2021-2022学年苏科版九年级数学上册2.4.1圆周角的概念与性质培优训练（word版、含解析）

2.4.1圆周角的概念与性质
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练
一、选择题
1、下面图形中的角，是圆周角的是（
）
A．B．C．
D．
2、如图，在⊙O中，若C是的中点，则图中与∠BAC相等的角有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3、如图，是⊙的直径，点在⊙上，连接，，若，则（
）
A．60°
B．56°
C．52°
D．48°
4、有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（　　）
A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
5、如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝64°，则∠OCB的度数是（　　）
A．24°
B．26°
C．28°
D．30°
6、如图,点A,B,C,D,E均在☉O上,∠BAC=15°,∠CED=30°,则∠BOD的度数为(　　)
A.45°
B.60°
C.75°
D.90°
7、如图，点，，在上，，，连接交于点，
则的度数是（
）
A．108°
B．109°
C．110°
D．112°
8、如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（
）
A．95°
B．100°
C．105°
D．110°
9、如图是电影院一个环形厅，弦是电影院厅的屏幕，在C处的视角为．经测量电影院这个厅的直径，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
10、如图，四边形内接于，、为其两条对角线，，，，连接，则的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
11、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=2，则⊙O的半径为（
）．
A．4
B．6
C．8
D．12
12、如图，四边形为⊙的内接四边形，若四边形为菱形，为（
）．
A．45°
B．60°
C．72°
D．36°
二、填空题
13、如图,A,B,C,D,E是☉O上的五个点,则所对的圆周角有　　个,分别为　　　　　　　　
,
它们之间的数量关系是　　　　,所对的圆心角有　个,为　　　　.
若∠BAC=35°,则∠BDC=　　　　°,∠BOC=　　　　°.?
14、如图，△ABC内接于圆O，∠A＝50°，则∠D等于　
　．
15、如图，、、、是上四点，为的中点，如果，则的度数为______°．
16、如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,∠AOC=120°,则∠CDB=
　°.?
17、如图，在中，半径于点H，若，则_______．
18、如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝64°，则∠OBC＝　
　°．
19、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径为　　．
20、如图,在菱形ABCD中,以点C为圆心,CB为半径作,与AB,AD分别交于点E,F,E,F恰好是的三等分点,连接DE,则∠AED=　　　　°.
三、解答题
21、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，点D是的中点．求∠ABD的度数．
22、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC＝4，∠A＝30°，求⊙O的直径．
23、如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2．
24、如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE．
（1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数；
（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．
25、如图，已知在⊙O中，
，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．
26、如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为弧BC的中点，过D作DF⊥AB于点E，交圆O于点F，交弦BC于点G，连接CD、BF
（1）求证：△BFG≌△DCG；
（2）若AC＝10，BE＝8，求BF的长
2.4.1圆周角的概念与性质
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练（有答案）
一、选择题
1、下面图形中的角，是圆周角的是（
）
A．B．C．
D．
【答案】B
【解析】圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，
观察四个选项可知，只有选项B中的角满足定义，
故选：B．
2、如图，在⊙O中，若C是的中点，则图中与∠BAC相等的角有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】解：∵点C是弧BD的中点，∴，
∴∠BAC=∠CAD，∠BAC=∠BDC，∠CAD=∠CBD，
∴∠CAD=∠BDC=∠CBD=∠BAC，
于是图中与∠BAC相等的角共有3个，
故选C．
3、如图，是⊙的直径，点在⊙上，连接，，若，则（
）
A．60°
B．56°
C．52°
D．48°
【答案】C
【分析】先说明OA=OC,进而得到∠BAC=∠OCA=26°，然后再根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：∵是⊙的直径，点在⊙上
∴OC=OA
∴∠BAC=∠OCA=26°
∴2∠BAC=52°．
故选C．
4、有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（　　）
A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【解析】如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°﹣65°＝115°．
故选：A．
5、如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝64°，则∠OCB的度数是（　　）
A．24°
B．26°
C．28°
D．30°
【答案】B
【分析】先根据圆周角定理得到∠BOC=128°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠OCB的度数．
【详解】∵∠A与∠BOC都对
，∴∠BOC＝2∠A＝2×64°＝128°，
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB＝（180°﹣128°）＝26°．
故选：B．
6、如图,点A,B,C,D,E均在☉O上,∠BAC=15°,∠CED=30°,则∠BOD的度数为(　　)
A.45°
B.60°
C.75°
D.90°
.[答案]
D　
7、如图，点，，在上，，，连接交于点，
则的度数是（
）
A．108°
B．109°
C．110°
D．112°
【答案】B
【分析】连接，由已知条件求得，由，得，继而求得，再根据三角形内角和性质，即可求得．
【详解】如解图，连接，，
∵，∴．
∵，∴．
∵，∴，
∴，
∴．
故选B．
8、如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（
）
A．95°
B．100°
C．105°
D．110°
【答案】C
【解析】解：如图，连接OB，OC，
∵OA＝OB＝1，AB＝，∴OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
又∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝105°，故选：C．
9、如图是电影院一个环形厅，弦是电影院厅的屏幕，在C处的视角为．经测量电影院这个厅的直径，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如解图，连接．∵，∴．
∵，∴．∴．
10、如图，四边形内接于，、为其两条对角线，，，，连接，则的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵，，∴，，
∴．
∵，∴，∴．
∴，
∴．
∵，∴．
故选A．
11、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=2，则⊙O的半径为（
）．
A．4
B．6
C．8
D．12
【答案】A
【解析】∵圆心角∠AOC与圆周角∠B所对的弧都为
，且∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°（在同圆或等圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半）．
又OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°（等边对等角和三角形内角和定理）．
∵OP⊥AC，∴∠AOP=90°（垂直定义）．
在Rt△AOP中，OP=2
，∠OAC=30°，
∴OA=2OP=4（直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半）．
∴⊙O的半径4．故选A．
12、如图，四边形为⊙的内接四边形，若四边形为菱形，为（
）．
A．45°
B．60°
C．72°
D．36°
【答案】B
【解析】∵四边形为菱形∴
连接
∵四边形为⊙的内接四边形，∴
∴，为等边三角形，∴
∴
，∴
故选：B．
二、填空题
13、如图,A,B,C,D,E是☉O上的五个点,则所对的圆周角有　　个,分别为　　　　　　　　
,
它们之间的数量关系是　　　　,所对的圆心角有　个,为　　　　.
若∠BAC=35°,则∠BDC=　　　　°,∠BOC=　　　　°.?
[答案]3　∠BAC,∠BEC,∠BDC　相等　1　∠BOC
35　70
14、如图，△ABC内接于圆O，∠A＝50°，则∠D等于　
　．
解：∵∠A与∠D所对的弧都是，
∴∠A＝∠D＝50°，
故答案为：50°．
15、如图，、、、是上四点，为的中点，如果，则的度数为______°．
【答案】25°
【分析】由于为的中点，可求得=，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠CBD的度数．
【详解】解：∵为的中点，∴=，
∴∠A=∠CBD＝25°
故答案为：25°．
16、如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,∠AOC=120°,则∠CDB=
　°.?
[解析]
∵∠BOC=180°-∠AOC=180°-120°=60°,∴∠CDB=∠BOC=30°.
17、如图，在中，半径于点H，若，则_______．
【答案】25
【分析】先利用垂直可得∠AOC和∠OAB互余，再利用圆周角定理可得结论．
【详解】解：∵半径于点H，若，
∴∠AOC=90°-∠OAB=90°-40°=50°，
∴，
故答案为：25．
18、如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝64°，则∠OBC＝　
　°．
【分析】连接OC，根据圆周角定理得求出∠BOC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解析】连接OC，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝128°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝（180°﹣128°）÷2＝26°，
故答案为：26．
19、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径为　　．
【分析】连接OA，OB，可得∠AOB＝90°，进而利用等腰直角三角形的性质解答即可．
【解析】如图，连接OA，OB，
∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OA＝OB=AB＝3，即⊙O的半径是3，
故答案为：3．
20、如图,在菱形ABCD中,以点C为圆心,CB为半径作,与AB,AD分别交于点E,F,E,F恰好是的三等分点,连接DE,则∠AED=　　　　°.
[解析]
连接BD,如图,设∠BDE的度数为x.
∵E,F恰好是的三等分点,∴∠EBD=2x,∠BCD=6x.∵CB=CD,
∴∠CBD=∠CDB=(180°-∠BCD)=(180°-6x)=90°-3x.
∵四边形ABCD为菱形,∴AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB,即2x=90°-3x,解得x=18°,
∴∠AED=∠EBD+∠BDE=2x+x=3x=54°.
三、解答题
21、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，点D是的中点．求∠ABD的度数．
【答案】∠ABD=102°．
【分析】根据∠CAB＝60°，可得，再由点D是的中点可得，由圆周角定理可知∠CBD＝30°，由此即可求出∠ABD的度数．
【详解】解：∠AOB＝96°，∴∠ACB＝48°，
∵∠CAB＝60°，∴∠ABC＝180°-∠ACB-∠CAB=72°，，
又∵点D是的中点，∴，
∴∠CBD＝30°，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝102°．
22、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC＝4，∠A＝30°，求⊙O的直径．
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，根据等边三角形的性质即可得到结论．
【解析】连接OB，OC，
∵∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，
∴OC＝BC＝4，∴⊙O的直径＝8．
23、如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2．
【答案】见解析
【解析】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；
（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，
而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
∵∠BAE=∠CBD，∴∠1=∠2．
24、如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE．
（1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数；
（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．
【答案】（1）60°；（2）5．
【解析】解：（1）∵∠BOD＝2∠DEB，∠DEB＝30°，∴∠BOD＝60°，
∵OD⊥AB，∴＝，∴∠AOD＝∠BOD＝60°；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r?2，
∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r?2）2＋42＝r2，
解得：r＝5，即⊙O的半径长为5．
25、如图，已知在⊙O中，
，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】解：（1）连接BD，
∵，∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC；
（2）连接CD，
∵AD∥BC，∴∠EDF=∠CBF，
∵，∴BC=CD，∴BF=DF，又∠DFE=∠BFC，
∴△DEF≌△BCF（ASA），∴DE=BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，又BC=CD，
∴四边形BCDE是菱形．
26、如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为弧BC的中点，过D作DF⊥AB于点E，交圆O于点F，交弦BC于点G，连接CD、BF
（1）求证：△BFG≌△DCG；
（2）若AC＝10，BE＝8，求BF的长
【答案】（1）见解析；（2）4．
【解析】解：（1）∵D是的中点，∴＝，
∵AB为⊙O的直径，DF⊥AB，∴＝，∴＝，∴BF＝CD，
又∵∠BFG＝∠DCG，∠BGF＝∠DGC，∴△BFG≌△DCG（AAS）；
（2）如图，连接OD交BC于点M，
∵D为的中点，∴OD⊥BC，∴BM＝CM，
∵OA＝OB，∴OM是△ABC的中位线，∴OM＝AC＝5，
∵＝，∴＝，∴OE＝OM＝5，∴OD＝OB＝OE+BE＝5+8＝13，
∴EF＝DE＝＝12，
∴BF＝＝＝4．