2021-2022学年苏科版九年级数学上册2.3确定圆的条件培优训练（word版、含解析）

2.3确定圆的条件
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练
一、选择题
1、给出下列说法：
①经过三点一定可以作圆；
②任何一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，其中正确的有（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
2、一个三角形的外心在它的内部,则这个三角形一定是(
)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等边三角形
3、下列命题中正确的为__________．
A．三点确定一个圆
B．圆有且只有一个内接三角形
C．三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点
D．面积相等的三角形的外接圆是等圆
4、A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则(　　)
A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上
B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内
C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外
D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内
5、下面给出了“作外接圆”的步骤，但顺序需要进行调整．
正确的作图步骤应为（
）
A．②①④③
B．②①③④
C．①②③④
D．①③④②
6、如图，所示的正方形网格中，，，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是（
）
A．点
B．点
C．点
D．点
7、如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，0），则以A、B、C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（　　）
A．（3，2）
B．（2，3）
C．（1，3）
D．（3，1）
8、如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点A（﹣3，0）、点B（﹣1，2）、
点C（3，2），则△ABC的外心的坐标是（　　）
A．（0，﹣1）
B．（0，0）
C．（1，﹣1）
D．（1，﹣2）
9、如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，F是AC的中点，过点F作EF⊥AC交AB于点E，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（　　）
A．3π
B．4π
C．6π
D．9π
10、小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
二、填空题
11、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则其外接圆的直径为　　．
12、在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则△ABC的外接圆半径为　　．
13、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则其外接圆的直径为　
　．
14、在平面直角坐标系xOy中，A（5，6），B（5，2），C（3，0），△ABC的外接圆的圆心坐标为　
　．
15、如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是____．
16、平面直角坐标系内的三个点A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3），___
确定一个圆．
（填“能”或“不能”）
三、解答题
17、如图1，图2，在的方格上建立平面直角坐标系（小方格的单位长度为1），，，，，，都在格点上．
（1）请在图1中作出经过，，三点的圆，并求出圆的半径．
（2）请在图2中作出经过，，三点的圆，并求出圆的半径．
18、已知：在△ABC中，AB＝AC．
（1）求作：△ABC的外接圆，圆心为O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则⊙O的半径长为　
　．
19、已知：
求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上，
20、如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）圆心M的坐标为　
　；
（2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．
21、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）求⊙O的半径；
（2）若在同一平面内的⊙P也经过B、C两点，且PA＝2，请直接写出⊙P的半径的长．
2.3确定圆的条件
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练（有答案）
一、选择题
1、给出下列说法：
①经过三点一定可以作圆；
②任何一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，其中正确的有（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【分析】分别根据确定圆的条件、三角形的外接圆的性质及三角形外心的定义对各小题进行逐一判断即可.
【详解】①必须不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆,故本选项错误;
②根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆,故本选项正确;
③圆上有无数个点,任意连接3个点即是圆的一个内接三角形,故本选项错误;
④三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点,所以到三角形三个顶点的距离相等,故本选项正确.
故选C
2、一个三角形的外心在它的内部,则这个三角形一定是(
)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等边三角形
【答案】C
【解析】
试题分析：根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点即可判断.
一个三角形的外心在它的内部,则这个三角形一定是锐角三角形,故选C.
考点：三角形的外心
3、下列命题中正确的为__________．
A．三点确定一个圆
B．圆有且只有一个内接三角形
C．三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点
D．面积相等的三角形的外接圆是等圆
【答案】C
【解析】
试题分析：根据确定圆的条件，圆内接三角形的性质，三角形外接圆的性质依次分析各项即可判断。
A．不在一条直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
B．圆有无数个内接三角形，故本选项错误；
C．三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点，本选项正确；
D．面积相等的三角形的边长不一定相同，故无法确定外接圆的大小，故本选项错误；
故选C.
4、A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则(　　)
A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上
B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内
C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外
D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内
【答案】D
【分析】由已知可得AB+BC=AC，故可知可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆内．
【详解】∵A，B，C是平面内的三点，AB=2，BC=3，AC=5，
∴AB+BC=AC，∴可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆内．
故选D．
5、下面给出了“作外接圆”的步骤，但顺序需要进行调整．
正确的作图步骤应为（
）
A．②①④③
B．②①③④
C．①②③④
D．①③④②
【答案】D
6、如图，所示的正方形网格中，，，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是（
）
A．点
B．点
C．点
D．点
【分析】由的外接圆圆心在AB与BC的垂直平分线上，根据网格可知EG所在直线是AB的垂直平分线，BC的垂直平分线是点G所在直线即可．
【详解】解：∵，，三点均在格点上，连结BC，
∴的外接圆圆心在AB与BC的垂直平分线上，
由网格可知EG所在直线是AB的垂直平分线，
BC的垂直平分线是点G所在直线，
∴点G是的外接圆圆心．
故选择：C．
7、如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，0），则以A、B、C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（　　）
A．（3，2）
B．（2，3）
C．（1，3）
D．（3，1）
【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
【解析】根据垂径定理的推论，如图，
作弦AB、AC的垂直平分线，
交点O′即为三角形外接圆的圆心，
且O′坐标是（3，2）．
故选：A．
8、如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点A（﹣3，0）、点B（﹣1，2）、
点C（3，2），则△ABC的外心的坐标是（　　）
A．（0，﹣1）
B．（0，0）
C．（1，﹣1）
D．（1，﹣2）
【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【解析】∵点P到△ABC三个顶点距离相等，
∴点P是线段BC、AB的垂直平分线的交点，
由图可知，点P的坐标为（1，﹣2），
故选：D．
9、如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，F是AC的中点，过点F作EF⊥AC交AB于点E，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（　　）
A．3π
B．4π
C．6π
D．9π
解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC，
∵EF是AC的垂直平分线，∴点O是△ABC外接圆的圆心，
∵OA＝3，∴△ABC外接圆的面积＝πr2＝π×32＝9π．
故选：D．
10、小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
二、填空题
11、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则其外接圆的直径为　　．
【分析】根据三角形外心的性质可知，直角三角形的外心为斜边中点，斜边为直径，先由勾股定理求出斜边长，则可得出答案．
【解析】在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝3，
∵直角三角形的外心为斜边中点，
∴Rt△ABC的外接圆的直径为．
故答案为：．
12、在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则△ABC的外接圆半径为　　．
【分析】根据直角三角形的外接圆的直径就是斜边，求出斜边AB即可．
【解析】如图，⊙是△ABC的外接圆，
∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4，AB是⊙O的直径，
∴△ABC
的外接圆的半径为2，
故答案为：2．
13、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则其外接圆的直径为　
　．
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝3，
∴AB＝＝＝，
∵直角三角形的外心为斜边中点，
∴Rt△ABC的外接圆的直径为．
故答案为：．
14、在平面直角坐标系xOy中，A（5，6），B（5，2），C（3，0），△ABC的外接圆的圆心坐标为　
　．
【分析】作BC和AB的垂直平分线，它们的交点为△ABC的外接圆的圆心．
【解析】如图，P点为△ABC的外接圆的圆心，P点坐标为（1，4）．
故答案为（1，4）．
15、如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是____．
【答案】
【解析】如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．故答案为．
16、平面直角坐标系内的三个点A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3），___
确定一个圆．
（填“能”或“不能”）
【答案】不能
【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．
【详解】解：∵B（0，-3）、C（2，-3），∴BC∥x轴，
而点A（1，-3）与C、B共线，
∴点A、B、C共线，
∴三个点A（1，-3）、B（0，-3）、C（2，-3）不能确定一个圆．
故答案为：不能．
三、解答题
17、如图1，图2，在的方格上建立平面直角坐标系（小方格的单位长度为1），，，，，，都在格点上．
（1）请在图1中作出经过，，三点的圆，并求出圆的半径．
（2）请在图2中作出经过，，三点的圆，并求出圆的半径．
【答案】（1）画图见解析，半径；（2）画图见解析，半径．
【分析】（1）三角形的外接圆圆心在三边的垂直平分线上，据此画图计算；
（2）三角形的外接圆圆心在三边的垂直平分线上，据此画图计算．
【详解】解：（1）圆O'即为所求：
，
半径r＝；
（2）圆A即为所求：
，
半径r＝．
18、已知：在△ABC中，AB＝AC．
（1）求作：△ABC的外接圆，圆心为O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则⊙O的半径长为　
　．
【答案】（1）见解析；（2）5
【分析】
（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．
（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图⊙O即为所求．
（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．
由题意OE＝4，BE＝EC＝3，
在Rt△OBE中，OB＝＝5．
故答案为：5．
19、已知：
求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上，
【答案】见详解．
【解析】解：根据题意可知，先作∠A的角平分线，
再作线段BC的垂直平分线相交于O，
即以O点为圆心，OB为半径，作圆O，
如下图所示：
20、如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）圆心M的坐标为　
　；
（2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．
【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
（2）求出⊙M的半径，MD的长即可判断；
【解析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0）
故答案为：2，0．
（2）圆的半径
所以点D在⊙M内．
21、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）求⊙O的半径；
（2）若在同一平面内的⊙P也经过B、C两点，且PA＝2，请直接写出⊙P的半径的长．
【分析】（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OB、OC，根据勾股定理即可求解；
（2）分两种情况说明⊙P的半径的长．
【解析】（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OB、OC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，
∵OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上，即O在AD上，
∵BC＝4，∴BD=BC＝2，
∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2，
设OA＝OB＝r，则OD＝6﹣r．
∵在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，即（6﹣r）2+22＝r2．
解得r=，
即⊙O的半径为，
（2）当⊙P也经过B、C两点，
则设PB＝r，
PA＝2，则PD＝6﹣2＝4或6+2＝8，BD＝2，
所以⊙P的半径的长为2或2．