2021-2022学年苏科版八年级数学上册1.3探索全等三角形的条件 综合强化提优(二）（word版、含解析）

2021-2022学期苏科版八年级数学上《1.3探索全等三角形的条件》综合强化提优(二）
（时间：90分钟
满分：120分）
一．选择题(每小题2分
共30分)
1．如图，已知∠1＝∠2，AD＝CB，AC，BD交于点O，MN经过点O，则图中全等三角形有(
)
A.
4对　
B.
5对
C.
6对　
D.
7对
　
第1题图
第2题图
第3题图
第4题图
2．如图，已知AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分的面积S是(
)
A.
50　
B.
62
C.
65　
D.
68
3.．如图，E是BC边上一点，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，AB＝BC，∠A＝∠CBD，AE与BD交于点O，有下列结论：①AE＝BD；②AE⊥BD；③BE＝CD；④△AOB的面积等于四边形CDOE的面积．其中正确的有(
)
A.
1个　
　B.
2个　
　C.
3个　
　D.
4个
4．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连结CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为(
)
A.
48°
B.
36°
C.
30°
D.
24°
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是(
)
A.
1对　　
B.
2对
C.
3对　　
D.
4对
第5题图
第6题图
第7题图
6．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点；再分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线AG交CD于点H.若∠C＝140°，则∠AHC的度数是(
)
A.
20°　　　B.
25°　　　C.
30°　　　D.
40°
7.如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF
②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有
(
)
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
8.已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是(
)
A．两条边长分别为4，5，它们的夹角为
B．三条边长分别是4，5，5
C．两个角是，它们的夹边为4
D．两条边长是5，一个角是
9．如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（　　）
A．△ABC与△ABD不全等
B．有两边分别相等的两个三角形不一定全等
C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
第9题图
第10题图
第11题图
第12题图
10．如图，使ΔABC≌ΔADC成立的条件是（
）
A．AB=AD，∠B=∠D
B．AB=AD，∠ACB=ACD
C．BC=DC，∠BAC=∠DAC
D．AB=AD，∠BAC=∠DAC
11.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积=12AC?BD，其中正确的结论有（　　）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
12．如图，已知：AC＝DF，AC∥FD，AE＝DB，判断△ABC≌△DEF的依据是（　　）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
13．如图，在一个宽度为长的小巷内，一个梯子的长为，梯子的底端位于上的点，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点处，点到的距离为，梯子的倾斜角为；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点处，点到的距离为，且此时梯子的倾斜角为，则的长等于（
）
A．
B．
C．
D．
第13题图
第14题图
第15题图
14．如图，四边形AFDC是正方形，和都是直角，且E，A，B三点共线，，则图中阴影部分的面积是（
）
A．12
B．10
C．8
D．6
15．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ
其中所有正确结论的序号是(
)
A．②③
B．③④
C．②③④
D．①②③④
二．填空题(每小题2分
共30分)
21．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为
．
第21题图
第22题图
第23题图
第25题图
22．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出______个．
23．如图，填空．(填SSS，SAS，ASA或AAS)．
(1)
已知BD=CE，CD=BE，利用
可以判定△BCD≌△CBE；
(2)
已知AD=AE，∠ADB=∠AEC，利用
可以判定△ABD≌△ACE；
(3)
已知OE=OD，OB=OC，利用
可以判定△BOE≌△COD；
(4)
已知∠BEC=∠CDB，∠BCE=∠CBD，利用
可以判定△BCE≌△CBD．
24．已知一个三角形的三边长分别是3，4，5，另一个三角形的三边长分别是a2－1，2a，a2
+
1，如果这两个三角形全等，则a=
25．在如图所示3×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样顶点均在格点上的三角形叫格点三角形，在图中画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画
__________个．
26．已知等腰三角形，，为边上一点，且和都是等腰三角形，则______．
27．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，已知DF∥BC，EF∥AB，请补充一个条件：________________________________________，使△ADF≌△FEC.
第27题图
第28题图
第29题图
第30题图
28．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，DE＝CE，AE＝4，则BE＝____．
29．如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，延长DP交OB于点F，延长EP交OA于点G，则图中有____对全等三角形，它们分别是．________________________________________，
30．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD长的取值范围是___________．
三．解答题（60分）
31．（6分）如图，△ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，∠A＝60°.
求证：CD＋BE＝BC.
32．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.试猜想CE与BD的数量关系，并说明理由．
33．（6分）如图，△ABC的角平分线BE，CF交于点O，那么点O到△ABC三边的距离相等．为什么？
34．（6分）有一块三角形厚铁板(如图)，根据需要，工人师傅要把∠MAN平分，现在他手边只有一把尺子(无刻度)和一根细绳，你能帮工人师傅想个办法吗？说说你的理由．
35．（8分）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为F，且AB＝ED.
(1)求证：BD＝CB.
(2)若BD＝8
cm，求AC的长．
36．（8分）如图，C，F是线段BE上的两点，△ABF≌△DEC，且AC＝DF.
(1)你在图中还能找到几对全等的三角形？并说明理由．
(2)∠ACE＝∠BFD吗？试说明你的理由．
37．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连结CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连结EF.
(1)求证：△BCD≌△FCE.
(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．
38.（12分）（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
教师样卷
一．选择题(每小题2分
共30分)
1．如图，已知∠1＝∠2，AD＝CB，AC，BD交于点O，MN经过点O，则图中全等三角形有(C)
A.
4对　
B.
5对
C.
6对　
D.
7对
【解】　△AOM≌△CON，△MOD≌△NOB，△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，△ABD≌△CDB，△ACD≌△CAB，共6对．
　
第1题图
第2题图
第3题图
第4题图
2．如图，已知AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分的面积S是(A)
A.
50　
B.
62
C.
65　
D.
68
【解】　∵EF⊥AC，BG⊥AC，∴∠EFA＝∠AGB＝90°，∠FEA＋∠EAF＝90°.
∵EA⊥AB，∴∠EAB＝90°，∴∠EAF＋∠GAB＝90°，∴∠FEA＝∠GAB.又∵AE＝BA，∴△EFA≌△AGB(AAS)，∴AF＝BG，EF＝AG.同理，△BGC≌△CHD，∴GC＝HD，BG＝CH，∴FH＝FA＋AG＋GC＋CH＝3＋6＋4＋3＝16，∴S阴影＝×(6＋4)×16－×3×4×2－×6×3×2＝50.
3.．如图，E是BC边上一点，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，AB＝BC，∠A＝∠CBD，AE与BD交于点O，有下列结论：①AE＝BD；②AE⊥BD；③BE＝CD；④△AOB的面积等于四边形CDOE的面积．其中正确的有(D)
A.
1个　
　B.
2个　
　C.
3个　
　D.
4个
【解】　易证△ABE≌△BCD(ASA)，可得AE＝BD，BE＝CD，S△ABE＝S△BCD，得S△ABE－S△BOE＝S△BCD－S△BOE，即S△AOB＝S四边形CDOE.
由∠A＝∠CBD，∠ABD＋∠CBD＝90°，可得∠A＋∠ABD＝90°，∴∠AOB＝90°，即AE⊥BD.
4．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连结CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为(A)
A.
48°
B.
36°
C.
30°
D.
24°
【解】　∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝24°，∴∠ABC＝48°.∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°－60°－48°＝72°.∵EF是BC的中垂线，∴BE＝CE，∠BEF＝∠CEF＝90°.
又∵EF＝EF，∴△BEF≌△CEF(SAS)，∴∠FCB＝∠FBC＝24°，∴∠ACF＝72°－24°＝48°.
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是(D)
A.
1对　　
B.
2对
C.
3对　　
D.
4对
【解】∵D是BC的中点，∴BD＝CD.又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BDO＝∠CDO＝90°.∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，AE＝CE.又∵OE＝OE，∴△AOE≌△COE(SSS)．∵BD＝CD，∠BDO＝∠CDO，OD＝OD，∴△BOD≌△COD(SAS)．∵AC＝AB，OA＝OA，OC＝OB，∴△AOC≌△AOB(SSS)．综上所述，共有4对全等三角形．
第5题图
第6题图
第7题图
6．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点；再分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线AG交CD于点H.若∠C＝140°，则∠AHC的度数是(A)
A.
20°　　　B.
25°　　　C.
30°　　　D.
40°
【解】　连结FG，EG.∵AB∥CD，∠C＝140°，∴∠CAB＝40°.由题意及作图步骤可知：AF＝AE，FG＝EG.又∵AG＝AG，∴△AFG≌△AEG(SSS)．∴∠FAG＝∠EAG＝20°.∴∠AHC＝∠EAG＝20°.
7.如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF
②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有
(
C
)
A．1组B．2组
C．3组D．4组
8.已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是(
D
)
A．两条边长分别为4，5，它们的夹角为
B．三条边长分别是4，5，5
C．两个角是，它们的夹边为4
D．两条边长是5，一个角是
9．如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（　　）
A．△ABC与△ABD不全等
B．有两边分别相等的两个三角形不一定全等
C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
【答案】D【详解】由题意可知：AB＝AB，AC＝AD，∠ABC＝∠ABD，满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是△ABC与△ABD不全等，
第9题图
第10题图
第11题图
第12题图
10．如图，使ΔABC≌ΔADC成立的条件是（
）
A．AB=AD，∠B=∠D
B．AB=AD，∠ACB=ACD
C．BC=DC，∠BAC=∠DAC
D．AB=AD，∠BAC=∠DAC
【答案】D【详解】A．AC=AC，AB=AD，∠B=∠D三个条件构成“边边角”，不能判定ΔABC≌ΔADC；B．AB=AD，AC=AC，∠ACB=∠ACD三个条件构成“边边角”，不能判定ΔABC≌ΔADC；C．BC=AD，AC=AC，∠BAC=∠DAC三个条件构成“边边角”，不能判定ΔABC≌ΔADC；D．AB=AD，∠BAC=∠DAC，AC=AC三个条件构成“边角边”，可以判定ΔABC≌ΔADC；故选D.
11.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积=12AC?BD，其中正确的结论有（　　）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【答案】B
12．如图，已知：AC＝DF，AC∥FD，AE＝DB，判断△ABC≌△DEF的依据是（　　）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
【答案】B【详解】：，∴，，，
，在△ABC和△DEF中
，故选．
13．如图，在一个宽度为长的小巷内，一个梯子的长为，梯子的底端位于上的点，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点处，点到的距离为，梯子的倾斜角为；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点处，点到的距离为，且此时梯子的倾斜角为，则的长等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】．D
【详解】过点C作CE⊥AD于点E，则CE//AB，
，且PD=PC，为等边三角形，，
，，
，，
，∴
，∴
，∴
，
，在和中，
，∴≌，，故选：D．
第13题图
第14题图
第15题图
14．如图，四边形AFDC是正方形，和都是直角，且E，A，B三点共线，，则图中阴影部分的面积是（
）
A．12
B．10
C．8
D．6
【答案】C【详解】四边形AFDC是正方形∴AC=AF，∠FAC=90°∴∠CAE+∠FAB=90°又∵∠CAE+∠ACE=90°∴∠ACE=∠FAB∵∠CEA=∠FBA=90°∴△AEC≌△FBA∴AB=EC=4∴图中阴影部分的面积=
故选C
15．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ
其中所有正确结论的序号是(
)
A．②③
B．③④
C．②③④
D．①②③④
【答案】．C【详解】如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，所以不唯一，所以①错误．
如下图，当∠PAQ=30°，PQ=9时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以②正确．
如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以唯一，所以③正确．如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以④正确．
综上：②③④正确．故选C．
二．填空题(每小题2分
共30分)
21．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为
．
【答案】4
第21题图
第22题图
第23题图
第25题图
22．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出______个．
【答案】．4
【解析】：如图，能画4个,分别是:以D为圆心,AB为半径画圆;以C为圆心,CA为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个）,分别于D、E连接后,可得到两个三角形；以D为圆心,AC为半径画圆;以E为圆心,AB为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个）,分别于D、E连接后,可得到两个三角形．因此最多能画出4个
23．如图，填空．(填SSS，SAS，ASA或AAS)．
(1)
已知BD=CE，CD=BE，利用
可以判定△BCD≌△CBE；
(2)
已知AD=AE，∠ADB=∠AEC，利用
可以判定△ABD≌△ACE；
(3)
已知OE=OD，OB=OC，利用
可以判定△BOE≌△COD；
(4)
已知∠BEC=∠CDB，∠BCE=∠CBD，利用
可以判定△BCE≌△CBD．
【答案】SSS
ASA
SAS
AAS
24．已知一个三角形的三边长分别是3，4，5，另一个三角形的三边长分别是a2－1，2a，a2
+
1，如果这两个三角形全等，则a=
．
【答案】2
25．在如图所示3×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样顶点均在格点上的三角形叫格点三角形，在图中画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画
__________个．
【答案】4
【详解】解：如下图所示：以AB为公共边的三角形有3个，以BC为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个，∴共有3+0+1=4个，故答案为：4个．
26．已知等腰三角形，，为边上一点，且和都是等腰三角形，则______．
【答案】45°或36°【详解】解：分两种情况：（1）如图，当AD＝BD，DC＝AD时，则BD＝CD．在△ADB与△ADC中，∵BD=CD，AD=AD，AB=AC，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADB＝90°，∴∠B＝45°；
（2）如图，当AB＝BD，CD＝AD时，则∠BAD＝∠BDA，∠C＝∠DAC．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝∠DAC，∠BAD＝∠BDA＝2∠C＝2∠B，∵∠B+∠C+∠BAD+∠DAC＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°．故答案为：45°或36°．
27．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，已知DF∥BC，EF∥AB，请补充一个条件：AF＝FC或DF＝EC或AD＝FE(答案不唯一)，使△ADF≌△FEC.
【解】　已知DF∥BC，EF∥AB，可得∠ADF＝∠ABC＝∠FEC，∠A＝∠EFC，∠AFD＝∠C，所以只需任意一组对应边相等，即可根据“ASA”来判定其全等．
第27题图
第28题图
第29题图
第30题图
28．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，DE＝CE，AE＝4，则BE＝__4__．
【解】　∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠AED＝∠2＋∠AED，即∠BED＝∠AEC.又∵DE＝CE，∠3＝∠4，∴△BED≌△AEC(ASA)．∴BE＝AE＝4.
29．如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，延长DP交OB于点F，延长EP交OA于点G，则图中有__4__对全等三角形，它们分别是△OEP≌△ODP，△OPF≌△OPG，△FPE≌△GPD，△ODF≌△OEG．
【解】　∵PE⊥OB，PD⊥OA，∴∠OEP＝∠ODP＝90°.∵OC平分∠BOA，∴∠EOP＝∠DOP.又∵OP＝OP，∴△OEP≌△ODP(AAS)，∴OE＝OD，EP＝DP，∠OPE＝∠OPD，
∴∠OPF＝∠OPG.又∵∠FOP＝∠GOP，OP＝OP，∴△OPF≌△OPG(ASA)，∴FP＝GP.
∵EP＝DP，∠FPE＝∠GPD，FP＝GP
∴△FPE≌△GPD(SAS)．∵∠FOD＝∠GOE，OD＝OE，∠ODF＝∠OEG＝90°，∴△ODF≌△OEG(ASA)．
30．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD长的取值范围是1【解】　延长AD至点E，使DE＝AD，连结CE.∵AC＋CE＞AE，且可证CE＝AB，∴AC＋AB＞2AD，∴AD＜7.∵AB－AC＜2AD，∴AD＞1.∴1＜AD＜7.
三．解答题（60分）
31．（6分）如图，△ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，∠A＝60°.
求证：CD＋BE＝BC.
【解】　在BC上取一点F，使BF＝BE，连结OF.∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠ABD＝∠CBD，∠ACE＝∠BCE.∵BE＝BF，∠EBO＝∠FBO，BO＝BO，∴△EBO≌△FBO(SAS)，∴∠EOB＝∠FOB.∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝120°，∴∠OBC＋∠OCB＝120°÷2＝60°，∴∠COB＝120°，∴∠EOB＝∠DOC＝60°，∴∠FOB＝∠EOB＝60°，∴∠FOC＝∠COB－∠FOB＝60°，∴∠FOC＝∠DOC.又∵OC＝OC，∠FCO＝∠DCO，
∴△OFC≌△ODC(ASA)，∴CD＝CF，∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.
32．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.试猜想CE与BD的数量关系，并说明理由．
【解】　CE＝BD.理由如下：延长CE交BA的延长线于点F.∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠EBF.∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEF＝90°.又∵BE＝BE，∴△BEC≌△BEF(ASA)，
∴CE＝FE＝CF.∵∠ABD＋∠ADB＝∠ACF＋∠CDE＝90°，∠ADB＝∠CDE，∴∠ABD＝∠ACF.又∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAF＝90°，∴△BAD≌△CAF(ASA)，∴BD＝CF，∴CE＝CF＝BD.
33．（6分）如图，△ABC的角平分线BE，CF交于点O，那么点O到△ABC三边的距离相等．为什么？
【解】　过点O作OG⊥BC，OH⊥AC，OI⊥AB，垂足分别为G，H，I.∵CF平分∠ACB，OG⊥BC，OH⊥AC，∴OG＝OH.∵BE平分∠ABC，OG⊥BC，OI⊥AB，∴OG＝OI，
∴OG＝OH＝OI，即点O到△ABC三边的距离相等．
34．（6分）有一块三角形厚铁板(如图)，根据需要，工人师傅要把∠MAN平分，现在他手边只有一把尺子(无刻度)和一根细绳，你能帮工人师傅想个办法吗？说说你的理由．
【解】　用绳子的一定长度分别在AM，AN上截取AB＝AC，再选取适当长度的绳子，将其对折，得到绳子的中点D，把绳子的两端固定在B，C两点，拽住绳子的中点D，向外拉直至BD和CD，再在铁板上找到点D的位置，作射线AD，则AD平分∠MAN.
理由：∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠MAN.
35．（8分）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为F，且AB＝ED.
(1)求证：BD＝CB.
(2)若BD＝8
cm，求AC的长．
【解】　(1)∵∠DBC＝90°，∴∠ABC＋∠DBF＝90°.∵DE⊥AB，∴∠EDB＋∠DBF＝90°，∴∠ABC＝∠EDB.在△EBD和△ACB中，∵∴△EBD≌△ACB(AAS)，∴BD＝CB.
(2)由(1)可知△EBD≌△ACB，∴EB＝AC.又∵E是BC的中点，∴EB＝BC，∴EB＝BD＝×8＝4(cm)，∴AC＝4
cm.
36．（8分）如图，C，F是线段BE上的两点，△ABF≌△DEC，且AC＝DF.
(1)你在图中还能找到几对全等的三角形？并说明理由．
(2)∠ACE＝∠BFD吗？试说明你的理由．
【解】　(1)还能找到2对全等三角形，分别是△ACF≌△DFC，△ABC≌△DEF.理由如下：
∵△ABF≌△DEC，∴AB＝DE，BF＝EC，AF＝DC(全等三角形的对应边相等)，∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF.在△ACF和△DFC中，∵∴△ACF≌△DFC(SSS)．在△ABC和△DEF中，∵∴△ABC≌△DEF(SSS)．
(2)∠ACE＝∠BFD.理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE(全等三角形的对应角相等)．∵∠ACB＋∠ACE＝180°，∠DFE＋∠BFD＝180°，∴∠ACE＝∠BFD(等角的补角相等)．
37．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连结CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连结EF.
(1)求证：△BCD≌△FCE.
(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．
【解】　(1)∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠ACD＝∠FCE.在△BCD和△FCE中，∵∴△BCD≌△FCE(SAS)．(2)∵△BCD≌△FCE，∴∠BDC＝∠E.
∵EF∥CD，∴∠E＝180°－∠DCE＝90°，∴∠BDC＝90°.
38.（12分）（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
解：（1）AF=BD.证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）.同理知，DC=CF，∠DCF=60°.∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即∠BCD=∠ACF.在△BCD和△ACF中，∴△BCD≌△ACF（SAS）.
∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）.
（2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF=BD（全等三角形的对应边相等），所以当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立.
（3）Ⅰ．AF+BF′=AB.证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF；
同理△BCF′≌△ACD，则BF′=AD.∴AF+BF′=BD+AD=AB；
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′.证明如下：在△BCF′和△ACD中，
∴△BCF′≌△ACD（SAS）.∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）.又由（2）知，AF=BD,∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．