2020-2021学年高二数学人教A版数学选修2-1第三章空间向量与立体几何单元基础练（含答案）

2020-2021学年人教A版数学选修2-1第三章空间向量与立体几何单元基础练
一、单选题
1．如图所示，在空间四边形中，，点在上，且，为中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．若向量，满足条件，则x的值为（
）
A．
B．2
C．0
D．1
3．如图，在正方体中，E是棱CD上的动点．则下列结论不正确的是（
）
A．平面
B．
C．直线AE与所成角的范围为
D．二面角的大小为
4．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面，，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知四棱锥S?ABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AA1＝3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点，则点E到平面O1BC的距离为（
）
A．2
B．1
C．
D．3
8．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（
）
A．
B．
C．
D．
9．在正方体中，P是正方形的中心，点Q在侧棱上，E是BC的中点，则直线PQ，DE的位置关系是（
）
A．PQ与DE为异面直线且所成角为30°
B．PQ与DE为异面直线且所成角为45°
C．PQ与DE为异面直线且所成角为60°
D．PQ与DE为异面直线且所成角为90°
10．平行六面体的各棱长均相等，，直线平面，则异面直线与所成角的余弦值为（
）．
A．B．C．D．
二、多选题
11．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=，各棱长均为1.则下列命题中正确的是（
）
A．不是空间的一个基底
B．
C．
D．BD⊥平面ACC1A1
12．如图，为正方体，下列结论中正确的是（　　）
A．平面
B．平面
C．与底面所成角的正切值是
D．过点与异面直线与成角的直线有条
13．如图，在平行六面体中，是的中点，点在上，且：，设，则下列选项正确的为（
）
A．
B．
C．
D．
14．如图，直三棱柱中，，，是棱的中点，.则（
）.
A．直线与所成角为
B．三棱锥的体积为
C．二面角的大小为
D．直三棱柱外接球的表面积为
15．已知正方体的棱长为，点，在平面内，若，，则（
）
A．点的轨迹是一个圆
B．点的轨迹是一个圆
C．的最小值为
D．与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题
16．点P(－3，2，－1)关于平面xOz的对称点是________，关于z轴的对称点是________，关于M(1，2，1)的对称点是________．
17．已知，，则的最小值是________．
18．正方体的棱长为，点和分别是和的中点，则异面直线和所成角的余弦值为__________．
19．如图，长方体中，，，若是的中点，则与平面所成角的正弦值是___________.
20．如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，构成空间的一个基底，将用基底表示，=__________.
四、解答题
21．在多面体中，正方形和矩形互相垂直，、分别是和的中点，．
（1）求证：平面．
（2）在边所在的直线上存在一点，使得平面，求的长；
22．如图所示，平面CDEF平面ABCD，且四边形ABCD为平行四边形，∠DAB＝45°，四边形CDEF为直角梯形，EF∥DC，EDCD，AB＝3EF＝3，ED＝a，AD．
（1）求证：ADBF；
（2）若线段CF上存在一点M，满足AE∥平面BDM，求的值；
23．如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，，，为棱的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
24．如图1，四边形PBCD是等腰梯形，BC∥PD，PB＝BC＝CD＝2，PD＝4，A为PD的中点，将△ABP沿AB折起，如图2，点M是棱PD上的点．
（1）若M为PD的中点，证明：平面PCD⊥平面ABM；
（2）若PC，试确定M的位置，使二面角M﹣AB﹣D的余弦值等于．
25．如图，四棱锥中，底面是矩形，，，且侧面底面，侧面底面，点是的中点，动点在边上移动，且．
（1）证明：底面；
（2）当点在边上移动，使二面角为时，求二面角的余弦值．
26．如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合).
（1）求证：平面EMN⊥平面PBC；
（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由.
参考答案
1．B
2．B
由，即，
则，
∴1＋2＋1－(1＋2＋x)＝－1，得x＝2.
3．C
对于选项A：因为平面平面，平面，
所以平面，故选项A正确；
如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，
，，，对于选项B：，，
因为，所以，即，
故选项B正确；
对于选项C：，，设直线与所成角为，
则，
当时最大等于，此时最小为，
当时最小等于0，此时最大为，所以，
即直线与所成角的范围为，故选项C不正确；
对于选项D：二面角即二面角，
因为，，
平面，平面，
所以即为二面角的平面角，
在正方形中，，所以二面角的大小为，
4．B
以点为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，，，，
设异面直线与所成角为，则.
5．C
根据题意，建立空间直角坐标系，如图所示，
设四棱锥S?ABCD的棱长为，则，
因为为的中点，所以，可得，
设异面所成的角为，向量所成的角为，
可得
即异面所成的角的余弦值为．
故选：C．
6．D
设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，
∴且为平面BDF的一个法向量.
由，，
可得平面BCF的一个法向量为
7．C
因为OO1⊥平面ABCD，所以OO1⊥OA，OO1⊥OB.又OA⊥OB，所以可建立如图所示的空间直角坐标系．
因为底面ABCD是边长为4，∠DAB＝60°的菱形，所以OA＝2，OB＝2.
则A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(－2，0，0)，O1(0，0，3)．
设平面O1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
则⊥，⊥，，
所以，若z＝2，则x＝－，y＝3，
所以＝(－，3，2)是平面O1BC的一个法向量．
设点E到平面O1BC的距离为d，
因为E是O1A的中点，所以，
则d＝＝，
所以点E到平面O1BC的距离等于.
8．A
，，
∴
，，
即:，；
平面，直线，
所以当、最短时，平面，，
为的中心，为线段的中点，
如图：
又正四面体的棱长为1，
，
平面，
，
．
9．D
以为坐标原点，为建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的边长为，
，，，，
则，，
设异面直线PQ，DE所成的角为，
则，
所以,
10．D
设、、，且棱长均为，则，
连接、，，连，则在上，即为与交点.
又与相似，∴，
∴，，故，
又，设，
∴，，
则，
∴，
又，所以，
所以，
故异面直线与所成角设为，则.
11．ACD
对于A，由，所以向量共面，
所以不是空间的一个基底，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，故B错误；
对于C，
，
所以，故C正确；
对于D，连接交于点O，连接,
由题意可得四边形为菱形，，
所以，，
由可得BD⊥平面ACC1A1，故D正确.
故选：ACD.
12．ABD
对于A选项，如图，在正方体中，
平面，平面，则，
由于四边形为正方形，则，
，因此，平面，故A正确；
对于B选项，在正方体中，
平面，平面，，
因为四边形为正方形，所以，，
，平面，
平面，，同理可得，
，平面，故B正确；
对于C选项，由平面，得为与平面所成角，
且，故C错误；
对于D选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，
则、、、，
，，
设过点且与直线、所成角的直线的方向向量为，
则，
，
整理可得，消去并整理得，解得或，
由已知可得，所以，，可得，
因此，过点与异面直线与成角的直线有条，D选项正确.
故选：ABD.
13．AD
因为是的中点，
所以，
因为点在上，且：，
所以
,
故选：AD
14．ABD
对于A：在Rt△DAC中，AD=AC=1，得∠ADC=45°.
同理：∠A1
DC1=45°，所以∠C
DC1=90°，所以
又，且,
所以,所以,即直线与所成角为，故A正确；
对于B：由为直三棱柱，得,所以，由A的证明可知，可得，所以,故B正确；
对于C：由A、B证明过程可知：且,可以以C坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系,则
,所以
设平面的一个法向量，则有
即，不妨设，则有.
同理可求平面的一个法向量.
设二面角的平面角为，显然为锐角，所以，所以，故C错误；
对于D：由A、B证明过程可知：且,可以把直三棱柱扩充成长方体，只需求长方体的外接球表面积即可.
在长方体中，设外接球的半径为R，则
所以,故D正确.
故选:ABD
15．ACD
对于A:，即，所以，即点E为在面内，以为圆心、半径为1
的圆上；故A正确；
对于B:
正方体中，AC⊥BD，又，且BD∩DF=D，所以，所以点F在上，即F的轨迹为线段，故B错误；
对于C:在平面内，
到直线的距离为当点，落在上时，；故C正确；
对于D:
建立如图示的坐标系，则
因为点E为在面内，以为圆心、半径为1
的圆上，可设
所以
设平面的法向量，则有
不妨令x=1，则，
设与平面所成角为α，则：
当且仅当时，有最大值，
故D正确
16．(－3，－2，－1)
(3，－2，－1)
(5，2，3)
点P(－3，2，－1)关于平面xOz的对称点是(－3，－2，－1)，关于z轴的对称点是(3，－2，－1)．设点P(－3，2，－1)关于M(1，2，1)的对称点为(x，y，z)．
则解得
故点P(－3，2，－1)关于点M(1，2，1)的对称点为(5，2，3)．
17．
解：由已知，得＝(2，t，t)－(1－t，1－t，t)＝(1＋t，2t－1，0)．
所以
＝＝．
所以当t＝时，的最小值为．
18．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设异面直线和所成角为，
则．
异面直线和所成角的余弦值为．
故答案为：．
19．
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设平面的法向量为，，，
由，可得，令，则，，可得，
，，
因此，与平面所成角的正弦值是.
故答案为：.
20．
由题意，，，，
连接，根据向量的线性运算法则，可得，
因为为中点，，
又由点在上，且，可得，
所以.
21．
（1）因为四边形为矩形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面；
（2）因为平面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，设点，
，，，
设平面的法向量为，
由，令，可得，
要使得平面，则，所以，，解得，
则，此时，.
22．
（1）∵面CDEF面ABCD，EDCD，面，面面，
∴ED面ABCD，面，即，
过作于，过作交于，
∵CDEF为直角梯形，AB＝3EF＝3，
∴，即，则，且，
∴，得，即，
∴，而，即面，又面，
∴，故.
（2）以D为原点，过点D垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图示：
∴，若，则，
设，则，
设平面BDM的法向量为，则，取x1＝2，则，
若AE∥平面BDM，则，解得，
∴线段CF上存在一点M，满足AE∥平面BDM，此时．
23．
（1）证明：设，由四边形是菱形，为棱的中点，
，，在中，，
由，解得.
，即.
，且，
平面，又平面，
，，
平面，又平面，
面面.
（2）过点作直线的平行线交直线于点，则题设知，，，，分别以射线，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，即，，，，
∴，，，
设面的一个法向量为，则，取，则；
设面的一个法向量为，则，取，则；
设二面角的平面角大小为且，有，则.
二面角的正弦值为.
24．
（1）证明：由题意，AD＝BC，且AD∥BC，故四边形ABCD是平行四边形，
又PB＝BC＝CD＝2，PD＝4，
∴△PBA是正三角形，四边形ABCD是菱形，
取AB的中点E，连接PE，CE，易知△ABC是正三角形，则AB⊥PE，AB⊥EC，
又PE∩EC＝E，
∴AB⊥平面PEC，
∴AB⊥PC，
取PC的中点N，连接MN，BN，则MN∥CD∥AB，即A，B，N，M四点共面，
又PB＝BC＝2，则BN⊥PC，
又AB∩BN＝B，
∴PC⊥平面ABM，
又PC在平面PCD内，
∴平面PCD⊥平面ABM；
（2）∵，，所以，
∴PE⊥EC，
又AB⊥PE且AB⊥EC，则以为原点，以EB，EC，EP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，
设，则，
则，得，
则，
易知平面ABD的一个法向量为，
设平面MAB的一个法向量为，
又，，
∴，得，取，得，
所以，
所以，
解得，故DM＝2MP．
25．
（1）证明：侧面底面，且侧面底面，
，平面，，同理侧面底面，
且侧面底面，
，平面，，
底面．
（2）底面，点是的中点，且，
．侧面，且，
侧面，，
侧面，为二面角所成的角，
当时，，
，，三线两两垂直，分别以，，为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，得，
令，得，则，
设平面的法向量为，
由，得，令，得，
，
设二面角为，则.
26．
解：（1）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E，
所以PE⊥平面EBCD，又BC?平面EBCD，
故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB，
EM?平面PEB，故EM⊥BC，
又等腰三角形PEB，EM⊥PB，
BC∩PB=B，故EM⊥平面PBC，
EM?平面EMN，
故平面EMN⊥平面PBC；
（2）假设存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值.
以E为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PE=EB=2，设N(2，m，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，
P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，0，1)，
，，，
设平面EMN的法向量为，
由，令，得，
平面BEN的一个法向量为，
故，
解得：m=1，
故存在N为BC的中点.
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