2021-2022学年苏科版八年级数学上册第一章全等三角形阶段培优练习题（练习范围1.3--SAS、ASA、AAS、SSS）（word版、含解析）

第一章
阶段培优练习题（练习范围1.3--SAS、ASA、AAS、SSS）
2021-2022学年苏科版八年级数学上册
一、选择题
1、根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（
）
A．，，
B．，，
C．，
D．，，
2、如图，点A，E，B，F在一条直线上，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝DE，要利用“SSS”来判定△ABC≌△FED时，下面4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE；可利用的是(
)
A．①或②
B．②或③
C．③或①
D．①或④
(2题)
(3题)
(4题)
3、如图，在△ABC和△DEF中，已有条件AB=DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（
）
A．∠B=∠E，BC=EF
B．∠A=∠D，BC=EF
C．∠A=∠D，∠B=∠E
D．BC=EF，AC=DF
4、如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是
A．∠A=∠C
B．AD=CB
C．BE=DF
D．AD∥BC
5、如图，AE=AF，AB=AC，EC与BF交于点O，∠A=60°，∠B=25°，则∠EOB的度数为（
）
A．60°
B．70°
C．75°
D．85°
(5题)
(6题)
(7题)
6、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是CB延长线上的点，BD＝BA，DE⊥AC于E，交AB于点F，若DC＝2.6，BF＝1，则AF的长为（　　）
A．0.6
B．0.8
C．1
D．1.6
7、如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且满足BF＝CD，BD＝CE，∠BFD＝30°，则∠FDE的度数为（　　）
A．75°
B．80°
C．65°
D．95°
8、如图，已知△的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形和△全等的图是（
）
A．甲和乙
B．乙和丙
C．只有乙
D．只有丙
(8题)
(9题)
9、已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④∠BAE＋∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
10、如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；
②；
③≌；④；⑤．其中正确的是（
）
A．①②
B．①③
C．①③④
D．①④⑤
(10题)
(11题)
(12题)
11、直角、如图放置，其中，且．若，，．则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
12、如图．从下列四个条件：①BC=B′C，②AC=A′C，③∠A′CA=∠B′CB，④AB=A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
13、如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　　）
A．3cm2
B．4.5cm2
C．5cm2
D．6cm2
14、程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ
②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ
③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ
④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ
其中所有正确结论的序号是(
)
A．②③
B．③④
C．②③④
D．①②③④
二、填空题
15、如图，，，只添加一个条件使，你添加的条件是_________．
(15题)
(16题)
16、要测量河两岸相对的两点A，B间的距离(AB垂直于河岸BF)，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再作出BF的垂线DE，且使A，C，E三点在同一条直线上，如图，可以得△EDC≌△ABC，所以ED＝AB．因此测得ED的长就是AB的长．判定△EDC≌△ABC的理由是____________．
17、如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中线，则由______可得△AFC≌△AEB．
(17题)
(18题)
(19题)
(20题)
18、尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP.
由作法得△OCP≌△ODP的根据是_________．
19、如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝　　．
20、如图所示，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=6，则AD的取值范围是__________
21、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝5，BD⊥AC于点D，点E在边AB上，且BE＝BC，过点E作EF⊥AB交BD延长线于点F，若EF＝12，则AE＝_____．
(21题)
(22题)
(23题)
(24题)
22、如图,在△ABE和△ACF中,EB交AC于点M,交FC于点D,AB交FC于点N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中,正确的是_________．(填序号)
23、已知中，，，点为的中点，点、分别为边、上的动点，且，连接，下列说法正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
①；②；③；④
24、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E、作QF⊥l于F，当点P运动
　
　秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．
三、解答题
25、如图，已知，，，，
试猜想与的位置关系并说明理由．
26、如图，已知在四边形ABCD中，E是AC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：∠5=∠6．
27、如图,已知线段AB,CD相交于点O,AD,CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC，
(1)试说明:∠A=∠C;
(2)在(1)的解答过程中,需要作辅助线,它的意图是什么?
28、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，
求证：CB＝CD．
29、已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.
(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由；
(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；
(3)归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.
30、在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE为多少？说明理由；
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？
请直接写出你的结论，不需证明．
第一章
阶段培优练习题（练习范围1.3--SAS、ASA、AAS、SSS）
2021-2022学年苏科版八年级数学上册
一、选择题
1、根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（
）
A．，，
B．，，
C．，
D．，，
【答案】B
【解析】A、不符合三角形三边之间的关系，不能作出三角形，错误；
B、符合全等三角形判定中的SSS，正确；
C、只有两个条件，不足以构成三角形，错误；
D、三个角不能画出唯一的三角形，错误，
故选B．
2、如图，点A，E，B，F在一条直线上，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝DE，要利用“SSS”来判定△ABC≌△FED时，下面4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE；可利用的是(
)
A．①或②
B．②或③
C．③或①
D．①或④
【答案】A
【解析】
试题解析：由题意可得，要用SSS进行△ABC和△FED全等的判定，需要AB=FE，
若添加①AE=FB，则可得AE+BE=FB+BE，即AB=FE，故①可以；
若添加AB=FE，则可直接证明两三角形的全等，故②可以,
若添加AE=BE，或BF=BE，均不能得出AB=FE，不可以利用SSS进行全等的证明，故③④不可以.
故选A.
3、如图，在△ABC和△DEF中，已有条件AB=DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（
）
A．∠B=∠E，BC=EF
B．∠A=∠D，BC=EF
C．∠A=∠D，∠B=∠E
D．BC=EF，AC=DF
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定定理对选项逐一进行判断即可.
【详解】添加∠B=∠E，BC=EF可用SAS判定两个三角形全等，故A选项不符合题意，
添加∠A=∠D，BC=EF是SSA，不能判定两个三角形全等，故B选项符合题意，
添加∠A=∠D，∠B=∠E可用ASA判定两个三角形全等，故C选项不符合题意，
添加BC=EF，AC=DF可用SSS判定两个三角形全等，故D选项不符合题意.
故选B.
4、如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是
A．∠A=∠C
B．AD=CB
C．BE=DF
D．AD∥BC
【答案】B
【解析】
试题分析：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF．∴AF=CE．
A．∵在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误．
B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确．
C．∵在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误．
D．∵AD∥BC，∴∠A=∠C．由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误．
故选B．
5、如图，AE=AF，AB=AC，EC与BF交于点O，∠A=60°，∠B=25°，则∠EOB的度数为（
）
A．60°
B．70°
C．75°
D．85°
【答案】B
【解析】
试题解析：
故选B.
6、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是CB延长线上的点，BD＝BA，DE⊥AC于E，交AB于点F，若DC＝2.6，BF＝1，则AF的长为（　　）
A．0.6
B．0.8
C．1
D．1.6
【分析】根据AAS证明△DBF与△ABC全等，利用全等三角形的性质解答即可．
【解析】∵DE⊥AC于E，∴∠FDB+∠C＝90°，
∵∠ABC＝90°，∴∠D+∠DFB＝90°，∴∠C＝∠BFD，
在△DBF与△ABC中，
∴△DBF≌△ABC（AAS），∴BF＝BC，
∵DC＝2.6，BF＝1，
∴AF＝AB﹣BF＝BD﹣BF＝DC﹣BF﹣BF＝2.6﹣1﹣1＝0.6，
故选：A．
7、如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且满足BF＝CD，BD＝CE，∠BFD＝30°，则∠FDE的度数为（　　）
A．75°
B．80°
C．65°
D．95°
【分析】由∠B＝∠C，∠A＝50°，利用三角形内角和为180°得∠B＝65°，∠FDB＝85°，再由BF＝CD，BD＝CE，利用SAS得到△BDF≌△CED，利用全等三角形对应角相等得到∠BFD＝∠CDE，利用三角形内角和即可得证．
【解析】∵∠B＝∠C，∠A＝50°,∴∠B＝∠C=×（180°﹣50°）＝65°，
∵∠BFD＝30°，∠BFD+∠B+∠FDB＝180°,
∴∠FDB＝85°
在△BDF和△CED中，
∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD＝∠CDE＝30°，
又∵∠FDE+∠FDB+∠CDE＝180°，
∴∠FDE＝180°﹣30°﹣85°＝65°．
故选：C．
8、如图，已知△的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形和△全等的图是（
）
A．甲和乙
B．乙和丙
C．只有乙
D．只有丙
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角．
【详解】解：如图：
图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和不全等；
在和中，?∴，
图乙符合定理，即图乙和全等；
在和中，∴，
图丙符合定理，即图丙和全等．
甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是：乙或丙．
故选：．
9、已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④∠BAE＋∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE；
②由△ABD≌△ACE得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°；
④由题意，∠BAE＋∠DAC=360°-∠BAC-∠DAE=180°．
【详解】
解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE，本选项正确；
②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD⊥CE，本选项正确；
③∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠ABD=∠ACE,
∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
④由题意，∠BAE＋∠DAC=360°-∠BAC-∠DAE=360°-90°-90°=180°，本选项正确；
故选D．
10、如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；
②；
③≌；④；⑤．其中正确的是（
）
A．①②
B．①③
C．①③④
D．①④⑤
【答案】C
【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE．
【详解】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴△ABD和△ACD面积相等，故①正确；
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；
在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；
∴∠F=∠DEC，∴BF∥CE，故④正确；
∵△BDF≌△CDE，∴CE=BF，故⑤错误，
正确的结论为：①③④，
故选：C．
11、直角、如图放置，其中，且．若，，．则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用AAS证明，再根据全等三角形的性质进行线段和差计算即可．
【详解】解：，，，，，
在与中，；
，，
∵，，，，∴
故选C．
12、如图．从下列四个条件：①BC=B′C，②AC=A′C，③∠A′CA=∠B′CB，④AB=A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】将条件进行组合后，利用三角形全等的判定进行判断即可.
【详解】①②③为条件，根据SAS，可判定；可得结论④；
①②④为条件，根据SSS，可判定；可得结论③；
①③④为条件，SSA不能证明,
②③④为条件，SSA不能证明,
最多可以构成正确结论2个，故选B.
13、如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　　）
A．3cm2
B．4.5cm2
C．5cm2
D．6cm2
【答案】B
【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出S△PBC=S△ABC，代入求出即可．
【详解】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，∴∠APB=∠EPB=90°，
在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP=PE，∴S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，
∴S△PBC=S△ABC=×9cm2=4.5cm2，
故选：B．
14、程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ
②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ
③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ
④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ
其中所有正确结论的序号是(
)
A．②③
B．③④
C．②③④
D．①②③④
【答案】C
【分析】分别在以上四种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，作出后可得答案．
【详解】如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，所以不唯一，所以①错误．
如下图，当∠PAQ=30°，PQ=9时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以②正确．
如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以唯一，所以③正确．
如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以④正确．
综上：②③④正确．
故选C．
二、填空题
15、如图，，，只添加一个条件使，你添加的条件是_________．
【答案】∠C=∠D或∠B=∠E或AB=AE
【分析】由已知∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，又有AC=AD，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．可根据判定定理ASA、SAS尝试添加条件．
【详解】（1）添加∠C=∠D．
∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，∴∠CAB=∠DAE，
在△ABC与△AED中，，∴△ABC≌△AED（ASA）；
（2）添加∠B=∠E．
∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
∴∠CAB=∠DAE，
在△ABC与△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS）；
（3）添加AB=AE，
∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，∴∠CAB=∠DAE，
在△ABC与△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），
故答案为：∠C=∠D或∠B=∠E或AB=AE．
16、要测量河两岸相对的两点A，B间的距离(AB垂直于河岸BF)，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再作出BF的垂线DE，且使A，C，E三点在同一条直线上，如图，可以得△EDC≌△ABC，所以ED＝AB．因此测得ED的长就是AB的长．判定△EDC≌△ABC的理由是____________．
【答案】ASA
【分析】由已知可以得到∠ABC=∠BDE=90°，又CD=BC，∠ACB=∠DCE，由此根据角边角即可判定△EDC≌△ABC．
【详解】∵BF⊥AB，DE⊥BD,∴∠ABC=∠BDE
又∵CD=BC，∠ACB=∠DCE,∴△EDC≌△ABC（ASA）
故答案为ASA
17、如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中线，则由______可得△AFC≌△AEB．
【答案】：SAS．
【解析】
【分析】由AB=AC，BE、CF是中线可知AE=AF，由∠A是公共角，AB=AC即可根据SAS证明△AFC≌△AEB．
【详解】∵BE、CF是中线，∴AF=AB，AE=AC，
∵AB=AC∴AE=AF，
∵AE=AF，∠A=∠A，AB=AC，∴△AFC≌△AEB（SAS）．
故答案为SAS
18、尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP.
由作法得△OCP≌△ODP的根据是_________．
【答案】SSS
【解析】
解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD．以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP．在△OCP和△ODP中，∵OC=OD，OP=OP，CP=DP，∴△OCP≌△ODP（SSS）．故答案为SSS．
19、如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝　　．
【分析】求出∠BAD＝∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2＝∠ABD＝30°，根据三角形的外角性质求出即可．
【解析】∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
20、如图所示，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=6，则AD的取值范围是__________
【答案】2＜AD＜4
【分析】此题要倍长中线，再连接，构造全等三角形．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【详解】
解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
在△ADC与△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB=AC，
根据三角形的三边关系定理：6-2＜AE＜6+2，
∴2＜AD＜4，
故AD的取值范围为2＜AD＜4．
21、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝5，BD⊥AC于点D，点E在边AB上，且BE＝BC，过点E作EF⊥AB交BD延长线于点F，若EF＝12，则AE＝_____．
【答案】7
【分析】由题意知：BD⊥AC，EF⊥AB，∠ADB＝∠FEB＝90°，∠A＝∠F，△ABC≌△FEB（AAS），
AB＝EF＝12，AE＝7．
【详解】解：∵BD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADB＝∠FEB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝∠F+∠FBE＝90°，∴∠A＝∠F，
在△ABC和△FEB中，
，∴△ABC≌△FEB（AAS），
∴AB＝EF＝12，
∵BE＝BC＝5，∴AE＝AB﹣BE＝7．
故填：7．
22、如图,在△ABE和△ACF中,EB交AC于点M,交FC于点D,AB交FC于点N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中,正确的是_________．(填序号)
【答案】①②③
【分析】∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF可得△ABE≌△ACF，三角形全等的性质BE=CF；∠BAE=∠CAF可得①∠1=∠2；由ASA可得△ACN≌△ABM．④CD=DN不成立．
【详解】解：∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF,∴△ABE≌△ACF,
∴BE=CF,
∠BAE=∠CAF
∠BAE-∠BAC=∠CAF-∠BAC,
∴∠1=∠2
△ABE≌△ACF,
∴∠B=∠C，AB=AC
又∠BAC=∠CAB,
△ACN≌△ABM．
④CD=DN不能证明成立，3个结论对．
故答案是：①②③
23、已知中，，，点为的中点，点、分别为边、上的动点，且，连接，下列说法正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
①；②；③；④
【答案】①②④
【分析】
根据补角的性质计算可得①；连接D，证明，根据三角形全等的性质判断可得后面的结果；
【详解】，
，
，
；故①正确；
连接AD，
∵，，∴，
又∵点为的中点，
∴，，，即，
又∵，∴，
又∵，∴，
在△BED和△AFD中，，∴，∴ED=FD；故②正确；
∵，∴，
则，故④正确；
当点E移动到点A时，此时点F与点C重合，很明显此时EF=AC，FC=0，即；故③错误；
故答案为①②④．
24、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E、作QF⊥l于F，当点P运动
　
　秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．
【解题思路】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出CP＝CQ，代入得出关于t的方程，解方程即可．
【解答过程】解：分为五种情况：
①如图1，P在AC上，Q在BC上，则PC＝6﹣t，QC＝8﹣3t，
∵PE⊥l，QF⊥l，∴∠PEC＝∠QFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PCE+∠QCF＝90°，∴∠EPC＝∠QCF，
∵△PCE≌△CQF，∴PC＝CQ，即6﹣t＝8﹣3t，t＝1；
②如图2，P在BC上，Q在AC上，则PC＝t﹣6，QC＝3t﹣8，
∵由①知：PC＝CQ，∴t﹣6＝3t﹣8，t＝1；t﹣6＜0，即此种情况不符合题意；
③当P、Q都在AC上时，如图3，CP＝6﹣t＝3t﹣8，t=；
④当Q到A点停止，P在BC上时，AC＝PC，t﹣6＝6时，解得t＝12．
⑤P和Q都在BC上的情况不存在，因为P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm；
答：点P运动1或或12秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以O、F、C为顶点的三角形全等．
故答案为：1或或12．
三、解答题
25、如图，已知，，，，
试猜想与的位置关系并说明理由．
【答案】．理由见解析
【解析】
试题分析：根据SSS证明△ABD≌△ACE，从而得∠BAD=∠CAE，再由∠CAD是公共角，从而可得∠DAE=∠BAC=90°，从而得到AD⊥AE.
试题解析：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，
在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SSS），∴∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD，
即∠DAE=∠BAC=90°，
∴AD⊥AE.
26、如图，已知在四边形ABCD中，E是AC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：∠5=∠6．
【答案】证明见解析
【分析】因为∠1=∠2，∠3=∠4，AC=CA，根据ASA易证△ADC≌△ABC，所以有DC=BC，又因为∠3=∠4，EC=CE，则可根据SAS判定△CED≌△CEB，故∠5=∠6．
【详解】
证明：∵，∴△ADC≌△ABC（ASA）．∴DC=BC．
又∵，∴△CED≌△CEB（SAS）．∴∠5=∠6．
27、如图,已知线段AB,CD相交于点O,AD,CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC，
(1)试说明:∠A=∠C;
(2)在(1)的解答过程中,需要作辅助线,它的意图是什么?
【答案】（1）见解析；（2）构造全等三角形.
【分析】（1）根据题意，没有证明两三角形全等的条件，所以要作条辅助线，连接OE；然后就可以利用SSS全等判定定理证明两三角形全等，继而∠A=∠C，本题即可证明；
（2）说明OE的意义即可.
【详解】(1)如图,连接OE.
在△EAO和△ECO中,,所以△EAO≌△ECO(SSS).
所以∠A=∠C(全等三角形的对应角相等).
(2)
在(1)的解答过程中,需要作辅助线,它的意图是构造全等三角形.
28、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，
求证：CB＝CD．
【分析】连接AC，先利用SSS证明△ACE≌△ACF，可得∠EAC＝∠FAC，再利用AAS证明△ACB≌△ACD即可得结论．
【解答】证明：如图，连接AC，
在△ACE和△ACF中，
∴△ACE≌△ACF（SSS），∴∠EAC＝∠FAC，
在△ACB和△ACD中，
∴△ACB≌△ACD（AAS），∴CB＝CD．
29、已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.
(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由；
(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；
(3)归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.
【答案】（1）见解析
（2）见解析
（3）BD=DE-CE
【解析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，利用了转化及等量代换的思想，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
（1）由BD垂直于AE，得到三角形ABD为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余得到一对角互余，再由∠BAC=90°，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，AB=AC，利用AAS可得出三角形ABD与三角形ACE全等，由全等三角形的对应边相等得到AD=CE，BD=AE，由AE=AD+DE，等量代换即可得证；
（2）当直线AE处于如图②的位置时，则BD、DE、CE的关系为BD=DE-CE，理由为：同（1）得出三角形ABD与三角形ACE全等，由全等三角形的对应边相等得到AD=CE，BD=AE，由AE=DE-AD等量代换即可得证；
（3）由（1）（2）总结得到当D、E位于直线BC异侧时，BD=DE+CE；当D、E位于直线BC同侧时，BD=DE-CE．
解：（1）证明：∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，
∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠EAC=90°,∴∠ABD=∠EAC，
在△ABD和△CAE中∵
∴△ABD≌△CAE（AAS）,∴AD=CE，BD=AE，
∵AE=AD+DE，∴BD=DE+CE；
（2）BD、DE、CE的关系为BD=DE-CE，理由为：
证明：在△ABD和△CAE中
△ABD≌△CAE（AAS）,∴AD=CE，BD=AE，
∵AE=DE-AD，∴BD=DE-CE；
（3）当D、E位于直线BC异侧时，BD=DE+CE；
当D、E位于直线BC同侧时，BD=DE-CE．
30、在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE为多少？说明理由；
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？
请直接写出你的结论，不需证明．
【答案】（1）90°；（2）①α＋β＝180°，理由见详解；②点D在直线BC上移动，α＋β＝180°或α＝β．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度数；
（2）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况画出图形，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论．
【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°；
（2）①α＋β＝180°，
理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC?∠DAC＝∠DAE?∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．
∴∠B＋∠ACB＝∠ACE＋∠ACB．
∵∠ACE＋∠ACB＝β，∴∠B＋∠ACB＝β，
∵α＋∠B＋∠ACB＝180°，∴α＋β＝180°；
②如图1：当点D在射线BC上时，α＋β＝180°，
连接CE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴∠BAC＋∠ACE＋∠ACB＝∠BAC＋∠BCE＝180°，
即：∠BCE＋∠BAC＝180°，∴α＋β＝180°，
如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．
连接BE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB＋∠BCE，
∴∠ABD＋∠ABC＝∠ACE＋∠ABC＝∠ACB＋∠BCE＋∠ABC＝180°，
∵∠BAC＝180°?∠ABC?∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE．∴α＝β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α＋β＝180°或α＝β．