2021-2022学年八年级数学人教版上册11.2与三角形有关的角优生辅导训练（word版、含解析）

2021-2022学年人教版八年级数学上册《11.2与三角形有关的角》优生辅导训练（附答案）
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（　　）
A．32°
B．64°
C．77°
D．87°
2．已知如图，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC＝　
　．（用α，β表示）
3．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为　
　；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为　
　．
4．如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C．其中正确的是　
　．
5．已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，DE∥AC，且∠1+∠2＝180°
（1）求证：AD∥FG；
（2）若DE平分∠ADB，∠C＝40°，求∠BFG的度数．
6．如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数．
7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC，且∠ABC＞∠C．
求证：∠DAE＝（∠ABC﹣∠C）．
8．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EF交BA延长线于点G，∠CFE＝∠G．
（1）求证：AD∥EG；
（2）设∠B＝x，∠G＝y，若x﹣y＝30°，∠ADC＝110°，求∠B的度数．
9．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
10．探究与发现：如图①，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
（3）深入探究：如图②，若∠B＝∠C，但∠C≠45°，其他条件不变，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
11．已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α．
（1）当α＝40°时，∠BPC＝　
　°，∠BQC＝　
　°；
（2）当α＝　
　°时，BM∥CN；
（3）如图②，当α＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；
（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系．
12．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．
（1）如图（1）若∠BOD＝35°，求∠AOC的度数，若∠AOC＝135°，求∠BOD的度数．
（2）如图（2）若∠AOC＝150°，求∠BOD的度数．
（3）猜想∠AOC与∠BOD的数量关系，并结合图（1）说明理由．
（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由．
13．△ABC中，∠C＝80°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．．
（1）若点P在边AB上，且∠α＝50°，如图1，则∠1+∠2＝　
　；
（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为　
　．
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由
14．如图①，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC＝　
　．
（2）如图②，过点P作直线MN∥BC，分别交AB和AC于点M和N，试求∠MPB+∠NPC的度数（用含∠A的代数式表示）　
　．
（3）将直线MN绕点P旋转．
（i）当直线MN与AB，AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．
（ii）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（i）中∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．
15．如图1，已知线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N，试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系；
（2）在图2中，若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数；
（3）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）
16．如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A＝82°，则∠BEC＝　
　；若∠A＝a°，则∠BEC＝　
　．
【探究】
（1）如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A＝a°，则∠BEC＝　
　；
（2）如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；
（3）如图4，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
17．（1）如图①，已知任意△ABC，过点C作DE∥AB，求证：△ABC的三个内角（即∠A，∠B，∠ACB）之和等于180°；
（2）如图②，求证：∠AGF＝∠AEF+∠F；
（3）如图③，AB∥CD，∠CDE＝119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF＝150°，求∠F的度数．
18．已知△ABC，D为△ABC所在平面上一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．
（1）若D点是△ABC中BC边上一点，如图1所示，判断∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
（2）若D点是△ABC中AB边上一点，如图2所示，判断∠BDC、∠BPC、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
（3）若D点是△ABC外任一点，如图3所示，判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
（4）若D点是△ABC内一点，如图4所示，判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？（直接写出结论，不需要证明）
19．△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D．
（1）如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由；
（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．
①求证：BF∥OD；
②若∠F＝35°，求∠BAC的度数．
20．（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点A′的位置．试写出∠A与∠1+∠2之间的关系，并说明理由；
（2）如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外部点A′的位置，如图②所示．此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系？直接写出　
　．
（3）如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在四边形BCFE内部点A′、D′的位置，如图③所示．直接写出∠A′、∠D′、∠1与∠2之间的关系　
　．
22．如图1，将纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在A′处的位置．
（1）如果点A′落在四边形BCDE内部（如图1），∠A′、∠1、∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如果点A′落在四边形BCDE的边BE上，则∠A′与∠2之间的数量关系是　
　．
（3）如果点A′落在四边形BCDE外部（如图2），∠A′、∠1、∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由．
23．如图（1），在△OBC中，点A是BO延长线上的一点．
（1）∠B＝32°，∠C＝46°，则∠AOC＝　
　°，Q是BC边上一点，连接AQ交OC边于点P，如图（2），若∠A＝18°，则∠OPQ＝　
　°，猜测：∠A+∠B+∠C与∠OPQ的大小关系是　
　；
（2）将图（2）中的CO延长到点D，AQ延长到点E，连接DE，得到图（3），则∠AQB等于图中哪三个角的和？并说明理由；
（3）求图（3）中∠A+∠D+∠B+∠E+∠C的度数．
24．如下几个图形是五角星和它的变形．
（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．
（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化
说明你的结论的正确性．
（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时（1）如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．
25．如图，∠O＝30°，任意裁剪的直角三角形纸板两条直角边所在直线与∠O的两边分别交于D、E两点．
（1）如图1，若直角顶点C在∠O的边上，则∠ADO+∠OEB＝　
　度；
（2）如图2，若直角顶点C在∠O内部，求出∠ADO+∠OEB的度数；
（3）如图3，如果直角顶点C在∠O外部，求出∠ADO+∠OEB的度数．
参考答案
1．解：如图，取CF的中点T，连接DT，AT．
∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，
∴∠CAF＝∠CDF＝90°，
∴AT＝DT＝CF，
∴TD＝TC＝TA，
∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，
∵∠ADB＝45°，
∴∠ADT+∠TDC＝135°，
∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，
∴AT⊥CF，
∵CT＝TF，
∴AC＝AF，
∴∠AFC＝45°，
∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，
∵∠BDF＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°，
故选：C．
2．解：连接BC，
∵BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，
∴∠3＝ABP，∠4＝ACP，
∵∠1+∠2＝180°﹣β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）＝180°﹣α，
∴∠3+∠4＝（β﹣α），
∵∠BQC＝180°﹣（∠1+∠2）﹣（∠3+∠4）＝180°﹣（180°﹣β）﹣（β﹣α），
即：∠BQC＝（α+β）．
故答案为：（α+β）．
3．解：∵在△ABA1中，∠B＝40°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣40°）＝70°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1＝∠BA1A＝×70°＝35°；
同理可得，∠DA3A2＝×70°＝17.5°，∠EA4A3＝×70°，
以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数＝．
故答案为：17.5°，．
4．解：①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F＝90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE＝90°，
∵∠FGD＝∠BGH，
∴∠DBE＝∠F，
①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∠BEF＝∠CBE+∠C，
∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，
∠BAF＝∠ABC+∠C，
∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，
②正确；
③∠ABD＝90°﹣∠BAC，
∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，
∵∠CBD＝90°﹣∠C，
∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
由①得，∠DBE＝∠F，
∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；
③正确；
④∵∠AEB＝∠EBC+∠C，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD＝∠FEB，
∴∠BGH＝∠ABE+∠C，
④正确，
故答案为：①②③④．
5．证明：（1）∵DE∥AC
∴∠2＝∠DAC
∵∠l+∠2＝180°
∴∠1+∠DAC＝180°
∴AD∥GF
（2）∵ED∥AC
∴∠EDB＝∠C＝40°
∵ED平分∠ADB
∴∠2＝∠EDB＝40°
∴∠ADB＝80°
∵AD∥FG
∴∠BFG＝∠ADB＝80°
6．解（1）∵∠B＝40°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝70°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝35°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝75°．
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝15°；
（2）同（1），可得∠ADE＝75°．
∵FE⊥BC，
∴∠FEB＝90°，
∴∠DFE＝90°﹣∠ADE＝15°．
7．证明：∵AD⊥BC，
∴∠D＝90°，
∵∠ABC是△ABD的外角，
∴∠DAB＝∠ABC﹣∠D＝∠ABC﹣90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC，
在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABC﹣∠C，
∵∠DAE＝∠DAB+∠BAE，
∴∠DAE＝∠ABC﹣90°+90°﹣∠ABC﹣∠C＝∠ABC﹣∠C，
即：∠DAE＝（∠ABC﹣∠C）．
8．解：（1）如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠G，∠3＝∠4，
∴∠4＝∠G，
∵∠BAC＝2∠3＝∠G+∠4，
∴2∠2＝∠4+∠4，
∴∠2＝∠4，
∴AD∥EG；
（2）∵∠ADC＝∠B+∠1＝110°，
∴，
解得：，
∴∠B＝70°
9．（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝（180°+∠A）
＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+∠MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
10．解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝105°，
∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠CDE＝105°﹣75°＝30°；
（2）∠BAD＝2∠CDE，
理由如下：设∠BAD＝x，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝45°+x，
∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣x，
∴∠ADE＝∠AED＝，
∴∠CDE＝45°+x﹣＝x，
∴∠BAD＝2∠CDE；
（3）设∠BAD＝x，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠B+x，
∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝180°﹣2∠C﹣x，
∴∠ADE＝∠AED＝∠C+x，
∴∠CDE＝∠B+x﹣（∠C+x）＝x，
∴∠BAD＝2∠CDE．
11．解：（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，
∴∠CBP+∠BCP＝（∠DBC+∠BCE）＝110°，
∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°，
∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，
∴∠QBC＝∠PBC，∠QCB＝∠PCB，
∴∠QBC+∠QCB＝55°，
∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°；
（2）∵BM∥CN，
∴∠MBC+∠NCB＝180°，
∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α，
∴（∠DBC+∠BCE）＝180°，
即（180°+α）＝180°，
解得α＝60°；
（3）∵α＝120°，
∴∠MBC+∠NCB＝（∠DBC+∠BCE）＝（180°+α）＝225°，
∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°；
（4）∵α＞60°，
∠BPC＝90°﹣α、
∠BQC＝135°﹣α、
∠BOC＝α﹣45°．
∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC＝（90°﹣α）+（135°﹣α）+（α﹣45°）＝180°．
故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°．
12．解：（1）若∠BOD＝35°，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD＝90°+90°﹣35°＝145°，
若∠AOC＝135°，
则∠BOD＝∠AOB+∠COD﹣∠AOC＝90°+90°﹣135°＝45°；
（2）如图2，若∠AOC＝150°，
则∠BOD＝360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD
＝360°﹣150°﹣90°﹣90°
＝30°；
（3）∠AOC与∠BOD互补．
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD＝180°，
即∠AOC与∠BOD互补．
（4）OD⊥AB时，∠AOD＝30°，
CD⊥OB时，∠AOD＝45°，
CD⊥AB时，∠AOD＝75°，
OC⊥AB时，∠AOD＝60°，
即∠AOD角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°．
13．解：（1）如图1，连接CP，
∵∠1是△CDP的外角，
∴∠1＝∠DCP+∠DPC，
同理可得，∠2＝∠ECP+∠EPC，
∴∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE＝80°+50°＝130°，
故答案为：130°；
（2）如图，连接CP，
∵∠1是△CDP的外角，
∴∠1＝∠DCP+∠DPC，
同理可得，∠2＝∠ECP+∠EPC，
∴∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE＝80°+∠α，
故答案为：∠1+∠2＝80°+∠α；
（3）∠1＝80°+∠2+∠α，理由如下：
如图3，∵在△CDM中，∠1＝∠C+∠CMD，
在△EMP中，∠CMD＝∠2+∠α，
∴∠1＝∠C+∠2+∠α，
即∠1＝80°+∠2+∠α．
14．解：（1）∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A
＝90°+×80°
＝130°；
故答案为：130°．
（2）∵∠BPC＝90°+∠A，
∴∠MPB+∠NPC＝180°﹣∠BPC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
故答案为：∠MPB+∠NPC＝90°﹣∠A．
（3）（i）∠MPB+∠NPC＝90°﹣∠A．
理由如下：
∵∠BPC＝90°+∠A，
∴∠MPB+∠NPC＝180°﹣∠BPC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A．
（ii）不成立，有∠MPB﹣∠NPC＝90°﹣∠A．
理由如下：由题图④可知∠MPB+∠BPC﹣∠NPC＝180°，
由（1）知：∠BPC＝90°+∠A，
∴∠MPB﹣∠NPC＝180°﹣∠BPC
＝180°﹣（90°+∠A）
＝90°﹣∠A．
15．解：（1）在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠D，
在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵∠AOD＝∠BOC（对顶角相等），
∴180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣∠B﹣∠C，
∴∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）∵∠D＝40°，∠B＝36°，
∴∠OAD+40°＝∠OCB+36°，
∴∠OCB﹣∠OAD＝4°，
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴∠DAM＝∠OAD，∠PCM＝∠OCB，
又∵∠DAM+∠D＝∠PCM+∠P，
∴∠P＝∠DAM+∠D﹣∠PCM＝（∠OAD﹣∠OCB）+∠D＝×（﹣4°）+40°＝38°；
（3）根据“8字形”数量关系，∠OAD+∠D＝∠OCB+∠B，∠DAM+∠D＝∠PCM+∠P，
所以，∠OCB﹣∠OAD＝∠D﹣∠B，∠PCM﹣∠DAM＝∠D﹣∠P，
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴∠DAM＝∠OAD，∠PCM＝∠OCB，
∴（∠D﹣∠B）＝∠D﹣∠P，
整理得，2∠P＝∠B+∠D．
16．解：∵∠A＝82°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣82°＝98°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB＝（∠ABC+∠ACB）＝×98°＝49°，
∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣49°＝131°；
由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣a°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣a°）＝90°﹣a°，
∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（90°﹣a°）＝90°+a°；
故答案为：131°，90°+a°；
探究：（1）由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣a°，
∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣a°）＝120°﹣a°，
∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（120°﹣a°）＝60°+a°；
故答案为：60°+a°；
（2）∠BOC＝∠A．
理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD＝∠A+∠ABC，
∠OCD＝∠BOC+∠OBC，
∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACD＝2∠OCD，
∴∠A+∠ABC＝2（∠BOC+∠OBC），
∴∠A＝2∠BOC，
∴∠BOC＝∠A；
（3）∠BOC＝90°﹣∠A．
理由如下：∵O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，
∴∠OBC＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC，∠OCB＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣（90°﹣∠ABC）﹣（90°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB），
由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BOC＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．
17．解：（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，
∴∠CBP+∠BCP＝（∠DBC+∠BCE）＝110°，
∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°，
∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，
∴∠QBC＝∠PBC，∠QCB＝∠PCB，
∴∠QBC+∠QCB＝55°，
∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°；
故答案为：70°，125°；
（2）∵BM∥CN，
∴∠MBC+∠NCB＝180°，
∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，
∴（∠DBC+∠BCE）＝180°，
即（180°+∠BAC）＝180°，
解得∠BAC＝60°；
（3）∵∠BAC＝120°，
∴∠MBC+∠NCB＝（∠DBC+∠BCE）＝（180°+α）＝225°，
∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°．
18．证明：（1）如图①所示，
在△ABC中，∵DE∥AB，
∴∠B＝∠1，∠A＝∠2（内错角相等）．
∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，
∴∠A+∠B+∠C＝180°
即三角形的内角和为180°；
（2）∵∠AGF+∠FGE＝180°，
由（1）知，∠GEF+∠EFG+∠FGE＝180°，
∴∠AGF＝∠AEF+∠F；
（3）∵AB∥CD，∠CDE＝119°，
∴∠DEB＝119°，∠AED＝61°，
∵GF交∠DEB的平分线EF于点F，
∴∠DEF＝59.5°，
∴∠AEF＝120.5°，
∵∠AGF＝150°，
∵∠AGF＝∠AEF+∠F，
∴∠F＝150°﹣120.5°＝29.5°．
19．解：（1）∠P＝90°+∠A．
证明：∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A．
（2）∠A+∠BDC＝2∠DPC．
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠DCP，
∵∠DPC是△ACP的外角，∠BDC是△ACD的外角，
∴∠ACP＝∠DPC﹣∠A，
∠DCP＝∠BDC﹣∠DPC，
∴∠DPC﹣∠A＝∠BDC﹣∠DPC，
∴∠A+∠BDC＝2∠DPC；
（3）∠D+∠A＝2∠P．
∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，
∴∠DBP＝∠ABP，∠ACP＝∠DCP，
∵∠D+∠DBP＝∠P+∠DCP，∠A+∠ACP＝∠P+∠ABP，
∴两式相加，可得：∠D+∠A＝2∠P；
（4）2∠BPC＝∠BAC+∠BDC．
解法一：如图4，作射线PD，射线AP，
∵∠BDE是△BDP的外角，∠CDE是△CDP的外角，
∴∠BDC＝∠PBD+∠BPC+∠DCP，①
同理可得，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP，②
又∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，
∴∠PBD＝∠ABP，∠PCD＝∠ACP，
∴由②﹣①，可得
∠BPC﹣∠BDC＝∠BAC﹣∠BPC，
∴2∠BPC＝∠BAC+∠BDC．
解法二：∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，
∴∠PBD＝∠ABP，∠PCD＝∠ACP，
四边形BPDC中，∠P+∠ABD+∠ACD+360°﹣∠D＝360°，
∴∠ABD+∠ACD＝∠D﹣∠P，
在四边形ABPC中，∠A+∠ABD+∠ACD+360°﹣∠P＝360°，
∴∠A+∠D﹣∠P﹣∠P＝0，
∴2∠P＝∠D+∠A．
20．解：（1）∠AOC＝∠ODC，
理由：∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝（180°﹣∠ABC），
∵∠OBC＝∠ABC，
∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°+∠ABC＝90°+∠OBC，
∵OD⊥OB，
∴∠BOD＝90°，
∴∠ODC＝90°+∠OBD，
∴∠AOC＝∠ODC；
（2）①∵BF平分∠ABE，
∴∠EBF＝∠ABE＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠DBO，
∵∠ODB＝90°﹣∠OBD，
∴∠FBE＝∠ODB，
∴BF∥OD；
②∵BF平分∠ABE，
∴∠FBE＝∠ABE＝（∠BAC+∠ACB），
∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠FCB＝∠ACB，
∵∠F＝∠FBE﹣∠BCF＝（∠BAC+∠ACB）﹣∠ACB＝∠BAC，
∵∠F＝35°，
∴∠BAC＝2∠F＝70°．
21．解：（1）如图，根据翻折的性质，∠3＝（180﹣∠1），∠4＝（180﹣∠2），
∵∠A+∠3+∠4＝180°，
∴∠A+（180﹣∠1）+（180﹣∠2）＝180°，
整理得，2∠A＝∠1+∠2；
（2）根据翻折的性质，∠3＝（180﹣∠1），∠4＝（180+∠2），
∵∠A+∠3+∠4＝180°，
∴∠A+（180﹣∠1）+（180+∠2）＝180°，
整理得，2∠A＝∠1﹣∠2；
（3）根据翻折的性质，∠3＝（180﹣∠1），∠4＝（180﹣∠2），
∵∠A+∠D+∠3+∠4＝360°，
∴∠A+∠D+（180﹣∠1）+（180﹣∠2）＝360°，
整理得，2（∠A+∠D）＝∠1+∠2+360°，
即2（∠A'+∠D'）＝∠1+∠2+360°．
22．解：（1）2∠A＝∠1+∠2，
理由：∵延DE折叠A和A′重合，
∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，
∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，
∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A；
（2）2∠A＝∠2，如图3，
∠2＝∠A+∠EA′D＝2∠A，
故答案为：2∠A＝∠2；
（3）2∠A＝∠2﹣∠1，
理由：∵延DE折叠A和A′重合，
∴∠A＝∠A′，
∵∠DME＝∠A′+∠1，∠2＝∠A+∠DME，
∴∠2＝∠A+∠A′+∠1，
即2∠A＝∠2﹣∠1．
23．解：（1）∵∠B＝32°，∠C＝46°，
∴∠AOC＝∠B+∠C＝32°+46°＝78°，
∵∠A＝18°，
∴∠OPQ＝∠A+∠AOC＝18°+78°＝96°，
∵∠A+∠B+∠C＝18°+32°+46°＝96°，
∴∠A+∠B+∠C＝∠OPQ；
故答案为：78；96；∠A+∠B+∠C＝∠OPQ；
（2）∠AQB＝∠C+∠D+∠E，理由是：
∵∠EPC＝∠D+∠E，∠AQB＝∠C+∠EPC，
∴∠AQB＝∠C+∠D+∠E；
（3）∵∠AQC＝∠A+∠B，∠QPC＝∠D+∠E，
又∵∠AQC+∠QPC+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C＝180°，
即∠A+∠D+∠B+∠E+∠C＝180°．
24．解：（1）如图，连接CD．
在△ACD中，根据三角形内角和定理，得出∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB＝180°．
∵∠1＝∠B+∠E＝∠2+∠3，
∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E＝∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB＝∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB＝180°；
（2）无变化．
根据平角的定义，得出∠BAC+∠CAD+∠DAE＝180°．
∵∠BAC＝∠C+∠E，∠EAD＝∠B+∠D，
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠BAC+∠CAD+∠DAE＝180°；
（3）无变化．
∵∠ACB＝∠CAD+∠D，∠ECD＝∠B+∠E，
∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E＝∠ACB+∠ACE+∠ECD＝180°．
25．解：（1）∵∠ADB＝90°，
∴∠ADO＝90°﹣∠ODE，
∵∠OEB＝∠O+∠ODE＝30°+∠ODE，
∴∠ADO+∠OEB＝90°﹣∠ODE+30°+∠ODE＝120°．
故答案为：120°；
（2）如图2，连接OC，
∵∠ADO＝∠ACO+∠DOC，∠OEB＝∠EOC+∠ECO，
∠ACE＝90°，∠DOE＝30°，
∴∠ADO+∠OEB＝∠ACO+∠DOC+∠EOC+∠ECO，
＝（∠ACO+∠ECO）+（∠EOC+∠DOC）
＝∠ACE+∠DOE
＝90°+30°＝120°；
（3）如图3，连接OC，
∵∠ADO＝∠ACO﹣∠DOC，∠OEB＝∠EOC+∠ECO，
∠ACE＝90°，∠DOE＝30°，
∴∠ADO+∠OEB＝∠ACO﹣∠DOC+∠EOC+∠ECO
＝（∠ACO+∠ECO）+（∠EOC﹣∠DOC）
＝∠ACE+∠DOE
＝90°+30°
＝120°．