第一单元导数及其应用习题B-2020-2021学年高中数学人教A版选修2-2（Word含答案解析）

高中数学选修2-2《函数与导数》
第一单元测试卷B卷
一．单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）若函数的单调递增区间是（
）
A．
B．
C．
D．
（2）已知函数是奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
（3）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
（4）已知函数在内有极小值，则b的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
（5）已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋<0，若a＝f()，b＝－f(－)，c＝(ln
)f(ln
)，则a，b，c的大小关系正确的是（
）
A．aB．bC．aD．c（6）已知函数，若，都有恒成立，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
二．多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
(7)
设函数，则下列说法正确的是（
）
A．时，图象位于轴下方
B．存在单调递增区间
C．有且仅有两个极值点
D．在区间上有最大值
(8)已知，则下列说法正确的是(?
?
?
?
)
A．的零点个数为
B．的极值点个数为
C．轴为曲线的切线
D．若，则
填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分．
（9）已知函数的导函数为，且
，则的解集为______．
（10）已知a≥0，若函数f(x)＝在[－1,1]上的最大值为2，则实数a的值为______．
（11）若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln
x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝______．
（12）已知直线y＝a分别与直线，曲线交于点A，B，则线段AB长度的最小值为______．
四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（13）（本小题满分16分）
若函数的图象在处的切线方程为.
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围.
(14)（本小题满分18分）
设函数，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）若曲线在y轴上的截距为，且在点处的切线垂直于，求实数a，b的值；
（Ⅱ）记的导函数为，求在区间上的最小值．
（15）（本小题满分18分）
已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数在区间上存在两个不同零点，求实数的取值范围.
高中数学选修2-2《函数与导数》单元过关
形成性测试卷B卷参考答案
一．单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）若函数的单调递增区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】定义域是，，
当时，或（舍），
函数的单调递增区间是，故选D.
（2）已知函数是奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵函数是奇函数，且当时，，
令，则，∴，
又∵，∴当，
∴
，则，
而，∴切点为，
∴切线方程为，故选D.
（3）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵，在内恒成立，∴，
∵，∴，∴，∴，故选D．
（4）已知函数在内有极小值，则b的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】的导数为，
∵函数在内有极小值，
∴在内有零点，则，即，且，
，实数的取值范围是，故选B.
（5）已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋<0，若a＝f()，b＝－f(－)，c＝(ln
)f(ln
)，则a，b，c的大小关系正确的是（
）
A．aB．bC．aD．c【答案】B
【解析】令g(x)＝xf(x)，则g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，
∴g(x)是偶函数．g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∵f′(x)＋<0，∴当x>0时，xf′(x)＋f(x)<0，
当x<0时，xf′(x)＋f(x)>0.∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．
∵2<1<，∴g()2)∵g(x)是偶函数，∴g(－)＝g()，g(ln
)＝g(ln
2)，
∴g(－))（6）已知函数，若，都有恒成立，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】若，都有恒成立，则.
令
得
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
.
又
故实数的取值范围为.
故选C
二．多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
(7)
【答案】A,B
【解析】解：∵
可得定义域为；
由，得，
令，则，
令，则，
∴
当时，，当时，，
①当时，，
即，∴
在上单调递减，
∵
时，，
∴
当时，图象在轴下方，故A正确；
②当时，，∴
，又，
∴
存在使，
∴
当时，，当时，，
∴
在上单调递减，在上单调递增，故正确，和错误．
故选A,B．
(8)【答案】B,C
【解析】解：由题意得：，
令，即，
解得：，，.
令，，
画出，图象如下：
由图象可得：
当或时，，
即函数在区间，上为增函数；
当或时，，
即函数在区间，上为减函数.
又，，，
所以函数有两个零点分别为，，故选项错误；
函数在，处取极大值，在处取极小值，
故函数有个极值点，故选项正确；
由于，且，
则函数在处的切线方程为：，
即轴为曲线的切线，故选项正确；
若时，易知存在成立，
显然，故选项错误.
故选.
填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分．
（9）已知函数的导函数为，且
，则的解集为______．
【答案】
【解析】设，∵，∴，
∵，∴在上是减函数,且，
∴的解集即是的解集，∴.
（10）已知a≥0，若函数f(x)＝在[－1,1]上的最大值为2，则实数a的值为______．
【答案】1
【解析】求导数可得，f′(x)＝，
令f′(x)＝0，可得x＝－1或x＝a，
∴f(－1)＝0，f(a)＝1＋，f(1)＝，
若1＋＝2，则有a＝1；若＝2，则也有a＝1，
综上a＝1.
（11）若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln
x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝______．
【答案】1－ln
2
【解析】设y＝kx＋b与y＝ln
x＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，kx1＋b)，(x2，kx2＋b)，
由导数的几何意义，可得k＝＝，得x1＝x2＋1，
再由切点也在各自的曲线上，可得
联立上述式子，解得
从而由kx1＋b＝ln
x1＋2，得出b＝1－ln
2.
（12）已知直线y＝a分别与直线，曲线交于点A，B，则线段AB长度的最小值为______．
【答案】
【解析】，设与平行的的切线的点为，
则切线斜率为，∴切线方程为，，
则与，
被直线与切线截得的线段长，就是被直线和曲线截得线段
的最小值，
因为取任何值时，被两平行线截得的线段长相等，所以令，可得，线段
的最小值，故答案为.
四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（13）（本小题满分16分）
若函数的图象在处的切线方程为.
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围.
【解析】（Ⅰ）由函数的图象在处的切线方程为：知
，解得.
（2）
，①
令，，则
，
设，则，从而，
当时，；当时，；
函数在上单调递减，在上单调递增，
，
①恒成立
，
实数的取值范围是：.
(14)（本小题满分18分）
设函数，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）若曲线在y轴上的截距为，且在点处的切线垂直于，求实数a，b的值；
（Ⅱ）记的导函数为，求在区间上的最小值．
【解析】（Ⅰ）曲线在y轴上的截距为，则过点，
代入，
则，则，求导，
由，即，则，
实数a，b的值分别为1，；
Ⅱ，，，
当时，，，恒成立，
即，在上单调递增，
．
当时，，，恒成立，
即，在上单调递减，
.
当时，，得，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
.
（15）（本小题满分18分）
已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数在区间上存在两个不同零点，求实数的取值范围.
【解析】
（Ⅰ）∵，
①若时，，此时函数在上单调递增；
②若时，又得：，
时，此时函数在上单调递减；
当时，此时函数在上单调递增.
（Ⅱ）由题意知：在区间上有两个不同实数解，
即函数图像与函数图像有两个不同的交点，
因为，令得：，
所以当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增；
则，而，且，
要使函数图像与函数图像有两个不同的交点，
所以的取值范围为.