一．选择题(每小题2分
共30分)
1.
两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（
）个①这两个三角形全等;
②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等;
④相等的角为直角时全等
A．0
B．1
C．2
D．3
2.在下列定理中假命题是（
）
A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形
B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形
C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形
D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形
3.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（
）
A．1：1
B．3：1
C．4：1
D．2：3
第3题图
第4题图
第6题图
第8题图
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF是∠ACB的平分线.则∠1与∠2的关系是（
）
A．∠1<∠2
B．∠1=∠2;
C．∠1>∠2
D．不能确定
5.在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB的度数是（
）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
6.要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再取BF的垂线DE，使点A，C，E在同一条直线上(如图所示)，可以证明△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长．则判定△EDC≌△ABC的理由是(
)
A.
SAS　
　B.
ASA　
　C.
SSS　
　D.
HL
7．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是(
)
A.
一条直角边和一个锐角分别相等
B.
两条直角边对应相等
C.
斜边和一条直角边对应相等
D.
斜边和一个锐角对应相等
8．如图，已知△ABC，求作一点P，使点P到∠BAC两边的距离相等，且PA＝PB.下列确定点P的方法中，正确的是(
)
A.
P是∠BAC，∠ABC两角平分线的交点
B.
P为∠BAC的平分线与AB的垂直平分线的交点
C.
P为AB，AC两边上的高线的交点
D.
P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
9．如图，直线l1，l2，l3表示相交的道路，现要选定一个货物中转站，要求该站到三条道路的距离相等，可供选择的点有(
)
A.
1处　
B.
2处
C.
3处　
D.
4处
第9题图
第11题图
第12题图
第14题图
10.下列说法正确的有（　　）
①角平分线上任意一点到角两边的距离相等；②到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等；④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，且PD=PE，判定△APD与△APE全等的理由是(
)
A．SAS
B．AAS
C．SSS
D．HL
12．如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是
(
)
A．AB=AC
B．∠BAC=90°
C．BD=AC
D．∠B=45°
13．不能使两个直角三角形全等的条件是(
)
A．一条直角边及其对角对应相等
B．斜边和一条直角边对应相等
C．斜边和两条直角边对应相等
D．两个锐角对应相等
14．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为
(
)
A．11
B．5．5
C．7
D．3．5
15．如(1)图，由已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE可证得AC⊥CE，若将CD沿CB方向平移到图(2)(3)(4)(5)的情形，其余条件不变，则这四种情况下，结论AC1⊥C2
E仍然成立的有(
)
A．2个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题(每小题2分
共30分)
16．已知在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，要使△ABC≌△A′B′C′，可以添加条件：
_____________________________________________．
17.如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌____，全等的根据是___．
第17题图
第19题图
第20题图
第21题图
18.判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边对应相等（2）两边对应相等（3）两锐角对应相等．其中能得到两个直角三角形全等的条件是____________
19.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数是______，∠FBC的度数是________
20.如图，Rt△ABC中，AC=BC=6，D为AB的中点，DE⊥DF，DE，DF分别交AC、BC于点E、F．若已知DE=4，则四边形DECF的周长为______.
21.如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高线AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为
22．如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，若利甩“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要添加一个条件
或
；若利用“HL”证明：△ABC≌△ABD，则需要添加一个条件
或
．
第22题图
第23题图
第24题图
第25题图
如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC=QD，则∠AOQ=
°.
24.．如图，有两个长度相同的滑梯
(即BC=EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=
度．
25．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD与BE相交于H，且BH=AC，DH=DC，那么∠ABC=
°．
26．如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动　
　分钟后△CAP与△PQB全等．
第26题图
第27题图
第28题图
第29题图
第30题图
27．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝4cm，CE＝3cm，则DE＝　
　cm．
28.如图，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD相交于点O，图中有　
　对全等的直角三角形．
29．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA．
（1）若以“SAS”为依据，需添加条件　
　；
（2）若以“HL”为依据，需添加条件　
　．
30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝　
　时，△ABC和△PQA全等．
三．解答题（60分）
31.（6分）已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE
求证：OB=OC.
32.（6分）已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE
33.（6分）已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC
求证：DG=EG.
34．（6分）如图，已知BN为∠ABC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB＋BC＝2BD.求证：∠BAP＋∠BCP＝180°.
35．（6分）如图，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．
求证：BD＝EC+ED．
36．（6分）如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等．
37.（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线．点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上．(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
38.．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
39．（8分）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE　
　CF；EF　
　|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件　
　，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
教师样卷
一．选择题(每小题2分
共30分)
1.
两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（
C
）个①这两个三角形全等;
②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等;
④相等的角为直角时全等
A．0
B．1
C．2
D．3
2.在下列定理中假命题是（
D
）
A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形
B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形
C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形
D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形
3.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（
D
）
A．1：1
B．3：1
C．4：1
D．2：3
【解析】设BC=x则AC=2x，CD=2x
∴BD=3x∴AC：BD=2：3
第3题图
第4题图
第6题图
第8题图
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF是∠ACB的平分线.则∠1与∠2的关系是（
B
）
A．∠1<∠2
B．∠1=∠2;
C．∠1>∠2
D．不能确定
【解析】∵CE为△ABC中线,∴AE=EC∴∠3=∠A∵CF平分∠ACB∴∠ACF=∠FCB
即∠3+∠1=∠2+∠4∵CD⊥AB，∠ACB=90°∴∠4=∠A∴∠3+∠1=∠2+∠A∴∠1=∠2
5.在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB的度数是（
C
）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【解析】∠ADC=60°∴∠ADB=120°
6.要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再取BF的垂线DE，使点A，C，E在同一条直线上(如图所示)，可以证明△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长．则判定△EDC≌△ABC的理由是(B)
A.
SAS　
　B.
ASA　
　C.
SSS　
　D.
HL
7．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是(A)
A.
一条直角边和一个锐角分别相等
B.
两条直角边对应相等
C.
斜边和一条直角边对应相等
D.
斜边和一个锐角对应相等
8．如图，已知△ABC，求作一点P，使点P到∠BAC两边的距离相等，且PA＝PB.下列确定点P的方法中，正确的是(B)
A.
P是∠BAC，∠ABC两角平分线的交点
B.
P为∠BAC的平分线与AB的垂直平分线的交点
C.
P为AB，AC两边上的高线的交点
D.
P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
9．如图，直线l1，l2，l3表示相交的道路，现要选定一个货物中转站，要求该站到三条道路的距离相等，可供选择的点有(D)
A.
1处　
B.
2处
C.
3处　
D.
4处
【解】　如解图，作角平分线，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等，可知P1，P2，P3，P4都满足条件．
第9题图
第11题图
第12题图
第14题图
10.下列说法正确的有（　B　）
①角平分线上任意一点到角两边的距离相等；②到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等；④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，且PD=PE，判定△APD与△APE全等的理由是(
D
)
A．SAS
B．AAS
C．SSS
D．HL
12．如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是
(
A
)
A．AB=AC
B．∠BAC=90°
C．BD=AC
D．∠B=45°
13．不能使两个直角三角形全等的条件是(
D
)
A．一条直角边及其对角对应相等
B．斜边和一条直角边对应相等
C．斜边和两条直角边对应相等
D．两个锐角对应相等
14．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为
(
B
)
A．11
B．5．5
C．7
D．3．5
15．如(1)图，由已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE可证得AC⊥CE，若将CD沿CB方向平移到图(2)(3)(4)(5)的情形，其余条件不变，则这四种情况下，结论AC1⊥C2
E仍然成立的有(
D
)
A．2个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题(每小题2分
共30分)
16．已知在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，要使△ABC≌△A′B′C′，可以添加条件：AC＝A′C′，AB＝A′B′(答案不唯一)．
17.如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌__△DFE___，全等的根据是__HL___．
第17题图
第19题图
第20题图
第21题图
18.判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边对应相等（2）两边对应相等（3）两锐角对应相等．其中能得到两个直角三角形全等的条件是（1）（2）
19.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数是20°，∠FBC的度数是40°
20.如图，Rt△ABC中，AC=BC=6，D为AB的中点，DE⊥DF，DE，DF分别交AC、BC于点E、F．若已知DE=4，则四边形DECF的周长为14
21.如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高线AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为
4
22．如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，若利甩“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要添加一个条件
或
；若利用“HL”证明：△ABC≌△ABD，则需要添加一个条件
或
．
【答案】∠CAB=∠DAB
∠CBA=∠DBA
AC=AD
BC=BD
第22题图
第23题图
第24题图
第25题图
如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC=QD，则∠AOQ=
35
°.
24.．如图，有两个长度相同的滑梯
(即BC=EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=
90
度．
25．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD与BE相交于H，且BH=AC，DH=DC，那么∠ABC=
45
°．
26．如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动　
4　分钟后△CAP与△PQB全等．
解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，分两种情况：①若BP＝AC，则x＝4，
AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ，∴△CAP≌△PBQ；②若BP＝AP，则12﹣x＝x，解得：x＝6，BQ＝12≠AC，此时△CAP与△PQB不全等；综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；故答案为：4．
第26题图
第27题图
第28题图
第29题图
第30题图
27．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝4cm，CE＝3cm，则DE＝　7
　cm．
解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90∴∠BAD+∠EAC＝90°，∠BAD+∠B＝90°∴∠EAC＝∠B∵AB＝AC∴△ABD≌△ACE（AAS）∴AD＝CE，BD＝AE∴DE＝AD+AE＝CE+BD＝7cm．故填7．
28.如图，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD相交于点O，图中有　3
　对全等的直角三角形．
解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABE和△Rt△ACD中
∴Rt△ABE≌△Rt△ACD（AAS），∴AD＝AE，在Rt△AOD和Rt△AOE中∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴OD＝OE，在Rt△BOD和Rt△COE中
∴Rt△BOD≌Rt△COE（ASA），∴全等的直角三角形共有3对，故答案为：3．
29．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA．
（1）若以“SAS”为依据，需添加条件　
AB＝CD
　；
（2）若以“HL”为依据，需添加条件　
AD＝BC
　．
解：（1）若以“SAS”为依据，需添加条件：AB＝CD；∵AC⊥AB，AC⊥CD，∴∠BAC＝90°，∠DCA＝90°，∴∠BAC＝∠DCA，在△ABC和△CDA中，∵，
∴△ABC≌△CDA（SAS）；
（2）若以“HL”为依据，需添加条件：AD＝BC；在Rt△ABC和Rt△CDA中，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL）．
30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝　
5或10
　时，△ABC和△PQA全等．
解：当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等，理由是：∵∠C＝90°，AO⊥AC，∴∠C＝∠QAP＝90°，①当AP＝5＝BC时，在Rt△ACB和Rt△QAP中∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），②当AP＝10＝AC时，在Rt△ACB和Rt△PAQ中∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），故答案为：5或10．
三．解答题（60分）
31.（6分）已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE
求证：OB=OC.
证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，则∠BEC=∠CDB=90°∴在Rt△BCE与Rt△CBD中
∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)∴∠1=∠2，∴OB=OC
32.（6分）已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE
证明：∵DE⊥AB∴∠BDE=90°，∵∠ACB=90°∴在Rt△DEB中与Rt△CEB中BD=BC
BE=BE∴Rt△DEB≌Rt△CEB（HL）∴DE=EC又∵BD=BC∴E、B在CD的垂直平分线上即BE⊥CD.
33.（6分）已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC
求证：DG=EG.
证明：作FQ⊥BD于Q，∴∠FQB=90°∵DE⊥AC∴∠DEC=90°∵FG⊥CD
CD⊥BD
∴BD//FG，∠BDC=∠FGC=90°∴QF//CD∴QF=DG，∴∠B=∠GFC∵F为BC中点∴BF=FC
在Rt△BQF与Rt△FGC中∴△BQF≌△FGC（AAS）∴QF=GC
∵QF=DG
∴DG=GC∴在Rt△DEC中，∵G为DC中点∴DG=EG
34．（6分）如图，已知BN为∠ABC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB＋BC＝2BD.求证：∠BAP＋∠BCP＝180°.
【解】　过点P作PE⊥射线BA于点E.∵BN平分∠ABC，点P在BN上，PD⊥BC，PE⊥AB，∴PE＝PD，∠BEP＝∠BDP＝90°.在Rt△PBE和Rt△PBD中，∵PB＝PB，PE＝PD，
∴Rt△PBE≌Rt△PBD(HL)，∴BE＝BD.∵AB＋BC＝2BD，AB＝BE－AE，BC＝BD＋CD，
∴BE－AE＋BD＋CD＝2BD，∴AE＝CD.在△PEA和△PDC中，∵∴△PEA≌△PDC(SAS)，∴∠PAE＝∠PCD，即∠PAE＝∠BCP.∵∠BAP＋∠PAE＝180°，∴∠BAP＋∠BCP＝180°.
35．（6分）如图，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．
求证：BD＝EC+ED．
证明：∵∠BAC＝90°，CE⊥AE，BD⊥AE，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°．∴∠ABD＝∠DAC．∵在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE（AAS）．∴BD＝AE，EC＝AD．∵AE＝AD+DE，∴BD＝EC+ED．
36．（6分）如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等．
解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝BC＝5cm；
②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，在Rt△ABC与Rt△QPA中，，∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即AP＝AC＝10cm，∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．综上所述，当点P位于AC的中点处或当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
37.（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线．点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上．(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
【解】　(1)过点O作OM⊥AB于点M，连结AO.∵四边形OECF是正方形，∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC，OF⊥AC.又∵BD平分∠ABC，OM⊥AB，OE⊥BC，∴OM＝OE，∴OM＝OF.又∵AO＝AO，∴Rt△AMO≌Rt△AFO(HL)，∴∠MAO＝∠FAO，∴点O在∠BAC的平分线上．
(2)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝13.又∵BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，CE＝CF＝OE，∴BE＝12－OE，AF＝5－OE.易证BE＝BM，AF＝AM.∵BM＋AM＝AB，∴BE＋AF＝13，∴12－OE＋5－OE＝13，∴OE＝2.
38.．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
【解】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，∵，∴Rt△ABD≌Rt△CAE．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC．∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°．∠BAC＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝90°．∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．理由如下：同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC，∵∠CAE+∠ECA＝90°，∴∠CAE+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，∴AB⊥AC．
39．（8分）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE　
　CF；EF　
　|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件　
　，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
解：（1）①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF，∵CA＝CB，∠BEC＝∠CFA；∴△BCE≌△CAF，∴BE＝CF；EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|．
②所填的条件是：∠α+∠BCA＝180°．证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣∠α．∵∠BCA＝180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE＝∠BCA．又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA，∴∠CBE＝∠ACF，又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CFA，∴△BCE≌△CAF（AAS）∴BE＝CF，CE＝AF，又∵EF＝CF﹣CE，∴EF＝|BE﹣AF|．
（2）猜想：EF＝BE+AF．证明过程：∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF＝180°，∴∠BCE＝∠CAF，又∵BC＝CA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE＝CF，EC＝FA，∴EF＝EC+CF＝BE+AF．