第三章 空间向量与立体几何单元测试B-2021-2022学年高中数学人教A版选修2-1（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 第三章 空间向量与立体几何单元测试B-2021-2022学年高中数学人教A版选修2-1（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 684.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-14 09:06:32 | ||
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文档简介
高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》
第三单元测试卷B
一、单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知a，b，c，若ab，则|bc|（
）
A．
B．
C．
D．
（2）已知点，，为线段上一点且，则（
）
A．
B．
C．
D．
（3）在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，
若a，b，c，则（
）
A.abc
B.abc
C.abc
D.abc
（4）已知正四面体的棱长为，点分别是的中点，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
（5）如图所示，已知平行六面体中，，，，为的中点，则长度为（
）
A．
B．
C．
D．
（6）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点
在底面上（包括边界）移动，且满足，则线段的长度
的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
（7）如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．平面的法向量和平面的法向量互相垂直
（8）如图，在正方体中，点在线段上运动，则（
）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分．
（9）若，，三点共线，则
．
（10）若向量a，b，且a与b的夹角的余弦值为，则实数的值为
．
（11）已知向量a，b，若,，则向量ab的概率为
．
（12）已知点为棱长等于的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角大小为
．
四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（13）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．
（I）证明：平面平面；
（II）过的平面交于点，若平面把四面体
分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．
（14）如图，在直四棱柱中，，，，分别为的中点，．
（I）证明：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
（15）如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点．
（I）求证：平面；
（II）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角
的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》单元过关
平行性测试卷B参考答案
【答案】A
【解析】∵ab∴解得
∴b，c∴bc∴|bc|，故选A．
【答案】C
【解析】∵为线段上一点，且∴
∴，故选C．
【答案】C
【解析】
abc
，故选C．
【答案】A
【解析】如图，四面体是正四面体，
四面体的每个面都是正三角形，且相对的棱相互垂直，且棱长为，
又点分别是的中点∴
∴，故选A．
【答案】B
【解析】∵，
∴
，所以，故选B．
【答案】D
【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系．
设，则
∵∴∴a＋2b?2＝0，
∴点P的轨迹是一条线段
由二次函数的性质可得当时，可取到最大值9，∴线段P的长度的最大值为3，故选D．
【答案】BC
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系
设折叠前的等腰直角三角形的斜边，则
，则．
从而有，故A错误；，故B正确；，故C正确；易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，令，
则，∴，n，故D错误，故选BC．
【答案】ABD
【解析】对于选项A，连接,由正方体可得,且平面,则,∴平面,故；同理，连接，易证得,则平面,故A正确；对于选项B，，因为点在线段上运动,所以，面积为定值，且到平面的距离即为到平面的距离，也为定值，故体积为定值，故B正确；
对于选项C，当点与线段的端点重合时,与所成角取得最小值为，故C错误；
对于选项D，∵直线平面,所以若直线与平面所成角的正弦值最大,则直线与直线所成角的余弦值最大，则运动到中点处,即所成角为,设棱长为1，在中，，故D正确，故选ABD．
【答案】
【解析】由题意，∵∴
∵三点共线，∴∴
∴∴∴．
【答案】
【解析】根据公式，
∴，且
解得：（舍）或．
【答案】
【解析】若,，则满足条件的b向量共有4×3=12个，
若向量ab，则，故满足条件的b向量共有两个，故向量ab的概率．
【答案】
【解析】由题意得，取中点，
则，
∵∴在以为球心的球面上∴
∵，∴∴与的夹角为．
【答案】（I）见解析（II）
【解析】（I）由题设可得，，从而．又是直角三角形，所以．
取的中点，连接，则．又由于是正三角形，故．
所以为二面角的平面角．在中，．
又，所以，故．所以平面平面．
（II）由题设及（I）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．则．
由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的中点，得．故．
设n是平面的法向量，则，即，可取n．
设m是平面的法向量，则，同理可取m．
则．所以二面角的余弦值为．
【答案】（I）见解析（II）
【解析】（I）连接，易知侧面为矩形，
为的中点，为的中点
为的中点，
平面，平面
平面
（II）在平面中，过点作，易知平面，故以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，
设平面的法向量为n
则，即，可取n．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【答案】（I）见解析（II）存在，或
【解析】（I）由题意，∴
又∴∵侧面∴．
又∵，平面∴直线平面．
（II）以为原点，分别以的方向为和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则有
假设存在点，设，∵
∴∴∴
设平面的一个法向量为m，
则，得，即
∴或，∴或．
第三单元测试卷B
一、单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知a，b，c，若ab，则|bc|（
）
A．
B．
C．
D．
（2）已知点，，为线段上一点且，则（
）
A．
B．
C．
D．
（3）在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，
若a，b，c，则（
）
A.abc
B.abc
C.abc
D.abc
（4）已知正四面体的棱长为，点分别是的中点，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
（5）如图所示，已知平行六面体中，，，，为的中点，则长度为（
）
A．
B．
C．
D．
（6）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点
在底面上（包括边界）移动，且满足，则线段的长度
的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
（7）如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．平面的法向量和平面的法向量互相垂直
（8）如图，在正方体中，点在线段上运动，则（
）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分．
（9）若，，三点共线，则
．
（10）若向量a，b，且a与b的夹角的余弦值为，则实数的值为
．
（11）已知向量a，b，若,，则向量ab的概率为
．
（12）已知点为棱长等于的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角大小为
．
四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（13）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．
（I）证明：平面平面；
（II）过的平面交于点，若平面把四面体
分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．
（14）如图，在直四棱柱中，，，，分别为的中点，．
（I）证明：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
（15）如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点．
（I）求证：平面；
（II）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角
的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》单元过关
平行性测试卷B参考答案
【答案】A
【解析】∵ab∴解得
∴b，c∴bc∴|bc|，故选A．
【答案】C
【解析】∵为线段上一点，且∴
∴，故选C．
【答案】C
【解析】
abc
，故选C．
【答案】A
【解析】如图，四面体是正四面体，
四面体的每个面都是正三角形，且相对的棱相互垂直，且棱长为，
又点分别是的中点∴
∴，故选A．
【答案】B
【解析】∵，
∴
，所以，故选B．
【答案】D
【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系．
设，则
∵∴∴a＋2b?2＝0，
∴点P的轨迹是一条线段
由二次函数的性质可得当时，可取到最大值9，∴线段P的长度的最大值为3，故选D．
【答案】BC
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系
设折叠前的等腰直角三角形的斜边，则
，则．
从而有，故A错误；，故B正确；，故C正确；易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，令，
则，∴，n，故D错误，故选BC．
【答案】ABD
【解析】对于选项A，连接,由正方体可得,且平面,则,∴平面,故；同理，连接，易证得,则平面,故A正确；对于选项B，，因为点在线段上运动,所以，面积为定值，且到平面的距离即为到平面的距离，也为定值，故体积为定值，故B正确；
对于选项C，当点与线段的端点重合时,与所成角取得最小值为，故C错误；
对于选项D，∵直线平面,所以若直线与平面所成角的正弦值最大,则直线与直线所成角的余弦值最大，则运动到中点处,即所成角为,设棱长为1，在中，，故D正确，故选ABD．
【答案】
【解析】由题意，∵∴
∵三点共线，∴∴
∴∴∴．
【答案】
【解析】根据公式，
∴，且
解得：（舍）或．
【答案】
【解析】若,，则满足条件的b向量共有4×3=12个，
若向量ab，则，故满足条件的b向量共有两个，故向量ab的概率．
【答案】
【解析】由题意得，取中点，
则，
∵∴在以为球心的球面上∴
∵，∴∴与的夹角为．
【答案】（I）见解析（II）
【解析】（I）由题设可得，，从而．又是直角三角形，所以．
取的中点，连接，则．又由于是正三角形，故．
所以为二面角的平面角．在中，．
又，所以，故．所以平面平面．
（II）由题设及（I）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．则．
由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的中点，得．故．
设n是平面的法向量，则，即，可取n．
设m是平面的法向量，则，同理可取m．
则．所以二面角的余弦值为．
【答案】（I）见解析（II）
【解析】（I）连接，易知侧面为矩形，
为的中点，为的中点
为的中点，
平面，平面
平面
（II）在平面中，过点作，易知平面，故以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，
设平面的法向量为n
则，即，可取n．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【答案】（I）见解析（II）存在，或
【解析】（I）由题意，∴
又∴∵侧面∴．
又∵，平面∴直线平面．
（II）以为原点，分别以的方向为和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则有
假设存在点，设，∵
∴∴∴
设平面的一个法向量为m，
则，得，即
∴或，∴或．