第三章 空间向量与立体几何单元测试A-2021-2022学年高中数学人教A版选修2-1（含答案）
文档属性
| 名称 | 第三章 空间向量与立体几何单元测试A-2021-2022学年高中数学人教A版选修2-1（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 598.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-14 10:11:36 | ||
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文档简介
高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》
第三单元测试卷A
一、单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为，则（
）
A．
B．
C．
D．
（2）已知向量a，b分别是直线、的方向向量，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
（3）在正方体中，平面的法向量是（
）
A．
B．
C．
D．
（4）如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，为延长线上一点，，则（
）
A．
B．
C．
D．
（5）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
（6）在一平面直角坐标系中，已知，，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
（7）在下列结论中：①若向量a,b是共线向量，则向量a,b所在的直线共线或平行；②若向量a,b所在的直线为异面直线，则向量a,b一定不共面；③若三个向量a,b,c两两共面，则向量a,b,c共面；④已知空间的三个不共面向量a,b,c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数使得pabc.其中结论正确的是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
（8）如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（
）
A．异面直线与所成的角为
B．直线与平面所成的角为
C．二面角的正切值为
D．四面体的外接球体积为
三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分．
（9）已知向量a，则与a共线的单位向量e
．
（10）空间四边形，，，则的值为
．
（11）空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为
．
（12）已知正方体的棱长为，点分别是棱的中点，点在平面内，点在线段上，若，则的最小值为
．
四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（13）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，是棱上一点，且．
（I）求直线与所成角的余弦值；
（II）求二面角的余弦值．
（14）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
（I）证明：平面平面；
（II）求与平面所成角的正弦值．
（15）如图，在正方体中，分别是的中点．
（I）求异面直线与所成角的余弦值；
（II）棱上是否存在点，使得平面?请证明你的结论．
高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》单元过关
平行性测试卷A参考答案
【答案】B
【解析】∵在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为
∴点关于轴的对称点∴，故选B．
【答案】D
【解析】∵∴ab∴∴，故选D．
【答案】C
【解析】由正方体的性质可得都不与平面垂直∴不是其法向量
∵∴平面∴为平面的法向量，故选C．
【答案】B
【解析】如图所示，取的中点，连接，则
∴四边形是平行四边形∴∴
又∴，故选B．
【答案】C
【解析】四面体是由正方体的四个顶点构成的，如图所示
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则
∴
∴∵异面直线夹角的范围为
∴异面直线与夹角的余弦值为，故选C．
【答案】D
【解析】平面直角坐标系中已知，沿轴将坐标平面折成的
二面角后，作轴，交轴于点，作轴，交轴于点，
则，，的夹角为
∴
∴
∴即折叠后两点间的距离为，故选D．
【答案】AD
【解析】共线向量即平行向量，向量可以移动，因此所在直线共线或平行，故①对；两条异面直线的方向向量可通过平移使它们在同一平面内，故②错；三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故③错；根据空间向量基本定理，④对，故选AD．
【答案】ACD
【解析】如图所示，连接，对A，平移直线到直线，则为异面直线与所成的角，显然为正三角形，
∴，故A正确；对B，
∴平面∴为线面角
∴，故B错误；对C，在中，∴为二面角的平面角，，故C正确；对D，利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球，∴∴，故D正确，故选ACD．
【答案】
【解析】设与a共线的单位向量为e，所以，因而，得到|a|．而|a|=，
所以e=．
【答案】
【解析】∵∴
∴．
【答案】
【解析】因为空间四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点都有，所以，解得．
【答案】
【解析】如图，取中点，则面，则，
∵∴OP=2∴点在以为圆心，2为半径的位于平面内的半圆上．可得到的距离减去半径即为长度的最小值．作于，
的面积为，
∴∴∴长度的最小值为．
【答案】（I）（II）
【解析】（I）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，设，∵
∴∴
解得∴
，设直线与所成角为，
∴直线与所成角的余弦值为．
（II）
设平面的法向量m，则，即，取，得m,
设平面的法向量n，则，即，取，得n，
则m,n∴二面角的余弦值为．
【答案】（I）见解析（II）
【解析】（I）由已知可得，又，∴平面PEF．又平面ABFD
∴平面PEF⊥平面ABFD．
（II）作PH⊥EF，垂足为H．由（I）得，PH⊥平面ABFD．
以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz．
由（I）可得DE⊥PE．又∴
又∴PE⊥PF∴
则，，为平面ABFD的法向量．设DP与平面ABFD所成角为，则．
∴DP与平面ABFD所成角的正弦值为．
【答案】（I）（II）存在，证明见解析
【解析】以为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体棱长为，
则
（I）设异面直线与所成角为
∵∴
∴异面直线与所成角的余弦值为．
（II）假设在棱上存在点，使得平面
则，设平面的法向量n
∴，取，则∴n∴n
解得∴∴棱上存在点，满足，使得平面．
第三单元测试卷A
一、单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为，则（
）
A．
B．
C．
D．
（2）已知向量a，b分别是直线、的方向向量，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
（3）在正方体中，平面的法向量是（
）
A．
B．
C．
D．
（4）如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，为延长线上一点，，则（
）
A．
B．
C．
D．
（5）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
（6）在一平面直角坐标系中，已知，，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
（7）在下列结论中：①若向量a,b是共线向量，则向量a,b所在的直线共线或平行；②若向量a,b所在的直线为异面直线，则向量a,b一定不共面；③若三个向量a,b,c两两共面，则向量a,b,c共面；④已知空间的三个不共面向量a,b,c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数使得pabc.其中结论正确的是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
（8）如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（
）
A．异面直线与所成的角为
B．直线与平面所成的角为
C．二面角的正切值为
D．四面体的外接球体积为
三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分．
（9）已知向量a，则与a共线的单位向量e
．
（10）空间四边形，，，则的值为
．
（11）空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为
．
（12）已知正方体的棱长为，点分别是棱的中点，点在平面内，点在线段上，若，则的最小值为
．
四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（13）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，是棱上一点，且．
（I）求直线与所成角的余弦值；
（II）求二面角的余弦值．
（14）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
（I）证明：平面平面；
（II）求与平面所成角的正弦值．
（15）如图，在正方体中，分别是的中点．
（I）求异面直线与所成角的余弦值；
（II）棱上是否存在点，使得平面?请证明你的结论．
高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》单元过关
平行性测试卷A参考答案
【答案】B
【解析】∵在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为
∴点关于轴的对称点∴，故选B．
【答案】D
【解析】∵∴ab∴∴，故选D．
【答案】C
【解析】由正方体的性质可得都不与平面垂直∴不是其法向量
∵∴平面∴为平面的法向量，故选C．
【答案】B
【解析】如图所示，取的中点，连接，则
∴四边形是平行四边形∴∴
又∴，故选B．
【答案】C
【解析】四面体是由正方体的四个顶点构成的，如图所示
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则
∴
∴∵异面直线夹角的范围为
∴异面直线与夹角的余弦值为，故选C．
【答案】D
【解析】平面直角坐标系中已知，沿轴将坐标平面折成的
二面角后，作轴，交轴于点，作轴，交轴于点，
则，，的夹角为
∴
∴
∴即折叠后两点间的距离为，故选D．
【答案】AD
【解析】共线向量即平行向量，向量可以移动，因此所在直线共线或平行，故①对；两条异面直线的方向向量可通过平移使它们在同一平面内，故②错；三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故③错；根据空间向量基本定理，④对，故选AD．
【答案】ACD
【解析】如图所示，连接，对A，平移直线到直线，则为异面直线与所成的角，显然为正三角形，
∴，故A正确；对B，
∴平面∴为线面角
∴，故B错误；对C，在中，∴为二面角的平面角，，故C正确；对D，利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球，∴∴，故D正确，故选ACD．
【答案】
【解析】设与a共线的单位向量为e，所以，因而，得到|a|．而|a|=，
所以e=．
【答案】
【解析】∵∴
∴．
【答案】
【解析】因为空间四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点都有，所以，解得．
【答案】
【解析】如图，取中点，则面，则，
∵∴OP=2∴点在以为圆心，2为半径的位于平面内的半圆上．可得到的距离减去半径即为长度的最小值．作于，
的面积为，
∴∴∴长度的最小值为．
【答案】（I）（II）
【解析】（I）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，设，∵
∴∴
解得∴
，设直线与所成角为，
∴直线与所成角的余弦值为．
（II）
设平面的法向量m，则，即，取，得m,
设平面的法向量n，则，即，取，得n，
则m,n∴二面角的余弦值为．
【答案】（I）见解析（II）
【解析】（I）由已知可得，又，∴平面PEF．又平面ABFD
∴平面PEF⊥平面ABFD．
（II）作PH⊥EF，垂足为H．由（I）得，PH⊥平面ABFD．
以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz．
由（I）可得DE⊥PE．又∴
又∴PE⊥PF∴
则，，为平面ABFD的法向量．设DP与平面ABFD所成角为，则．
∴DP与平面ABFD所成角的正弦值为．
【答案】（I）（II）存在，证明见解析
【解析】以为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体棱长为，
则
（I）设异面直线与所成角为
∵∴
∴异面直线与所成角的余弦值为．
（II）假设在棱上存在点，使得平面
则，设平面的法向量n
∴，取，则∴n∴n
解得∴∴棱上存在点，满足，使得平面．