2021-2022学年高一数学人教A版必修1 第二章 基本初等函数（1）单元检测卷（含答案）

基本初等函数单元检测卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1.幂函数的定义域为(　　)
A.(0,＋∞)
B.［0,＋∞)
C.R
D.(－∞,0)∪(0,＋∞)
2.有下列各式:①;②若,则;③;
④.其中正确的个数是(　　)
A.0
B.1
C.2
D.3
3.若对数函数过点(4,2),则的值为　(　　)
A.-1
B.1
C.
D.
4.函数的单调减区间是(
)
A.
B.［1，2］
C.
D.
5.下面的4个函数图形中，函数的大致图象是（
）
6.已知，则（
）
A.
B.
C.
D.
7.若，则下列不等式中正确的是（
）
A.>
B.log(1-a)(1+a)>0
C.>
D.(1-a)1+a>1
8.若是奇函数，则(
)
A.是奇函数
B.不是奇函数也不是偶函数
C.是偶函数
D.不确定
9.已知函数，则关于的方程,以下结论正确的是（
）
A.仅当时，方程有唯一解
B.方程必有唯一解
C.仅当时，方程有唯一解
D.方程无解
10.已知，则由的值组成的集合是(
)
A.{2}
B.{4}
C.{2，0}
D.{4，0}
11．已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　)
A．－
B．－
C．－
D．－
12.已知函数,若则函数在定义域内(　　)
A.有最小值,但无最大值
B.有最大值,但无最小值
C.既有最大值,又有最小值
D.既无最大值,又无最小值
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13.若幂函数的图象经过点，则的值为________.
14.已知函数则的值为________
15．函数的图象恒过点M，则M点的坐标是________．
16.函数在区间［1,2］上的最大值比最小值大,则的值为_________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算：
(1)
(2)＋＋－3π0＋；
18．(本小题满分12分)已知函数
(1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围．
19．(本小题满分12分)已知函数为幂函数，且为奇函数．
(1)求的值；
(2)求函数的值域．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数．
(1)求a的值与函数f(x)的定义域；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围．
【参考答案】
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
C
C
D
B
C
C
B
B
A
A
二、填空题
13.
14.
15.
（2021,2020）
16.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算：
(1)
(2)＋＋－3π0＋；
解：(1)原式=
=
=-7
(2)原式＝＋＋－3×1＋
＝＋100＋－3＋
＝100.
18．(本小题满分12分)已知函数
(1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围．
解：(1)由题意得f(－1)＝a－b＋1＝0，a≠0，且－＝－1，
∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋1，
所以，单调递减区间为(－∞，－1]，单调递增区间为[－1，＋∞)．
(2)
f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，
转化为x2＋x＋1>k在区间[－3，－1]上恒成立．
设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
则g(x)在[－3，－1]上递减．
∴g(x)min＝g(－1)＝1.
∴k<1，即k的取值范围为(－∞，1)．
19．(本小题满分12分)已知函数为幂函数，且为奇函数．
(1)求的值；
(2)求函数的值域．
解：(1)∵函数h(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1为幂函数，∴m2－5m＋1＝1，解得m＝0或5.又h(x)为奇函数，∴m＝0.
(2)由(1)可知g(x)＝x＋，x∈，令＝t，则x＝－t2＋，t∈[0,1]，
∴f(t)＝－t2＋t＋＝－(t－1)2＋1∈，
故g(x)＝h(x)＋，x∈的值域为.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．
解：f(x)＝ax＋(1－x)＝x＋.当a>1时，a－>0，此时f(x)在[0,1]上为增函数，
∴g(a)＝f(0)＝；当0∴g(a)＝f(1)＝a；当a＝1时，
f(x)＝1，此时g(a)＝1.∴g(a)＝
∴g(a)在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数．又a＝1时，有a＝＝1，
∴当a＝1时，g(a)取得最大值1.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
解：(1)要使函数f(x)有意义，则需解得－1故所求函数f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)f(x)为奇函数．
证明：由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)，
且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)
故f(x)为奇函数．
(3)因为当a>1时，
f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，
所以f(x)>0?>1，解得0所以使f(x)>0的x的解集是(0,1)．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数．
(1)求a的值与函数f(x)的定义域；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵函数f(x)＝log2是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴log2＝－log2，即log2＝log2，
∴a＝1，f(x)＝log2.
令>0，得或
解得x<－1或x>1.
∴函数f(x)的定义域为{x|x<－1或x>1}．
(2)∵f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，
当x>1时，x＋1>2，∴log2(1＋x)>log22＝1.
∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，
∴m≤1.
∴m的取值范围是(－∞，1]．
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