2021-2022学年苏科版九年级数学上册1.2一元二次方程的解法培优提升训练 （word版、含解析）

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《1.2一元二次方程的解法》培优提升训练（附答案）
1．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣3
B．a≠1
C．a＞﹣3且a≠1
D．a≥﹣3且a≠1
2．方程（x﹣3）2＝1的解为（　　）
A．x＝1或x＝﹣1
B．x＝4或x＝2
C．x＝4
D．x＝2
3．一元二次方程x（2x﹣1）＝1的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．无实数根
4．用配方法解方程2x2﹣4x＝8时，原方程变形为（　　）
A．（x﹣1）2＝5
B．（x﹣1）2＝9
C．（x﹣2）2＝10
D．（x﹣2）2＝12
5．用公式法解方程3x2﹣2x﹣1＝0时，正确代入求根公式的是（　　）
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝
6．下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（　　）
A．（x﹣2）（x+5）＝2
B．2（x﹣2）2＝x2﹣4
C．x2+5x﹣2＝0
D．12（2﹣x）2＝3
7．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　）
A．﹣5或1
B．﹣1或5
C．1
D．5
8．将代数式3x2+6x+2配方成a（x+k）2+h形式为（　　）
A．
B．3（x+1）2+1
C．3（x+1）2﹣1
D．
9．若x2+mx+20＝（x﹣4）2﹣n，则m﹣n的值是（　　）
A．﹣16
B．﹣12
C．﹣4
D．4
10．关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，则k的值为（　　）
A．±2
B．2
C．﹣2
D．不能确定
11．将方程3x2＝5（x+2）化为一元二次方程的一般式为　
　．
12．若将方程x2﹣4x+1＝0化为（x+m）2＝n的形式，则m＝　
　．
13．已知实数x、y满足（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝0，则x2+y2＝　
　．
14．若关于x的一元二次方程3x2﹣2x+c＝0有实数根，则c的取值范围为
　
　．
15．菱形ABCD的两条对角线长为方程y2﹣12y+32＝0的两个根，则菱形ABCD的周长为
　
　．
16．一元二次方程2x2﹣bx+c＝0的两根为x1，x2，若x1+x2＝5，x1?x2＝﹣2，则b＝　
　，c＝　
　．
17．解方程：6（x﹣1）2﹣54＝0．
18．解关于x的方程：a2x2﹣1＝﹣x2．
19．解下列方程：
（1）（2x+3）2＝16；
（2）x2﹣4x﹣3＝0．
20．解方程：3x2﹣5x﹣1＝0．
21．解方程
（1）x2+4x＝1；
（2）3x2﹣7x+4＝0．
22．解方程：5x（x﹣2）＝2（x﹣2）．
23．解一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0．
24．用适当的方法解下列方程：
（1）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）；
（2）2x2+x＝3．
25．解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0时，我们将x2﹣1作为一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣3y＝0．解得y1＝0，y2＝3．当y＝0时，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1．当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2．所以，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
模仿材料中解方程的方法，求方程（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝0的解．
26．用恰当的方法解下列方程：
（1）4x2﹣25＝0；
（2）x2+4x﹣2＝0；
（3）（2x+1）2+2（2x+1）+1＝0；
（4）（x﹣1）（x﹣3）＝8．
27．解方程：
（1）2（x+1）2﹣＝0；
（2）（x+1）（x﹣3）＝﹣2；
（3）x（x+3）＝5（x+3）；
（4）（2x+1）2﹣3（2x+1）﹣28＝0．
28．解下列方程
（1）x2+12x+27＝0（配方法）；
（2）x（5x+4）＝5x+4；
（3）（3x+2）（x+3）＝x+14；
（4）（x+1）2﹣3（x+1）+2＝0．
29．解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0；
（3）x2+4x﹣3＝0；
（4）x2﹣2x+5＝0．
30．已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程有一个根﹣1，求m的值．
31．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解．
32．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1+x2﹣x1x2＝1，计算m的值．
33．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x＝4m﹣3有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x1与x2若x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，求m的值．
34．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．请根据阅读材料解决下列问题：
（1）填空：分解因式4a2﹣4a+1＝　
　；
（2）把x2﹣10x﹣1写成（x+h）2+k后，求出h+k的值；
（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+3b2+c2+3＝2ab+4b+2c，试判断△ABC的形状，并说明理由．
35．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这种变形方法叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：x2+11x+24＝x2+11x+（）2﹣（）2+24
＝（x+）2﹣＝（x++）（x+﹣）
＝（x+8）（x+3）
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用配方法将x2+4x﹣5化成（x+m）2+n的形式，则x2+4x﹣5＝　
　；
（2）用配方法和平方差公式把多项式x2﹣6x﹣7因式分解；
（3）对于任意实数x，y，多项式x2+y2﹣2x﹣8y+19的值总为
　
　（填序号）．
①正数；②非负数；③0．
36．观察下列分解因式的过程：x2+2xy﹣3y2
解：原式＝x2+2xy+y2﹣y2﹣3y2
＝（x2+2xy+y2）﹣4y2
＝（x+y）2﹣（2y）2
＝（x+y+2y）（x+y﹣2y）
＝（x+3y）（x﹣y）
像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法．
（1）请你运用上述配方法分解因式：x2+4xy﹣5y2；
（2）代数式x2+2x+y2﹣6y+15是否存在最小值？如果存在，请求出当x、y分别是多少时，此代数式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：根据题意得a﹣1≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）×（﹣1）≥0，
解得a≥﹣3且a≠1．
故选：D．
2．解：（x﹣3）2＝1，
开方，得x﹣3＝±1，
解得：x＝4或x＝2，
故选：B．
3．解：x（2x﹣1）＝1，
整理，得2x2﹣x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
4．解：∵2x2﹣4x＝8，
∴x2﹣2x＝4，
∴x2﹣2x+1＝4+1，即（x﹣1）2＝5，
故选：A．
5．解：∵3x2﹣2x﹣1＝0，
∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴x＝＝．
故选：D．
6．解：A、（x﹣2）（x+5）＝2适合于公式法解方程，故本选项不符合题意；
B、由原方程移项提公因式得到（x﹣2）（x﹣6）＝0，适合于因式分解法解方程，故本选项符合题意；
C、x2+5x﹣2＝0适合于公式法解方程，故本选项不符合题意；
D、由原方程得到（2﹣x）2＝，适合于直接开平方法法或者因式分解法解方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．解：设y＝x2﹣2x+1，则y2+4y﹣5＝0．
整理，得（y+5）（y﹣1）＝0．
解得y＝﹣5（舍去）或y＝1．
即x2﹣2x+1的值为1．
故选：C．
8．解：3x2+6x+2
＝3（x2+2x+1﹣1）+2
＝3（x+1）2﹣3+2
＝3（x+1）2﹣1，
故选：C．
9．解：（x﹣4）2﹣n＝x2﹣8x+16﹣n，
∵x2+mx+20＝（x﹣4）2﹣n，
∴x2+mx+20＝x2﹣8x+16﹣n．
∴m＝﹣8，16﹣n＝20．
∴m＝﹣8，n＝﹣4．
∴m﹣n＝﹣8﹣（﹣4）＝﹣8+4＝﹣4．
故选：C．
10．解：设方程的两个是a，b，
∵关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，
∴a+b＝﹣＝0，
解得：k＝±2，
当k＝2时，方程为x2+1＝0，
Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴此方程无解（方法二、即x2＝﹣1，
∵不论x为何值，x2不能为﹣1，
∴此方程无解）即k＝2舍去；
当k＝﹣2时，方程为x2﹣3＝0，
解得：x＝，此时符合题意，
即k＝﹣2符合题意，
故选：C．
11．解：3x2＝5（x+2），
3x2＝5x+10，
3x2﹣5x﹣10＝0，
故答案为：3x2﹣5x﹣10＝0．
12．解：方程x2﹣4x+1＝0，
移项得：x2﹣4x＝﹣1，
配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，
则m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13．解：设x2+y2＝a，
则（a+1）（a﹣3）＝0，
解得a＝﹣1或a＝3，
当a＝﹣1时，x2+y2＝﹣1，不合题意，舍去；
故x2+y2＝3，
故答案为：3．
14．解：∵关于x的一元二次方程3x2﹣2x+c＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×c≥0，
∴c≤，
故答案为：c≤．
15．解：∵y2﹣12y+32＝0，
∴（y﹣8）（y﹣4）＝0，
∴y﹣8＝0或y﹣4＝0，
解得y1＝8，y2＝4，
即菱形ABCD的对角线长为8和4，
∴菱形的边长＝＝2，
∴菱形ABCD的周长为4×2＝8．
故答案为．
16．解：∵x1+x2＝＝5，x1?x2＝＝﹣2，
∴b＝10，c＝﹣4．
故答案是：10；﹣4．
17．解：∵6（x﹣1）2﹣54＝0，
∴6（x﹣1）2＝54，
∴（x﹣1）2＝9，
则x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
解得x1＝4，x2＝﹣2．
18．解：当a＝0时，﹣1＝﹣x2，即x2＝1．
解得x1＝1，x2＝﹣1；
当a≠0时，a2x2﹣1＝﹣x2，即（a2+1）x2＝1．
所以x2＝．
解得x1＝，x2＝﹣．
综上所述，x的值是1或﹣1或或﹣．
19．解：（1）（2x+3）2＝16；
开方，得2x+3＝±4，
解得：，，
所以方程的解为：，；
（2）x2﹣4x﹣3＝0，
移项，得x2﹣4x＝3，
配方，得x2﹣4x+4＝3+4，
即（x﹣2）2＝7，
开方，得x﹣2＝，
解得：．
20．解：∵a＝3，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣1）＝25+12＝37＞0．
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
21．解：（1）配方得：x2+4x+4＝5，
整理得：（x+2）2＝5，
开方得：x+2＝±，
解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）方程3x2﹣7x+4＝0，
这里a＝3，b＝﹣7，c＝4，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×3×4＝49﹣48＝1＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝1．
22．解：5x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（5x﹣2）＝0，
x﹣2＝0或5x﹣2＝0，
所以x1＝2，x2＝．
23．解：∵x2﹣4x﹣12＝0，
∴（x﹣6）（x+2）＝0，
则x﹣6＝0或x+2＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣2．
24．解：（1）∵3x（x﹣1）＝2（x﹣1），
∴3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（3x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝；
（2）∵2x2+x＝3，
∴2x2+x﹣3＝0，
则（x﹣1）（2x+3）＝0，
∴x﹣1＝0或2x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣1.5．
25．解：设x2+2x＝m，
则m2﹣2m﹣3＝0，
∴（m﹣3）（m+1）＝0，
∴m﹣3＝0或m+1＝0，
解得m＝3或m＝﹣1，
当m＝3时，x2+2x＝3，即x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
则x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1；
当m＝﹣1时，x2+2x＝﹣1，即x2+2x+1＝0，
∴（x+1）2＝0，
解得x3＝x4＝﹣1；
综上，原方程的解为x1＝﹣3，x2＝1，x3＝x4＝﹣1．
26．解：（1）4x2﹣25＝0，
x2＝，
∴x1＝，x2＝﹣；
（2）x2+4x﹣2＝0，
x2+4x＝2，
x2+4x+4＝6，即（x+2）2＝6，
∴x+2＝±，
∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（3）（2x+1）2+2（2x+1）+1＝0，
（2x+1+1）2＝0，
∴x1＝x2＝﹣1；
（4）（x﹣1）（x﹣3）＝8．
x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣1．
27．解：（1）2（x+1）2﹣＝0，
2（x+1）2＝，
（x+1）2＝，
开方得：x+1＝，
解得：x1＝，x2＝﹣；
（2）（x+1）（x﹣3）＝﹣2，
整理得：x2﹣2x＝1，
配方得：x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2，
开方得：x﹣1＝，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（3）x（x+3）＝5（x+3），
x（x+3）﹣5（x+3）＝0，
（x+3）（x﹣5）＝0，
x+3＝0或x﹣5＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝5；
（4）（2x+1）2﹣3（2x+1）﹣28＝0，
设2x+1＝a，则原方程化为a2﹣3a﹣28＝0，
解得：a＝7或﹣4，
当a＝7时，2x+1＝7，解得：x＝3；
当a＝﹣4时，2x+1＝﹣4，解得：x＝﹣；
所以原方程的解是：x1＝﹣3，x2＝﹣．
28．解：（1）方程整理得：x2+12x＝﹣27，
配方得：x2+12x+36＝9，即（x+6）2＝9，
开方得：x+6＝3或x+6＝﹣3，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣9；
（2）方程整理得：x（5x+4）﹣（5x+4）＝0，
分解因式得：（5x+4）（x﹣1）＝0，
可得5x+4＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝1；
（3）方程整理得：3x2+9x+2x+6＝x+14，即3x2+10x﹣8＝0，
分解因式得：（3x﹣2）（x+4）＝0，
可得3x﹣2＝0或x+4＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣4；
（4）分解因式得：（x+1﹣1）（x+1﹣2）＝0，
可得x+1﹣1＝0或x+1﹣2＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
29．解：（1）分解因式得：（x﹣3）（x+1）＝0，
可得x﹣3＝0或x+1＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1；
（2）分解因式得：（x﹣1）（x﹣1﹣3）＝0，
可得x﹣1＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝1，x2＝4；
（3）方程整理得：x2+4x＝3，
配方得：x2+4x+4＝7，即（x+2）2＝7，
开方得：x+2＝±，
解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（4）分解因式得：（x﹣）2＝0，
解得：x1＝x2＝．
30．（1）证明：Δ＝（﹣4m）2﹣4×1×（4m2﹣9）＝36＞0，
所以方程有两个不相等的实数根；
（2）解：把x＝﹣1代入原方程，得4m2+4m﹣8＝0，
解得m1＝1，m2＝﹣2．
31．解：（1）根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k≤；
（2）∵k≤，
∴k的最大整数值为2，
此时方程为x2﹣3x+2＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝1，x2＝2．
32．解：（1）∵方程有两个实数根，
∴Δ＝16﹣4m≥0，
∴m≤4；
（2）由根与系数的关系，得：x1+x2＝4，x1x2＝m，
∵x1+x2﹣x1x2＝1，
∴4﹣m＝1，
∴m＝3．
33．解：（1）方程化为x2+（6﹣2m）x+m2﹣4m+3＝0，
根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝（6﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣4m+3）＝﹣8m+24≥0，
解得m≤3；
（2）由根与系数的关系得x1+x2＝2m﹣6，x1x2＝m2﹣4m+3，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，
∴x1x2﹣（x1+x2）2+2x1x2＝﹣7，
即3x1x2﹣（x1+x2）2＝﹣7，
∴3（m2﹣4m+3）﹣（2m﹣6）2＝﹣7，
整理得m2﹣12m+20＝0，解得m1＝2，m2＝10，
∵m≤3，
∴m＝10应舍去，
∴m＝2．
34．解：（1）4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2；
故答案为：（2a﹣1）2；
（2）x2﹣10x﹣1
＝x2﹣10x+52﹣52﹣1
＝（x﹣5）2﹣26
∴h＝﹣5，k＝﹣26，
∴h+k＝﹣31；
（3）△ABC为等边三角形．理由如下：
∵a2+3b2+c2+3＝2ab+4b+2c，
∴a2+3b2+c2﹣2ab﹣4b﹣2c+3＝0，
∴a2﹣2ab+b2+2b2﹣4b+2+c2﹣2c+1＝0，
∴（a﹣b）2+2（b﹣1）2+（c﹣1）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，
即a＝b＝c＝1，
∴△ABC为等边三角形．
35．解：（1）x2+4x﹣5
＝x2+4x+4﹣9
＝（x+2）2﹣9，
故答案为：（x+2）2﹣9；
（2）x2﹣6x﹣7
＝x2﹣6x+9﹣16
＝（x﹣3）2﹣42
＝（x﹣3+4）（x﹣3﹣4）
＝（x+1）（x﹣7）；
（3）x2+y2﹣2x﹣8y+19
＝x2﹣2x+1+y2﹣8y+16+2
＝（x﹣1）2+（y﹣4）2+2＞0，
∴x2+y2﹣2x﹣8y+19是正数，
故答案为：①．
36．解：（1）原式＝（x2+4xy+4y2）﹣9y2
＝（x+2y）2﹣9y2
＝（x+2y+3y）（x+2y﹣3y）
＝（x+5y）（x﹣y）；
（2）原式＝（x2+2x+1）+（y2﹣6y+9）+5
＝（x+1）2+（y﹣3）2+5，
当x＝﹣1，y＝3时，原式存在最小值，最小值为5