第二章 圆锥曲线与方程单元测试A-2021-2022学年高中数学人教A版选修2-1（含答案）
文档属性
| 名称 | 第二章 圆锥曲线与方程单元测试A-2021-2022学年高中数学人教A版选修2-1（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 412.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-14 10:05:15 | ||
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文档简介
高中数学选修2-1《圆锥曲线与方程》
第二单元测试卷A
一、单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为．若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的的标准方程为（
）
A．或
B．或
C．或
D．或
（2）“”是“双曲线的离心率为”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（3）已知抛物线的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
（4）设椭圆的焦点为，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
（5）已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则（
）
A．
B．
C．
D．
（6）设是椭圆上一点，分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
（7）已知方程的曲线为，下面四个命题中正确的是（
）
①当时，曲线一定是椭圆；②当或时，曲线一定是双曲线；③若曲线是焦点在轴上的椭圆，则；④若曲线是焦点在轴上的双曲线，则．
A．①
B．②
C．③
D．④
（8）如图，过点作两条直线和分别交抛物线于和(其中位于轴上方)，直线交于点，则下列说法正确的是（
）
A．两点的纵坐标之积为
B．点在定直线上
C．点与抛物线上各点的连线中，最短
D．无论旋转到什么位置，始终有
三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分．
（9）已知双曲线的两个焦点为，渐近线为，则双曲线的标准方程为
．
（10）已知定点，是抛物线上的动点，则的最小值为
．
（11）过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若以为直径的圆恰好过其上焦点,则双曲线的离心率为
．
（12）已知椭圆的短轴长为，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围是
．
四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（13）已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为，椭圆的长轴长为．
（I）求椭圆的方程；
（II）直线与椭圆交于两点，线段的中点为，求弦长．
（14）已知抛物线过点．
（I）求抛物线的方程；
（II）求过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点不重合）．设直线的斜率分别为，求证：为定值．
（15）已知动圆过点并且与圆外切，动圆圆心的轨迹为．
（I）求曲线的轨迹方程；
（II）过点的直线与轨迹交于两点，设直线，点，直线交于，求证：直线经过定点．
高中数学选修2-1《圆锥曲线与方程》单元过关
平行性测试卷A参考答案
【答案】A
【解析】由题意，解得，
∴椭圆方程为或，故选A．
【答案】A
【解析】∵双曲线的离心率为∴
∵，∴∴
∴“”是“双曲线的离心率为”的充分不必要条件，故选A．
【答案】B
【解析】过点作于，因为，
由抛物线的定义得，所以在中
，所以，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，故选B．
【答案】B
【解析】由椭圆的焦点为，
为椭圆上一点，且，有．根据正弦定理
由余弦定理，，由，可得，则由三角形面积公式
可得，故选B．
【答案】A
【解析】设，则，根据点差法可得
，所以直线的斜率为，直线的斜率为
，，故选A．
【答案】C
【解析】椭圆的两个焦点坐标为，且恰好为两个圆的圆心坐标，所以，
两个圆的半径相等且等于，所以，，故选C．
【答案】BCD
【解析】对于①，当时，曲线表示为圆，所以不一定是椭圆，所以①错误；对于②，当时表示焦点在轴上的双曲线，当曲线表示焦点在轴上的椭圆，所以一定是双曲线，所以②正确；对于③若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以③正确；对于④若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，所以④正确，故选BCD．
【答案】AB
【解析】设点，将直线的方程代入抛物线方程得，则，故A正确；由题得，直线的方程为，
直线的方程为，消去得，将代入上式得，
故点在直线上，故B正确；计算可知C错误；因为，但，
所以D错误,故选AB．
【答案】
【解析】设准线和轴交于点，平行于轴，由抛物线的定义得到，故,故∴．
【答案】
【解析】∵点是抛物线上的动点且∴由对称性设，
∴∴当，即时，取最小值．
【答案】
【解析】过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，则，以为直径的圆恰好过其上焦点，可得∴∴∴或（舍）．
【答案】
【解析】由已知得，故，∵的面积为∴∴
又∴∴
又，∴，∴即的取值范围为．
【答案】（I）（II）
【解析】（I）经过两点的直线为即．由已知得原点到直线的距离即．∵∴∴椭圆的标准方程为．
（II）当直线斜率不存在时，线段的中点在轴上，不合题意．
∴直线的斜率存在，设为，则直线即
设联立得
显然,则，解得，则
∴．
【答案】（I）（II）见解析
【解析】（I）由题意得，所以抛物线方程为．
（II）设，直线的方程为，
代入抛物线方程得∴，
∴∴是定值．
【答案】（I）（II）见解析
【解析】（I）由已知得，即，
∴的轨迹为双曲线的右支，且∴∴
∴曲线的标准方程为．
（II）当直线的斜率不存在时，，则直线经过点；
当直线的斜率存在时，不妨设直线，，
则直线，当时，，，
由得∴
下面证明直线经过点，即证，即证，
即证，由整理得即证，
即证，而该式恒成立∴∴经过点
∴直线过定点．
第二单元测试卷A
一、单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为．若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的的标准方程为（
）
A．或
B．或
C．或
D．或
（2）“”是“双曲线的离心率为”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（3）已知抛物线的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
（4）设椭圆的焦点为，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
（5）已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则（
）
A．
B．
C．
D．
（6）设是椭圆上一点，分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
（7）已知方程的曲线为，下面四个命题中正确的是（
）
①当时，曲线一定是椭圆；②当或时，曲线一定是双曲线；③若曲线是焦点在轴上的椭圆，则；④若曲线是焦点在轴上的双曲线，则．
A．①
B．②
C．③
D．④
（8）如图，过点作两条直线和分别交抛物线于和(其中位于轴上方)，直线交于点，则下列说法正确的是（
）
A．两点的纵坐标之积为
B．点在定直线上
C．点与抛物线上各点的连线中，最短
D．无论旋转到什么位置，始终有
三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分．
（9）已知双曲线的两个焦点为，渐近线为，则双曲线的标准方程为
．
（10）已知定点，是抛物线上的动点，则的最小值为
．
（11）过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若以为直径的圆恰好过其上焦点,则双曲线的离心率为
．
（12）已知椭圆的短轴长为，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围是
．
四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（13）已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为，椭圆的长轴长为．
（I）求椭圆的方程；
（II）直线与椭圆交于两点，线段的中点为，求弦长．
（14）已知抛物线过点．
（I）求抛物线的方程；
（II）求过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点不重合）．设直线的斜率分别为，求证：为定值．
（15）已知动圆过点并且与圆外切，动圆圆心的轨迹为．
（I）求曲线的轨迹方程；
（II）过点的直线与轨迹交于两点，设直线，点，直线交于，求证：直线经过定点．
高中数学选修2-1《圆锥曲线与方程》单元过关
平行性测试卷A参考答案
【答案】A
【解析】由题意，解得，
∴椭圆方程为或，故选A．
【答案】A
【解析】∵双曲线的离心率为∴
∵，∴∴
∴“”是“双曲线的离心率为”的充分不必要条件，故选A．
【答案】B
【解析】过点作于，因为，
由抛物线的定义得，所以在中
，所以，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，故选B．
【答案】B
【解析】由椭圆的焦点为，
为椭圆上一点，且，有．根据正弦定理
由余弦定理，，由，可得，则由三角形面积公式
可得，故选B．
【答案】A
【解析】设，则，根据点差法可得
，所以直线的斜率为，直线的斜率为
，，故选A．
【答案】C
【解析】椭圆的两个焦点坐标为，且恰好为两个圆的圆心坐标，所以，
两个圆的半径相等且等于，所以，，故选C．
【答案】BCD
【解析】对于①，当时，曲线表示为圆，所以不一定是椭圆，所以①错误；对于②，当时表示焦点在轴上的双曲线，当曲线表示焦点在轴上的椭圆，所以一定是双曲线，所以②正确；对于③若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以③正确；对于④若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，所以④正确，故选BCD．
【答案】AB
【解析】设点，将直线的方程代入抛物线方程得，则，故A正确；由题得，直线的方程为，
直线的方程为，消去得，将代入上式得，
故点在直线上，故B正确；计算可知C错误；因为，但，
所以D错误,故选AB．
【答案】
【解析】设准线和轴交于点，平行于轴，由抛物线的定义得到，故,故∴．
【答案】
【解析】∵点是抛物线上的动点且∴由对称性设，
∴∴当，即时，取最小值．
【答案】
【解析】过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，则，以为直径的圆恰好过其上焦点，可得∴∴∴或（舍）．
【答案】
【解析】由已知得，故，∵的面积为∴∴
又∴∴
又，∴，∴即的取值范围为．
【答案】（I）（II）
【解析】（I）经过两点的直线为即．由已知得原点到直线的距离即．∵∴∴椭圆的标准方程为．
（II）当直线斜率不存在时，线段的中点在轴上，不合题意．
∴直线的斜率存在，设为，则直线即
设联立得
显然,则，解得，则
∴．
【答案】（I）（II）见解析
【解析】（I）由题意得，所以抛物线方程为．
（II）设，直线的方程为，
代入抛物线方程得∴，
∴∴是定值．
【答案】（I）（II）见解析
【解析】（I）由已知得，即，
∴的轨迹为双曲线的右支，且∴∴
∴曲线的标准方程为．
（II）当直线的斜率不存在时，，则直线经过点；
当直线的斜率存在时，不妨设直线，，
则直线，当时，，，
由得∴
下面证明直线经过点，即证，即证，
即证，由整理得即证，
即证，而该式恒成立∴∴经过点
∴直线过定点．