2021-2022学年苏科版九年级数学上册第1章一元二次方程 常考热点能力达标测评（word版、含解析）

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》常考热点
能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k且k≠1
B．k≥且k≠1
C．k
D．k≥
2．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（　　）
A．﹣7
B．﹣3
C．2
D．5
3．用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝17
B．（x﹣3）2＝14
C．（x﹣6）2＝44
D．（x﹣3）2＝1
4．某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元．如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（　　）
A．100（1+x）2＝800
B．100+100×2x＝800
C．100+100×3x＝800
D．100[1+（1+x）+（1+x）2]＝800
5．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（　　）
A．8
B．32
C．8或32
D．16或40
6．方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的解是（　　）
A．x＝5
B．x＝2
C．x＝5或x＝2
D．x＝1或x＝2
7．若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（　　）
A．﹣2
B．2
C．±2
D．±
8．一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值以及另一个根为（　　）
A．1，﹣1
B．1，1
C．﹣1，﹣1
D．﹣1，1
9．关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2020＝0满足a+b＝2020，则方程必有一根为（　　）
A．1
B．﹣1
C．±1
D．无法确定
10．已知m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2020﹣m2+3m的值为（　　）
A．2020
B．2021
C．2019
D．﹣2020
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．若一元二次方程ax2﹣（b﹣1）x﹣2021＝0有一根为x＝﹣1，则a+b的值
　
　．
12．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝　
　．
13．若一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无解，则c的取值范围为
　
　．
14．关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）＝0，则k的值是　
　．
15．已知关于x的一元二次方程mx2﹣x+2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　
　．
16．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根，则该等腰三角形的周长为
　
　．
17．若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝　
　时，△ABC是直角三角形．
18．若m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则3m2﹣9m+2021的值为　
　．
19．已知m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个根，则（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1）＝　
　．
20．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根是直角三角形的两直角边长，则这个直角三角形的斜边长为　
　．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）（2x﹣1）2﹣2x+1＝0．
22．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
23．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
24．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数根．
（ⅰ）求实数k的取值范围；
（ⅱ）当k＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值．
25．列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
26．2021年春节前夕，李克强总理在山西考察，他来到某快递分拨中心，对快递员们说，过去说家书抵万金，现在是快递暖人心、保生活．春节期间快递需求旺盛，我省某地2019年的快递业务量为1.4亿件，近两年由于电子商务发展等多重因素，快递业务也迅猛发展，假设这两年快递业务量的年平均增长率相同，预计2021年该地区的快递业务量可达到2.016亿件．
（1）求这两年快递业务量的年平均增长率；
（2）经实践调查，快递系统会给快递员合理分配快递，已知甲、乙两个快递员送快递，乙快递员比甲快递员平均每小时多送6件，甲快递员送150件快递所用的时间与乙快递员送180件快递所用的时间相同，问甲、乙两快递员平均每小时分别送快递多少件？
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．
∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，
解得k≥；
当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；
综上，k的取值范围是k≥，
故选：D．
2．解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，
∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．
故选：A．
3．解：用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，
故选：A．
4．解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为100×（1+x），
∴三月份的营业额为100×（1+x）×（1+x）＝100×（1+x）2，
∴可列方程为100+100×（1+x）+100×（1+x）2＝800，
故选：D．
5．解：由题意得△＝（2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，
∴m≥0，
∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，
则x1+x2＝﹣2m，x1?x2＝m2﹣m＝2，
∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1（舍去），
∴x1+x2＝﹣4，
（x12+2）（x22+2）
＝（x1x2）2+2（x1+x2）2﹣4x1x2+4，
原式＝22+2×（﹣4）2﹣4×2+4＝32；
故选：B．
6．解：∵（x﹣2）2＝3（x﹣2），
∴（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0，
∴x＝2或x＝5，
故选：C．
7．解：把x＝0代入方程得：a2﹣4＝0，
（a﹣2）（a+2）＝0，
可得a﹣2＝0或a+2＝0，
解得：a＝2或a＝﹣2，
当a＝2时，a﹣2＝0，此时方程不是一元二次方程，舍去；
则a的值为﹣2．
故选：A．
8．解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t＝﹣p，2t＝﹣2，
解得t＝﹣1，p＝﹣1．
故选：C．
9．解：当x＝﹣1时，a+b﹣2020＝0，则a+b＝2020，
所以若a+b＝2020，则此方程必有一根为﹣1．
故选：B．
10．解：∵m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，
∴m2﹣3m+1＝0，
即m2﹣3m＝﹣1，
∴2020﹣m2+3m＝2020﹣（m2﹣3m）
＝2020+1
＝2021．
故选：B．
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．解：把x＝﹣1代入ax2﹣（b﹣1）x﹣2021＝0得a+（b﹣1）﹣2021＝0，
所以a+b＝2022．
故答案为2022．
12．解：根据题意，知x1+x2＝3x2＝3，则x2＝1，
将其代入关于x的方程x2﹣3x+k＝0，得12﹣3×1+k＝0．
解得k＝2．
故答案是：2．
13．解：∵一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无解，
△＝（﹣3）2﹣4×2×c＜0，
解得c＞，
∴c的取值范围是c＞．
故答案为：c＞．
14．解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）＝0，
∴x1﹣2＝0或x1﹣x2＝0．
①如果x1﹣2＝0，那么x1＝2，
将x＝2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0，
得4+2（2k+1）+k2﹣2＝0，
整理，得k2+4k+4＝0，
解得k＝﹣2；
②如果x1﹣x2＝0，
则△＝（2k+1）2﹣4（k2﹣2）＝0．
解得：k＝﹣．
所以k的值为﹣2或﹣．
故答案为：﹣2或﹣．
15．解：由题意得：△＞0，
∴（﹣1）2﹣4m×2＞0，
整理得：m＜．
又∵m≠0，
∴实数m的取值范是m＜且m≠0．
故答案是：m＜且m≠0．
16．解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
即x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3，
当等腰三角形的腰为2，底边为3时，2+2＞3，该等腰三角形的周长为2+2+3＝7；
当等腰三角形的腰为3，底边为2时，3+2＞3，该等腰三角形的周长为2+3+3＝8；
综上所述，该等腰三角形的周长为7或8．
故答案为7或8．
17．解：∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，
∴[x﹣（k+1）][x﹣（k+2）]＝0，
∴x1＝k+1，x2＝k+2，
即AB、AC的长为k+1，k+2，
当（k+1）2+（k+2）2＝52时，△ABC为直角三角形，解得k1＝2，k2＝﹣5（舍去）；
当（k+1）2+52＝（k+2）2时，△ABC为直角三角形，解得k＝11；
综上所述，当k＝2或11时，△ABC是直角三角形．
故答案为2或11．
18．解：∵m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，
∴m2﹣3m+1＝0，
∴m2﹣3m＝﹣1，
∴3m2﹣9m+2021＝3（m2﹣3m）+2021＝3×（﹣1）+2021＝2018．
故答案为2018．
19．解：∵m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2019，mn＝﹣2，m2+2019m﹣2＝0，n2+2019n﹣2＝0，
∴（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1）＝（m2+2019m﹣2﹣m﹣1）（n2+2019n﹣2+n+1）
＝（﹣m﹣1）（n+1）
＝﹣mn﹣m﹣n﹣1
＝2+2019﹣1
＝2020．
故答案为：2020．
20．解：∴x2﹣5x+6＝0，
（x﹣3）（x﹣2）＝0，
解得x1＝3，x2＝2，
∴直角三角形的两直角边长分别为3和2，
∵斜边长＝．
故答案为：．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
则x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1．
（2）∵（2x﹣1）2﹣2x+1＝0，
∴2（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
则2x﹣1＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝，x2＝1．
22．解：（1）∵a＝1，b＝2（k﹣1），c＝k2﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＞0，即[2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，
∴k＜1．
（2）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1．
∵x12+x22＝16，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，即[﹣2（k﹣1）]2﹣2（k2﹣1）＝16，
整理，得：k2﹣4k﹣5＝0，
解得：k1＝5，k2＝﹣1．
又∵k＜1，
∴k＝﹣1．
23．解：（1）△＝4﹣4（k﹣2）＝12﹣4k＞0，
∴k＜3．
（2）由（1）可知：k＝2，
∴此时方程为：x2+2x＝0，
∴x（x+2）＝0，
∴x＝0或x＝﹣2．
24．解：（i）∵方程有实数根，
∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，
解得：k≤；
（ii）当k＝2时，方程化为x2+3x+1＝0，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，
∵x1，x2是方程的解，
∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，
∴x12+3x1＝﹣1，x22+3x2＝﹣1，
∴原式＝（﹣1﹣x1﹣1）（﹣1+x2+3）
＝﹣（x1+2）（x2+2）
＝﹣[x1x2+2（x1+x2）+4]
＝﹣（1﹣6+4）
＝1．
25．解：设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640，
整理得x2﹣12x+27＝0，
∴x＝3或x＝9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴售价为38﹣9＝29元．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
26．解：（1）设该地区这两年快递业务量的年平均增长率为x．
根据题意，得，
1.4（1+x）2＝2.016，
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
∴x＝0.2＝20%，
答：该地区这两年快递业务量的年平均增长率为20%；
（2）设甲快递员平均每小时送y件，则乙快递员平均每小时送（y+6）件，
根据题意，得，
＝，
解得y＝30，
经检验y＝30是原方程的解，
当y＝30时，y+6＝36，
答：甲、乙两快递员平均每小时分别送快递30件和36件