2021-2022学年苏科版九年级数学上册2.4.2圆周角与直径的关系培优训练（word版、含解析）

2.4.2圆周角与直径的关系
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练
一、选择题
1、如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，若，则的度数为
A．
B．
C．
D．
(1题)
(2题)
(3题)
(4题)
2、如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝58°，则∠ACB等于（　　）
A．32°
B．36°
C．48°
D．52°
3、如图,BD是☉O的直径,点A,C在☉O上,=,AC交BD于点G.若∠COD=126°,则∠AGB的度数为(　　)
A.99°
B.108°
C.110°
D.117°
4、如图，在中，为直径，为弦，已知，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
5、如图，是⊙的直径，是⊙上两点，若，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
（6）
（7）
（8）
6、如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC于点D,连接BD,BC,且AB=10,AC=8,则BD的长为
(　　)
A.2
B.4
C.2
D.4.8
7、如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是（
）
A．100°
B．105°
C．110°
D．120°
8、如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝．若∠CBA＝40°，则∠CBD的大小为（
）
A．50°
B．40°
C．25°
D．20°
9、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD是⊙O的直径，若AD＝3，则BC＝（　　）
A．2
B．3
C．3
D．4
(9题)
(10题)
10、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC．BO的延长线交AC于点D．若∠ABD＝23°．则∠A的度数为（
）
A．23°
B．32°
C．46°
D．60°
二、填空题
11、如图，BD是的直径，点A，C在上，，AC交BD于点G，若，
则________．
12、如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数为
　
　．
13、
如图,A,D是☉O上的两点,BC是直径,若∠D=32°,则∠OAC=
　　°.?
14、
如图,把三角尺的直角顶点O放在破损圆形玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M,N,量得OM=8
cm,ON=6
cm,则该圆形玻璃镜的半径是(　　)
A.cm
B.5
cm
C.6
cm
D.10
cm
15、如图,A是☉O上一点,BC是直径,AC=2,AB=4,点D在☉O上且平分,则DC的长为　　　　.?
16、如图，点B，D在上，且在直径的两侧，连结．若，，则等于_______．
17、如图，ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=_____．
18、如图所示，已知内接于，是的直径，于点D，连接，半径，连接于点F，若，则______．
三、解答题
19、如图，点、、、在⊙上，，，连接．
求证：是⊙的直径．
20、如图所示，AB是⊙O的直径，C为的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F，连接AC，
求证：AF＝CF．
21、如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P上．
（1）求⊙P的半径及圆心P的坐标；
（2）M为劣弧的中点，求证：AM是∠OAB的平分线．
22、如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB为直径的☉O交AC于点D,E是AB边上一点(点E不与点A,B重合),DE的延长线交☉O于点G,DF⊥DG,且交BC于点F,连接EF.
求证:(1)AE=BF;
(2)∠FEB=∠GDA.
23、如图，以的一边为直径的半圆与其它两边，的交点分别为，，且.
（1）试判断的形状，并说明理由.
（2）已知半圆的半径为5，，求的长.
24、如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．
（1）求证：△ACE≌△BCD．
（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半径．
（3）若点F为DE的中点，连接CF，FO，设CD＝a，BD＝b，求CF+FO．
（用含有a，b的代数式表示）
2.4.2圆周角与直径的关系
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练（有答案）
一、选择题
1、如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，若，则的度数为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，
∵∠A=40°，∴∠B=90°-∠A=50°．
故选C
2、如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝58°，则∠ACB等于（　　）
A．32°
B．36°
C．48°
D．52°
【分析】连接BD，根据圆周角定理的推论得到∠ABD＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ADB，根据圆周角定理解答即可．
【解析】连接BD，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，
∵∠BAD＝58°，∴∠ADB＝90°﹣58°＝32°，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB＝32°，
故选：A．
3、如图,BD是☉O的直径,点A,C在☉O上,=,
AC交BD于点G.若∠COD=126°,则∠AGB的度数为(　　)
A.99°
B.108°
C.110°
D.117°
[解析]
∵BD是☉O的直径,∴∠BAD=90°.∵=,∴∠B=∠D=45°.
∵∠DAC=∠COD=×126°=63°,∴∠AGB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°.
故选B.
4、如图，在中，为直径，为弦，已知，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由圆周角定理结合三角形内角和定理即可求出．
【详解】∵，∴．
∵AB为⊙O直径，∴．
∴．
故选C．
5、如图，是⊙的直径，是⊙上两点，若，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：连接AC、AD，∴∠ADC=∠ABC=40°
∵是⊙的直径∴∠ADB=90°
∴∠BDC=∠ADB-∠ADC=90°-40°=50°．故选C．
6、如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC于点D,连接BD,BC,且AB=10,AC=8,则BD的长为
(　　)
A.2
B.4
C.2
D.4.8
[解析]
∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵OD⊥AC,∴CD=AD=AC=4.
在Rt△CBD中,
7、如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是（
）
A．100°
B．105°
C．110°
D．120°
【答案】B
【分析】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB＝90°，∠ACD＝15°，即可求∠BCD的度数．
【详解】
解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠AOD＝30°，∴∠ACD＝15°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝105°，
故选：B．
8、如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝．若∠CBA＝40°，则∠CBD的大小为（
）
A．50°
B．40°
C．25°
D．20°
【答案】C
【分析】连接AC、AD，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，利用互余计算出∠BAC＝50°，然后利用圆周角定理得到∠CAD＝∠BAD＝∠CBD∠BAC．
【详解】解：连接AC、AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠CBA＝90°﹣40°＝50°，
∵＝，∴∠CAD＝∠BAD＝∠CBD＝∠BAC＝×50°＝25°．
故选：C．
9、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD是⊙O的直径，若AD＝3，则BC＝（　　）
A．2
B．3
C．3
D．4
解：过点O作OE⊥BC于点E，如图所示：
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
又∵对应圆周角为∠ACB和∠ADB，∴∠ACB＝∠ADB＝30°，
而BD为直径，∴∠BAD＝90°，
在Rt△BAD中，∠ADB＝30°，AD＝3，∴BD＝2，∴OB＝，
又∵∠ABD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣30°＝60°，∠ABC＝30°，∴∠OBE＝30°，
又∵OE⊥BC，∴△OBE为直角三角形，∴BE＝，
由垂径定理可得：BC＝2BE＝2×＝3，故C正确，
故选：C．
10、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC．BO的延长线交AC于点D．若∠ABD＝23°．则∠A的度数为（
）
A．23°
B．32°
C．46°
D．60°
【答案】C
【解析】解：延长交于点，连接，
则
故选：C．
二、填空题
11、如图，BD是的直径，点A，C在上，，AC交BD于点G，若，
则________．
【答案】108°．
【分析】根据圆周角定理得到∠BAD=90°，∠DAC=∠COD=63°，再由得到∠B=∠D=45°，然后根据三角形外角性质计算∠AGB的度数．
【详解】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，
∵，∴∠B=∠D=45°，
∵∠DAC=∠COD=×126°=63°，∴∠AGB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°．
故答案为：108°．
12、如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数为
　
　．
解：连接BD，如图．
∵AD为直径，∴∠ABD＝90°，
∵∠C与∠ADB所对的弧为，∴∠ADB＝∠C＝50°．
∴∠BAD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
13、
如图,A,D是☉O上的两点,BC是直径,若∠D=32°,则∠OAC=
　　°.?
[解析]
∵∠D=32°,∠D=∠ABC,∴∠ABC=32°.∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=90°,
∴∠BCA=90°-∠ABC=58°.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠OAC=58°.
14、
如图,把三角尺的直角顶点O放在破损圆形玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M,N,量得OM=8
cm,ON=6
cm,则该圆形玻璃镜的半径是(　　)
A.cm
B.5
cm
C.6
cm
D.10
cm
[答案]
B
15、如图,A是☉O上一点,BC是直径,AC=2,AB=4,点D在☉O上且平分,则DC的长为　　　　.?
[解析]
∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=∠D=90°.∵AC=2,AB=4,
∵点D在☉O上且平分,∴DC=BD.
在Rt△BDC中,DC2+BD2=BC2,∴2DC2=20,∴DC=.
16、如图，点B，D在上，且在直径的两侧，连结．若，，则等于_______．
【答案】70°
【解析】解：由题可知：
∵AC为直径，∴，
又∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，
∴，故答案：．
17、如图，ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=_____．
【答案】
【解析】∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=∠BCD=90°.
∵∠BAC=120°，∴∠CAD=120°﹣90°=30°．∴∠CBD=∠CAD=30°.
又∵∠BAC=120°，∴∠BDC=180°﹣∠BAC=180°﹣120°=60°.
∵AB=AC，∴∠ADB=∠ADC.∴∠ADB=∠BDC=×60°=30°.
∵AD=6，∴在Rt△ABD中，.
在Rt△BCD中，.
18、如图所示，已知内接于，是的直径，于点D，连接，半径，连接于点F，若，则______．
【答案】
【解析】解：是的直径，，
，，，
，
，，，
，，
设，则，
，，，解得．．
，，，
，，
故答案为：．
三、解答题
19、如图，点、、、在⊙上，，，连接．
求证：是⊙的直径．
【答案】见解析
【解析】：证明：连接BC．∵弧AD=弧DC，∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABD=45°，∴∠ABC=90°，∴AC是直径．
20、如图所示，AB是⊙O的直径，C为的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F，连接AC，
求证：AF＝CF．
【答案】见解析
【解析】
证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠ACF+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACF＝∠B，
∵C为的中点，∴，∴∠B＝∠CAE，
∴∠ACF＝∠CAE，∴AF＝CF．
21、如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P上．
（1）求⊙P的半径及圆心P的坐标；
（2）M为劣弧的中点，求证：AM是∠OAB的平分线．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，
∴线段AB是⊙P的直径，
∵A（0，﹣6），B（8，0），PA＝PB，
∴P（4，﹣3）．
（2）∵＝，
∴∠OAM＝∠MAB，
∴AM是∠OAB的平分线．
22、如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB为直径的☉O交AC于点D,E是AB边上一点(点E不与点A,B重合),DE的延长线交☉O于点G,DF⊥DG,且交BC于点F,连接EF.
求证:(1)AE=BF;
(2)∠FEB=∠GDA.
证明:(1)连接BD.如图.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,∴∠A=∠C=45°.
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,即BD⊥AC,∴BD=AD=CD,∴∠CBD=∠C=45°,
∴∠A=∠FBD.∵DF⊥DG,∴∠FDG=90°,∴∠FDB+∠BDG=90°.
又∵∠EDA+∠BDG=90°,∴∠EDA=∠FDB.
在△AED和△BFD中,
∴△AED≌△BFD(ASA),∴AE=BF.
(2)如图,连接BG.由(1)知△AED≌△BFD,∴DE=DF.
∵∠EDF=90°,∴△EDF是等腰直角三角形,∴∠DEF=45°.
∵∠G=∠A=45°,∴∠G=∠DEF,∴GB∥EF,∴∠FEB=∠EBG.
∵∠EBG=∠GDA,∴∠FEB=∠GDA.
23、如图，以的一边为直径的半圆与其它两边，的交点分别为，，且.
（1）试判断的形状，并说明理由.
（2）已知半圆的半径为5，，求的长.
【答案】（1）为等腰三角形．理由见解析；（2）．
【解析】用面积法计算出BD的值.
（1）为等腰三角形．理由如下：
连结，如图，
∵，∴，即平分，
∵为直径，∴，∴，
∴为等腰三角形；
（2）∵为等腰三角形，，∴，
在中，∵，，∴，
∵为直径，∴，∴，
∴
24、如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．
（1）求证：△ACE≌△BCD．
（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半径．
（3）若点F为DE的中点，连接CF，FO，设CD＝a，BD＝b，求CF+FO．
（用含有a，b的代数式表示）
解：（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥CD，∴∠ECD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（ASA）；
（2）∵△ACE≌△BCD，∴CE＝CD，AE＝BD，
∵CE⊥CD，∴△ECD是等腰直角三角形，
∵CD＝2，BD＝3，∴DE＝2，AE＝3，∴AD＝5，
∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝2，
∴⊙O的半径为；
（3）法一：过O作OH⊥AD于H，如图：
∵△ECD是等腰直角三角形，CD＝a，∴ED＝a，
∵F为DE的中点，∴CF＝DF＝DE＝a，
∵△ACE≌△BCD，∴AE＝BD＝b，∴AD＝ED+AE＝a+b，
∵OH⊥AD，∠ADB＝90°，∴OH∥BD，
∵AO＝OB，∴DH＝AD＝a+b，OH＝BD＝b，
∴HF＝DH﹣DF＝（a+b）﹣a＝b，
在Rt△OHF中，FO＝＝b，∴CF+FO＝a+b．
法二：延长AD至点H，使DH＝AE，连接BH，如图：
由（1）得△ACE≌△BCD，∴BD＝AE＝DH，
∵AB为直径，∴∠ADB＝∠BDH＝90°，∴△BDH为等腰直角三角形，
∵BD＝b，∴BH＝b，
∵△ECD是等腰直角三角形，CD＝a，∴ED＝a，CF＝a＝DF＝EF，
而DH＝AE，∴AE+EF＝DH+DF，即AF＝HF，∴F为AH中点，
∵O为AB中点，∴FO＝BH＝b，∴CF+FO＝a+b．