第二章 圆锥曲线与方程单元测试B-2021-2022学年高中数学人教A版选修2-1（Word含答案解析）

高中数学选修2-1《圆锥曲线与方程》
第二单元测试卷B
一、单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程是（　
）
A．
B．
C．
D．
（2）已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为（　
）
A．
B．
C．
D．
（3）如图所示，过抛物线的焦点的直线，交抛物线于点交其
准线于点，若,，则此抛物线的方程为（　
）
A．
B．
C．
D．
（4）圆上有且仅有两点到双曲线的
一条渐近线的距离为，则该双曲线离心率的取值范围是（　
）
A．
B．
C．
D．
（5）点在椭圆上，则的最大值为（　
）
A．
B．
C．
D．
（6）过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（　
）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
（7）在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于两点，则（　
）
A．的方程为
B．的离心率为
C．的渐近线与圆相切
D．满足的直线仅有条
（8）我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，
为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为
“黄金椭圆”的有（　
）
A．为等比数列
B．
C．轴，且
D．四边形的内切圆过焦点
三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分．
（9）设椭圆与双曲线有公共焦点，是两条曲线的一个公共点，则
．
（10）椭圆的左、右焦点分别为，顶点到的距离为，直线上存在点，使得为底角是的等腰三角形，则此椭圆方程为
．
（11）已知双曲线，过轴上点的直线与双曲线的右支交于两点（在第一象限），直线交双曲线左支于点（为坐标原点），连接．若，，则该双曲线的渐近线方程为
．
（12）已知椭圆的短轴长为，离心率为，设过右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，过作直线的垂线，垂足分别为．记，若直线的斜率，则的取值范围为
．
四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（13）已知双曲线的离心率为，且．
（I）求双曲线的方程；
（II）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的值．
（14）已知抛物线的焦点到直线的距离为．
（I）求抛物线的方程；
（II）如图，若，直线与抛物线相交于两点，与直线相交于点，且，求面积的取值范围．
（15）已知定点，圆，点为圆上动点，线段的垂直平分线交于点，记的轨迹为曲线．
（I）求曲线的方程；
（II）已知过点的动直线l与椭圆交于两点，试判断以为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．
高中数学选修2-1《圆锥曲线与方程》单元过关
平行性测试卷B参考答案
【答案】A
【解析】设与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为，又∵该双曲线过点，
∴，即，即为所求双曲线方程，故选A．
【答案】A
【解析】直线的斜率为，过的左焦点和下顶点的直线与平行，∴，又∴∴∴，故选A．
【答案】C
【解析】分别过点作准线的垂线，垂足分别为，设，由抛物线定义，得，则．在中，，则∴，解得∵，∴，即，即抛物线方程为，故选C．
【答案】C
【解析】双曲线的一条渐近线为，圆，圆心，半径，因为圆上有且仅有两点到的距离为∴圆心到的距离的范围为，
即，而∴，即，故选C．
【答案】B
【解析】∵点在椭圆上∴设
∴不妨令，则
∴原式，则最大值为，故选B．
【答案】C
【解析】根据题意，可知抛物线的焦点为，则直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为，代入过抛物线得．由根与系数的关系得∴
又直线的方程为，同理，
∴
∴∴．过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得．
∴，当三点共线时等号成立，故选C．
【答案】AC
【解析】设点，由已知得，整理得，所以点的轨迹为曲线的方程为，故A正确；又离心率，故B不正确；圆的圆心到曲线的渐近线为的距离为，又圆的半径为，故C正确；
直线与曲线的方程联立整理得，
设，
，且，
有∴，
要满足，则需，解得，此时，而曲线上，故D不正确，故选AC．
【答案】BD
【解析】∵椭圆∴，对于A，若，则，∴∴，不满足条件，故A错误；
对于B，∴∴∴∴
解得或（舍去），故B正确；
对于C，轴，且，∴∵∴，解得，
∵∴∴不符题意，故C错误；
对于D，四边形的内切圆的半径为，∴∴∴
解得或（舍去），∴，符合题意，故D正确，故选BD．
【答案】
【解析】由题意得．设是两条曲线在第一象限内的交点，则，解得．在中，．
【答案】
【解析】∵顶点到的距离为∴∵为底角是的等腰三角形
∴∴∴∴椭圆方程为．
【答案】
【解析】由题意可知关于原点对称，∴，
又由，则∴∴渐近线方程为．
【答案】
【解析】∵椭圆的短轴长为，离心率为，
∴，解得，∴椭圆．∵过右焦点的直线过椭圆交于不同的两点，
设直线的方程为,联立得
设，则
，
∵∴当时，当时，，
∴实数的取值范围是．
【答案】（I）；（II）.
【解析】（I）由题意得解得∴双曲线方程为．
（II）设，的中点，联立得，
则，，，
∵点在圆上∴∴．
【答案】（I）；（II）.
【解析】（I）抛物线的焦点坐标为，
∵焦点到直线的距离为∴∴∴抛物线的方程为．
（II）由题意可设，直线，
联立得．
∵与抛物线相交于两点∴
设，则.
∵∴是线段的中点∴∴代入解得．
又∴∴∴或∴直线的方程为．
点到直线的距离，又
∴
∴．令，则．
∵或∴∴∴∴面积的取值范围为.
【答案】（I）；（II）.
【解析】（I）由中垂线的性质得∴
∴动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆．
设曲线的方程为，则，∴曲线的方程为．
（II）当直线的斜率为时，令，则，此时以为直径的圆的方程为，
当直线的斜率不存在时，以为直径的圆的方程为，
联立解得，即两圆过点，猜想以为直径的圆恒过定点．
对一般情况证明如下：
设过点的直线的方程为与椭圆交于，
联立得∴．
∵
∴
∴存在以为直径的圆恒过定点，且定点的坐标为．