2021-2022学年苏科版九年级数学上册2.1圆-2.4圆周角（2）培优训练（word版、含解析）

2.1圆～2.4圆周角(2)
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练
一、选择题
1、若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），则点P与⊙A的位置关系是（　　）
A．P在⊙A上
B．P在⊙A内
C．P在⊙A外
D．不确定
2、下列有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧．其中错误的结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
3、P为⊙O内一点，，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（
）
A．5
B．6
C．8
D．10
4、如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是（　　）
A．60°
B．70°
C．80°
D．90°
(4题)
(5题)
(6题)
(7题)
5、如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么点在这条圆弧所在圆的（
）.
A．内部
B．外部
C．圆上
D．不能确定
6、如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（
）
A．95°
B．100°
C．105°
D．110°
7、如图，四边形内接于，、为其两条对角线，，，，连接，则的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
8、如图，△ABC内接于⊙O，将沿BC翻折，交AC于点D，连接BD，若∠BAC＝66°，则∠ABD的度数是（
）
A．66
B．44
C．46
D．48
(8题)
(9题)
(10题)
(11题)
9、如图，在中，直径，垂足为M．若，则的半径为（
）
A．0.2
B．2.6
C．2.4
D．4
10、如图，长为定值的弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），点E是CD的中点，过点C作CF⊥AB于F，若CD＝3，AB＝8，则EF的最大值是（　　）
A．
B．4
C．
D．6
二、填空题
11、如图，是的直径，弦于点E，若，，则的长为______．
12、如图，ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=_____．
(12题)
(13题)
(14题)
(16题)
13、如图，⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，，则AD+BC的值为_____．
14、如图所示，已知内接于，是的直径，于点D，连接，半径，连接于点F，若，则______．
15、已知直线l:y=x?4，点A(0,2)，点B(2,0)，设点P为直线l上一动点，当P的坐标为______时，过P，A，B三点不能作出一个圆.
16、如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为______．
17、已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，AB＝2，AC=2，则∠BAC＝　　．
18、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为　
(18题)
(19题)
(20题)
19、如图Rt△ABC中，点D为斜边AC上的一点（不与点A、C重合），BD＝4，过点A，B，D作⊙O，当点C关于直线BD的对称点落在⊙O上时，则⊙O的半径等于
　
　．
20、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，点D是AB的中点，点E是以点B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接AE，点F为AE的中点，则CF长度的最大值是
　
　．
三、解答题
21、如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为　
　；
（2）这个圆的半径为　
　；
（3）直接判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．点D（5，﹣2）在⊙M　
　（填内、外、上）．
22、如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE．
（1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数；
（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．
23、如图，已知在⊙O中，
，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．
24、如图，已知圆内接四边形ABDC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，AD为它的对角线．
求证：AD＝BD+CD．
25、如图,在☉O中,P为的中点,弦AD,PC互相垂直,垂足为M,BC分别与AD,PD相交于点E,N,连接BD,MN.
(1)求证:N为BE的中点.
(2)若☉O的半径为8,的度数为90°,求线段MN的长.
26、△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）如图①，求⊙O的半径；
（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求OE的长．
27、定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.
（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段
.
（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上)，请作出这个圆，并说明你的理由.友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（3）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连结BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由.若此时AB＝3，BD＝，求BC的长.
28、如图，等边三角形内接于，是上一动点，连接，，，延长到点，使，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）填空：①若，，则的长为____________；
②当的度数为_________时，四边形为菱形．
2.1圆～2.4圆周角(2)
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练（有答案）
一、选择题
1、若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），则点P与⊙A的位置关系是（　　）
A．P在⊙A上
B．P在⊙A内
C．P在⊙A外
D．不确定
【点拨】首先根据两点的坐标求得两点之间的距离，然后利用两点之间的距离和圆A的半径求得点与圆的位置关系．
【解析】解：∵A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），∴AP＝＝2，
∵⊙A的半径为5，
∴点P在⊙A的内部
故选：B．
2、下列有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧．其中错误的结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
解：①任意三点确定一个圆；错误，应该是不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；
③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；
故选：C．
3、P为⊙O内一点，，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（
）
A．5
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【分析】根据勾股定理和垂径定理即可求得．
【详解】解：在过点P的所有⊙O的弦中，
如图，当弦与OP垂直时，弦最短，
此时，
得其半弦长为4，则弦长是8，
故选：C．
4、如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是（　　）
A．60°
B．70°
C．80°
D．90°
解：∵点O为△ABC的外心，∠A＝40°，
∴∠A＝∠BOC，
∴∠BOC＝2∠A＝80°，
故选：C．
5、如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么点在这条圆弧所在圆的（
）.
A．内部
B．外部
C．圆上
D．不能确定
【分析】根据弦的中垂线的交点是弧所在圆的圆心，先确定圆心的位置，再求出半径，最后根据点和圆心的距离，判断点和圆的位置关系.
【详解】
如图，根据弦的中垂线的交点是弧所在圆的圆心，确定圆心为O，
∵
，∴点M在圆上，
故选C.
6、如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（
）
A．95°
B．100°
C．105°
D．110°
【答案】C
【解析】解：如图，连接OB，OC，
∵OA＝OB＝1，AB＝，∴OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
又∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝105°，故选：C．
7、如图，四边形内接于，、为其两条对角线，，，，连接，则的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵，，∴，，
∴．
∵，∴，∴．
∴，
∴．
∵，∴．
故选A．
8、如图，△ABC内接于⊙O，将沿BC翻折，交AC于点D，连接BD，若∠BAC＝66°，则∠ABD的度数是（
）
A．66
B．44
C．46
D．48
【答案】D
【分析】根据折叠的性质和圆内接四边形的性质得到∠A+∠BDC=180°，求得∠BDC的度数，再根据三角形的外角性质即可求得结果．
【解析】解：如图，补全翻折前的图形，点与点关于BC对称，∴，
∵四边形内接于⊙O，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
故选：D．
9、如图，在中，直径，垂足为M．若，则的半径为（
）
A．0.2
B．2.6
C．2.4
D．4
【答案】B
【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，根据垂径定理求出CM，根据勾股定理得出方程，求出即可．
【详解】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，
∵直径EF⊥CD，垂足为M，CD=2，∴CM=DM=1，
在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2=OM2+CM2，
R2=（5-R）2+1?，解得R=2.6．
故选：B．
10、如图，长为定值的弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），点E是CD的中点，过点C作CF⊥AB于F，若CD＝3，AB＝8，则EF的最大值是（　　）
A．
B．4
C．
D．6
【答案】B
【分析】如图，延长CF交⊙O于T，连接DT．利用三角形的中位线定理证明EF＝DT，当DT是直径时，EF的值最大．
【详解】解：如图，延长CF交⊙O于T，连接DT．
∵AB是直径，AB⊥CT，∴CF＝FT，
∵点E是CD中点，∴EF＝DT，
∴当DT是直径时，EF的值最大，最大值＝×8＝4，
故选：B．
二、填空题
11、如图，是的直径，弦于点E，若，，则的长为______．
【答案】1
【解析】解：∵是的直径，，∴，
∵，，∴，
∴，∴，
故答案为1．
12、如图，ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=_____．
【答案】
【解析】∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=∠BCD=90°.
∵∠BAC=120°，∴∠CAD=120°﹣90°=30°．∴∠CBD=∠CAD=30°.
又∵∠BAC=120°，∴∠BDC=180°﹣∠BAC=180°﹣120°=60°.
∵AB=AC，∴∠ADB=∠ADC.∴∠ADB=∠BDC=×60°=30°.
∵AD=6，∴在Rt△ABD中，.
在Rt△BCD中，.
13、如图，⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，，则AD+BC的值为_____．
【答案】10
【解析】解：作直径BE，连接DE，EC．
∵BE是直径，∴∠BDE＝∠BCE＝90°，∴BD⊥DE，
∵AC⊥BD，∴DE∥AC，
∴∠CDE＝∠ACD，∴＝，∴AD＝EC，
∵AD＝BC，∴EC＝BC，∴可以假设EC＝2k，BC＝3k，
∵BC2+EC2＝BE2，∴（3k）2+（2k）2＝（）2，
∴k＝2或﹣2（舍弃），
∴BC＝6，EC＝4，∴AD＝EC＝4，
∴AD+BC＝10，故答案为10．
14、如图所示，已知内接于，是的直径，于点D，连接，半径，连接于点F，若，则______．
【答案】
【解析】解：是的直径，，
，，，
，
，，，
，，
设，则，
，，，解得．．
，，，
，，
故答案为：．
15、已知直线l:y=x?4，点A(0,2)，点B(2,0)，设点P为直线l上一动点，当P的坐标为______时，过P，A，B三点不能作出一个圆.
【解析】设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A(0,2)，点B(2,0)，
∴，解得，∴y=?x+2.
解方程组，得，
∴当P的坐标为(3,?1)时，过P，A，B三点不能作出一个圆.故答案为(3,?1).
16、如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为______．
【答案】5
【分析】如图，设交于．解直角三角形求出，再在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，设交于．半径为，
，平分，，，
，
在中，则有，
解得，
故答案为：5．
17、已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，AB＝2，AC=2，则∠BAC＝　　．
【分析】当AB和AC在OA的两旁，连接OA、OB、OC，如图，先证明△OAB为等边三角形得到∠BAO＝60°，再利用勾股定理的逆定理证明△OAC为等腰直角三角形，则∠OAC＝45°，则∠BAC＝∠BAO+∠OAC＝105°；当AB和AC在OA的同旁，如图，AB′＝2，同理可得∠B′AC＝∠B′AO﹣∠OAC＝15°．
【解析】当AB和AC在OA的两旁，连接OA、OB、OC，如图，
∵AB＝OB＝OA＝2，∴△OAB为等边三角形，∴∠BAO＝60°，
∵OA＝2，OC＝2，AC=2，
∴OA2+OC2＝AC2，∴△OAC为等腰直角三角形，∴∠OAC＝45°，
∴∠BAC＝∠BAO+∠OAC＝60°+45°＝105°；
当AB和AC在OA的同旁时，如图，AB′＝2，
同理可得∠B′AC＝∠B′AO﹣∠OAC＝60°﹣45°＝15°；
综上所述，∠BAC的度数为15°或105°．
故答案为15°或105°．
18、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为　
解：连接CD，
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，
∵∠CAD＝30°，AD＝8，∴CD＝AD＝4，∴AC＝＝4，
故答案为：4．
19、如图Rt△ABC中，点D为斜边AC上的一点（不与点A、C重合），BD＝4，过点A，B，D作⊙O，当点C关于直线BD的对称点落在⊙O上时，则⊙O的半径等于
　
　．
解：当点C关于直线BD的对称点落在⊙O上时，
则==45,
,
故答案为：2．
20、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，点D是AB的中点，点E是以点B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接AE，点F为AE的中点，则CF长度的最大值是
　
　．
解：如图，延长AC到T，使得CT＝AC，连接BT，TE，BE．
∵AC＝CT，BC⊥AT，∴BA＝BT，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝3，
∴∠BAT＝60°，AC＝BC?tan30°＝3，
∴AB＝2AC＝6，∴△ABT是等边三角形，∴BT＝AB＝6，
∵AD＝BD＝BE，∴BE＝3，
∵ET≤BT+BE，∴ET≤9，∴ET的最大值为9，
∵AC＝CT，AF＝FE，∴CF＝ET，∴CF的最大值为．
故答案为：．
三、解答题
21、如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为　
　；
（2）这个圆的半径为　
　；
（3）直接判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．点D（5，﹣2）在⊙M　
　（填内、外、上）．
【分析】（1），利用网格特点，作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为M点，从而得到点M的坐标；
（2）利用两点间的距离公式计算出MA即可；
（3）先计算出DM，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点D与⊙M的位置关系．
【解析】（1）如图，圆心M的坐标为（2，0）；
（2）∵A（0，4），M（2，0），
即⊙M的半径为2；
（3）∵D（5，﹣2），M（2，0），
∵2，
∴点D在⊙M内．
故答案为（2，0）；2；内．
22、如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE．
（1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数；
（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．
【答案】（1）60°；（2）5．
【解析】解：（1）∵∠BOD＝2∠DEB，∠DEB＝30°，∴∠BOD＝60°，
∵OD⊥AB，∴＝，∴∠AOD＝∠BOD＝60°；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r?2，
∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r?2）2＋42＝r2，
解得：r＝5，即⊙O的半径长为5．
23、如图，已知在⊙O中，
，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】解：（1）连接BD，
∵，∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC；
（2）连接CD，
∵AD∥BC，∴∠EDF=∠CBF，
∵，∴BC=CD，∴BF=DF，又∠DFE=∠BFC，
∴△DEF≌△BCF（ASA），∴DE=BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，又BC=CD，
∴四边形BCDE是菱形．
24、如图，已知圆内接四边形ABDC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，AD为它的对角线．
求证：AD＝BD+CD．
【答案】见解析．
【解析】解：连接BC，
∠BAC＝60°，AB＝AC，
△ABC为等边三角形，
∠ABC＝∠ACB＝60°，
∠ADC＝∠ABC
∠ADB＝∠ACB
在AD上取点E、F，使DE＝DB、DF＝DC，连接BE、CF，
∴△BDE、△CDF为等边三角形，
∴∠DEB＝∠DFC＝60°，
∴∠AEB＝∠CFA＝120°，
又∠FAC+∠FCA＝∠DFC＝60°、∠FAC+∠EAB＝∠BAC＝60°，∴∠EAB＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，∵
,∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE＝CF，
∴AD＝DE+AE＝BD+FC＝BD+CD．
25、如图,在☉O中,P为的中点,弦AD,PC互相垂直,垂足为M,BC分别与AD,PD相交于点E,N,连接BD,MN.
(1)求证:N为BE的中点.
(2)若☉O的半径为8,的度数为90°,求线段MN的长.
解:(1)证明∵AD⊥PC,∴∠EMC=90°.
∵P为的中点,∴=,∴∠ADP=∠BCP.
∵∠CEM=∠DEN,∴∠DNE=∠EMC=90°=∠DNB.
∵=,∴∠BDP=∠ADP,
∴∠DEN=∠DBN,∴DE=DB,∴EN=BN,∴N为BE的中点.
(2)如图,连接OA,OB,AB,AC.
∵的度数为90°,∴∠AOB=90°.∵OA=OB=8,∴AB=8.
由(1)同理得AM=EM.∵EN=BN,∴MN是△AEB的中位线,
∴MN=AB=4.
26、△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）如图①，求⊙O的半径；
（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求OE的长．
【分析】（1）过A点作AH⊥BC于H，如图①，利用等腰三角形的性质得BH＝CH＝3，根据垂径定理的推论可判断点O在AH上，则利用勾股定理可计算出AH＝4，连接OB，设⊙O的半径为r，在Rt△OBH中利用勾股定理得到32+（4﹣r）2＝r2，然后解方程即可；
（2）作EF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到EH＝EF，利用面积法得到，所以EH=AH=，然后利用（1）得OH=，从而计算EH﹣OH得到OE的长．
【解析】（1）过A点作AH⊥BC于H，如图①，
∵AB＝AC，∴BH＝CH=BC＝3，即AH垂直平分BC，∴点O在AH上，
在Rt△ABH中，AH==4，
连接OB，设⊙O的半径为r，则OB＝r，OH＝AH﹣OA＝4﹣r，
在Rt△OBH中，32+（4﹣r）2＝r2，解得r=，即⊙O的半径为；
（2）作EF⊥AB于F，如图，
∵BD平分∠ABC，∴EH＝EF，
27、定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.
（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段
.
（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上)，请作出这个圆，并说明你的理由.友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（3）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连结BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由.若此时AB＝3，BD＝，求BC的长.
【解析】（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此AC是该损矩形的直径；
（2）
作图如图；
∵点P为AC中点，∴PA＝PC＝AC.
∵∠ABC=∠ADC=90°，∴BP＝DP＝AC，∴PA＝PB＝PC＝PD，
∴点A、B、C、D在以P为圆心，AC为半径的同一个圆上.
（3）∵菱形ACEF，∴∠ADC＝90°，AE＝2AD，FC＝2CD，∴四边形ABCD为损矩形，
∴由（2）可知，点A、B、C、D在同一个圆上.
∵AM平分∠BAD，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴AD＝CD，∴四边形ACEF为正方形.
∵点BD平分∠ABC，BD＝，∴点D到AB、BC的距离h为4，
∴＝6.
，
，，
∵，∴＋＝6＋2BC，
∴BC＝5或BC＝－3(舍去)，
∴BC＝5.
28、如图，等边三角形内接于，是上一动点，连接，，，延长到点，使，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）填空：①若，，则的长为____________；
②当的度数为_________时，四边形为菱形．
【答案】（1）证明见解析；（2）①3；②30°．
【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵∠CBD与∠CAD是所对的圆周角，∴∠CBD=∠CAD，
同理可得：∠ABC=∠ADC=60°，
∵∠ACE=∠CAD+∠ADC，∴∠ACE=∠ABC+∠CBD=∠ABD，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∴△ADE是等边三角形．
（2）①∵BD=CE=1，DE=CD+CE，CD=2，∴DE=3，
∵△ADE是等边三角形，∴AD=DE=3．
故答案为：3
②如图，连接OB、OC，
∵∠BAC和∠BOC分别是所对的圆周角和圆心角，∴∠BOC=2∠BAC=120°，
∵OB=OC，∴∠OCB=30°，
∵四边形为菱形，∴∠BCD=∠OCB=30°，
∵∠BAD和∠BCD都是所对的圆周角，∴∠BAD=∠BCD=30°，
∴当的度数为30°时，四边形为菱形．
故答案为：30°