第一单元导数及其应用习题A -2020-2021学年高中数学人教A版选修2-2（含答案）

高中数学选修2-2《函数与导数》
第一单元测试卷A卷
一．单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知函数，则（
）
A．
B．e
C．
D．1
（2）已知直线是曲线的切线，则实数（
）
A．
B．
C．
D．
（3）已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
（4）已知函数(为自然对数的底)，则的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
（5）在函数的图象上任意一点处的切线为，若总存在函数的图象上一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
（6）函数的大致图象如图所示，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
二．多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
(7)函数，下列结论正确的是?
?
?
?
A．时，有两个零点
B．时，的极小值点为
C．时，恒成立
D．若只有一个零点，则
(8)对于函数，下列说法正确的有(?
?
?
?
)
A．在处取得极大值B．有两不同零点
C．D．若在上恒成立，则
填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分．
（9）函数在点处的切线方程为，则______，______.
（10）如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为
时，其容积最大．
（11）已知函数的最小值为，则的值为：
.
（12）已知函数（），若有且仅有两个整数
，使得，则的取值范围为
．
四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（13）（本小题满分16分）
已知函数，.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
(14)（本小题满分18分）
设，讨论零点的个数.
（15）（本小题满分18分）
已知函数，，且曲线与在处有相同的切线.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求证：在上恒成立；
（Ⅲ）当时，求方程在区间内实根的个数.
高中数学选修2-2《函数与导数》单元过关
平行性测试卷A卷参考答案
一．单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知函数，则（
）
A．
B．e
C．
D．1
【答案】C
【解析】由题得，
所以，故选C.
（2）已知直线是曲线的切线，则实数（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设切点为，∴切线方程是，
∴，故选C.
（3）已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当时,
,
由,得,由,得，
∴在上递减,在上递增,
∴在处有极小值,即不合题意，排除;
当时,
得，
得,
∴有最大值，
∴,∴在上递减,在处无极值,排除,故选D.
（4）已知函数(为自然对数的底)，则的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数的极值点就是的根，
相当于函数和函数交点的横坐标，画出函数图象如图，
由图知函数和函数有两个交点，
因为,.
所以，可排除选项；
由，可排除选项，故选C.
（5）在函数的图象上任意一点处的切线为，若总存在函数的图象上一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，故选D.
（6）函数的大致图象如图所示，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由图可知：
解得：
又为方程的两不等实根
二．多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
(7)
【答案】A,B,D
【解析】解：，当时，，其定义域为，
则.
令，得．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
又，，
所以在定义域内有两个零点，故正确；
，由上面的推导过程可知，
当时，的极小值点为，故正确；
，当时，，故错误；
，若只有一个零点，则方程只有一个根，
即方程只有一个根．
令，，
则函数的图象与直线只有一个交点．
?．
令，得．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为当时，；当时，，
所以函数的图象与直线只有一个交点时，
，即，故正确．
故选．
(8)
【答案】A,C,D
【解析】解：函数的导数，，
令得，
则当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
则当时，函数取得极大值，
极大值为，故正确；
当，；
，，
则的图象如图：
由得，即，
即函数只有一个零点，故错误；
易知，
∵
，函数在上单调递减，
∴
，
∴
成立，故正确；
若在上恒成立，
则在上恒成立.
设，，
则.
当时，；
当时，，
即当＝时，函数取得极大值同时也是最大值，
∴
成立，故正确.
故选．
填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分．
（9）函数在点处的切线方程为，则______，______.
【答案】2
1
【解析】
在点处的切线方程为
,
即,
,
（10）如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为
时，其容积最大．
【答案】
【解析】设正六棱柱的底面边长为，则高为，底面正六边形的面积为．所以这个正六棱柱容器的容积为，，求导可得当时，有最大值．
（11）已知函数的最小值为，则的值为：
.
【答案】
1
【解析】的定义域为，且
若，则，于是在上单调递增，故无最小值，不合题意．
若，则
当时，
在上单调递减；
当时，
在上单调递增．
当时，取得最小值．
由已知得，解得.
综上，
（12）已知函数（），若有且仅有两个整数
，使得，则的取值范围为
．
【答案】[）
【解析】设g（x）=ex（3x﹣1），h（x）=ax﹣a，则g′（x）=ex（3x+2），
∴x∈（﹣∞，﹣），g′（x）＜0，g（x）单调递减，
x∈（﹣，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴x=﹣，取最小值，
∴g（0）=﹣1＜﹣a=h（0），g（1）﹣h（1）=2e＞0，
直线h（x）=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，
∴g（﹣1）﹣h（﹣1）=﹣4e﹣1+2a＜0，∴a＜，
g（﹣2）=﹣，h（﹣2）=﹣3a，
由g（﹣2）﹣h（﹣2）≥0，解得：a≥，故答案为：[）.
四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（13）（本小题满分16分）
已知函数，.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
【解析】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
又，
当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数，
当a＞0时，由f′（x）=0得：或（舍），
∴当时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，
当时，f′（x）＞0，f（x）是增函数.
（Ⅱ）对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0，
由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数，
又f（1）=2a﹣2＜0，不合题意；
当a＞0时，当时，f（x）取得极小值也是最小值，
∴，
令（a＞0），则，
在（0，+∞）上，u′（a）＞0，∴u（a）要（0，+∞）上是增函数，又u（1）=0，
要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1，
∴a的取值范围为[1，+∞）.
(14)（本小题满分18分）
设，讨论零点的个数.
【解析】①是的一个零点;
当时，由得
令
则
②当时，
在递减
当时，；当时，；
③当时，
在递减；
当时，
在递增；
又当时，；当时，；
在的最小值为
分析图像可得：
当时,有1个零点;
当或时,有2个零点；
当时,有3个零点.
（15）（本小题满分18分）
已知函数，，且曲线与在处有相同的切线.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求证：在上恒成立；
（Ⅲ）当时，求方程在区间内实根的个数.
【解析】（Ⅰ）∵，，，∴.
∵，，∴，.
∵，即，∴.
（Ⅱ）证明：设，
.
令，则有.
当变化时，的变化情况如下表：
∴，即在上恒成立.
（Ⅲ）设，其中，
.
令，则有.
当变化时，的变化情况如下表：
∴
.
，
设，其中，则，
∴在内单调递减，，
∴，故，而.
结合函数的图象，可知在区间内有两个零点，
∴方程在区间内实根的个数为2.