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八年级上13.4.尺规作图
学案
课题
13.4.2
尺规作图
单元
第13章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1.掌握尺规的基本作图:画直线的垂线;
2.掌握尺规的基本作图:画线段的垂直平分线;
3.进一步学习解尺规作图题，会写已知、求作和作法，以及掌握准确的作图语言.
重点
难点
1.过已知直线外一点作这条直线的垂线.
2.线段的垂直平分线.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
如图所示的尺规作图的痕迹表示的是(
)
A.
尺规作线段的垂直平分线
B.
尺规作一条线段等于已知线段
C.
尺规作一个角等于已知角
D.
尺规作角的平分线
合
作
探
究
探究一：
4.经过一已知点作已知直线的垂线
已知点与已知直线可以有两种不同的位置关系:
点在直线上，
点不在直线上.
因此要分别按这两种情况作图.
(1)经过已知直线上一点作已知直线的垂线.
已知直线AB和AB上一点C,
试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线.
如图,由于点C在直线AB上，
因此所求作的垂线正好是平角ACB的平分线所在的直线.
(2)经过已知直线外一点作已知直线的垂线.
已知直线AB和AB外一点C,试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线.
探究二：
例
利用直尺和圆规作一个等于45°的角.
探究三：
5.作已知线段的垂直平分线
如图13.4.9,已知直线l是线段AB的垂直平分线，
则直线l是线段AB的对称轴,对l上的任意两点C、D,
通过对折可以发现,总有CA=CB,DA=DB.
由此，你能发现作垂直平分线的方法吗?
如图13.4.10,已知线段AB,试按下列步骤用直尺和
圆规准确地作出线段AB的垂直平分线.
我们可以证明这样作出来的直线是符合要求的,即
直线CD垂直平分线段AB.
如图13.4.
11,连结CA、CB、DA、DB.
∴AC=
BC,
AD=
BD,
CD
=
CD,△ACD≌△BCD(S.S.S.
),
∴∠ACD
=∠BCD(全等三角形的对应角相等)，
CD垂直平分线段AB(等腰三角形的“三线合一”).
由于上面作出的直线CD与线段AB的交点就是AB的中点，因此我们可以用这种方法作出线段AB的中点，从而也可以作出任意一个三角形的三条中线.
注意：
1.掌握一些规范的几何作图语句.
2.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于常用基本作图的地方，只需用一句话概括叙述即可.
3.解决尺规作图问题，先作出符合条件的图形草图,在确定具体的作图方法.
当
堂
检
测
课堂练习
：
1.如图，下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线．对应选项中作法错误的是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
1.C
2.下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高的是( )
2.B
3．已知△ABC(AC＜BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是
( )
3.D
4、根据要求画图，并回答问题．已知：直线AB，CD相交干点O，且OE⊥AB．
过点O画直线MN⊥CD；
若点F是（1）所画直线MN上任意一点（O点除外），且∠AOC＝34°，求∠EOF的度数．
解：（1）如图；
（2）如上图：①当F在OM上时，
∵EO⊥AB，MN⊥CD，
∴∠EOB＝∠MOD＝90°，
∴∠MOE＋∠EOD＝90°，
∠EOD＋∠BOD＝90°，
∴∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝34°；
②当F在ON上时，如图．在F'点时，
∵MN⊥CD，
∴∠MOC＝90°＝∠AOC＋∠AOM，
∴∠AOM＝90°-∠AOC＝56°，
∴∠BON＝∠AOM＝56°，
∴∠EOF'＝∠EOB＋∠BON＝90°＋56°＝146°，
?答：∠EOF的度数是34°或146°．
课
堂
小
结
今天学习了哪些作图方法？
参考答案
自主学习：
A
合作探究：
探究一：
第一步:作平角ACB的平分线CD;
第二步:反向延长射线CD.
直线CD就是要求作的垂线
如图13.4.7，若以点C为圆心，作能与直线AB相交于D、E两点的弧，则△CDE为等腰三角形.
由“等腰三角形顶角的平分线就是底边上的高”可知,只需作出∠DCE的平分线,则该平分线所在的直线就是要求作的垂线.
探究二：
作法
1.
作直线AB;
2.过点A作直线AB的垂线AC;
3.作∠CAB的平分线AD.
∠DAB就是要求作的角(如图13.4.8所示).
探究三：
第一步:分别以点A和点B为圆心、大于AB一半的
长为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D;
第二步:作直线CD.
直线CD就是要求作的线段AB的垂直平分线.
课堂小结：
1、4.经过一已知点作已知直线的垂线
2、5.作已知线段的垂直平分线
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页
（共
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13.4.2
尺规作图
课题
13.4.2
尺规作图
单元
第14单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
1.掌握尺规的基本作图:画直线的垂线;2.掌握尺规的基本作图:画线段的垂直平分线;3.进一步学习解尺规作图题，会写已知、求作和作法，以及掌握准确的作图语言.
重点难点
1.过已知直线外一点作这条直线的垂线.2.线段的垂直平分线.
教学过程
教学环节
教师活动
设计意图
讲授新课
我们上一节学习了哪些尺规作图呢？1.作一条线段等于已知线段2.作一个角等于已知角3.作已知角的平分线4.经过一已知点作已知直线的垂线已知点与已知直线可以有两种不同的位置关系:点在直线上，点不在直线上.因此要分别按这两种情况作图.(1)经过已知直线上一点作已知直线的垂线.已知直线AB和AB上一点C,试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线.A
C
B如图13.4.6,由于点C在直线AB上，
因此所求作的垂线正好是平角ACB的平分线所在的直线.第一步:作平角ACB的平分线CD;第二步:反向延长射线CD.直线CD就是要求作的垂线(2)经过已知直线外一点作已知直线的垂线.已知直线AB和AB外一点C,试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线.如图13.4.7，若以点C为圆心，作能与直线AB相交于D、E两点的弧，则△CDE为等腰三角形.由“等腰三角形顶角的平分线就是底边上的高”可知,只需作出∠DCE的平分线,则该平分线所在的直线就是要求作的垂线.例
利用直尺和圆规作一个等于45°的角.作法1.
作直线AB;2.过点A作直线AB的垂线AC;3.作∠CAB的平分线AD.
∠DAB就是要求作的角(如图13.4.8所示).如图13.4.9,已知直线l是线段AB的垂直平分线，则直线l是线段AB的对称轴,对l上的任意两点C、D,通过对折可以发现,总有CA=CB,DA=DB.由此，你能发现作垂直平分线的方法吗?如图13.4.10,已知线段AB,试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出线段AB的垂直平分线.第一步:分别以点A和点B为圆心、大于AB一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D;第二步:作直线CD.直线CD就是要求作的线段AB的垂直平分线.我们可以证明这样作出来的直线是符合要求的,即直线CD垂直平分线段AB.如图13.4.
11,连结CA、CB、DA、DB.∴AC=
BC,
AD=
BD,
CD
=
CD,∴△ACD≌△BCD(S.S.S.
),∴∠ACD
=∠BCD(全等三角形的对应角相等)，CD垂直平分线段AB(等腰三角形的“三线合一”).由于上面作出的直线CD与线段AB的交点就是AB的中点，因此我们可以用这种方法作出线段AB的中点，从而也可以作出任意一个三角形的三条中线.注意：1.掌握一些规范的几何作图语句.2.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于常用基本作图的地方，只需用一句话概括叙述即可.3.解决尺规作图问题，先作出符合条件的图形草图,在确定具体的作图方法.课堂练习
：1.如图，下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线．对应选项中作法错误的是( )A．①
B．②
C．③
D．④1.C2.下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高的是( )2.B3．已知△ABC(AC＜BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是
( )3.D
4、根据要求画图，并回答问题．已知：直线AB，CD相交干点O，且OE⊥AB．过点O画直线MN⊥CD；若点F是（1）所画直线MN上任意一点（O点除外），且∠AOC＝34°，求∠EOF的度数．解：（1）如图；
（2）如上图：①当F在OM上时，
∵EO⊥AB，MN⊥CD，
∴∠EOB＝∠MOD＝90°，
∴∠MOE＋∠EOD＝90°，
∠EOD＋∠BOD＝90°，
∴∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝34°；
②当F在ON上时，如图．在F'点时，
∵MN⊥CD，
∴∠MOC＝90°＝∠AOC＋∠AOM，
∴∠AOM＝90°-∠AOC＝56°，
∴∠BON＝∠AOM＝56°，
∴∠EOF'＝∠EOB＋∠BON＝90°＋56°＝146°，
?答：∠EOF的度数是34°或146°．
课堂小结
今天学习了哪些作图方法？
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13.4.2
尺规作图
数学华师版
八年级上
复习导入
我们上一节学习了哪些尺规作图呢？
1.作一条线段等于已知线段
2.作一个角等于已知角
3.作已知角的平分线
新知讲解
4.经过一已知点作已知直线的垂线
已知点与已知直线可以有两种不同的位置关系:
点在直线上，
点不在直线上.
因此要分别按这两种情况作图.
新知讲解
(1)经过已知直线上一点作已知直线的垂线.
已知直线AB和AB上一点C,
试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线.
A
C
B
新知讲解
如图13.4.6,由于点C在直线AB上，
因此所求作的垂线正好是平角ACB的平分线所在的直线.
第一步:作平角ACB的平分线CD;
第二步:反向延长射线CD.
直线CD就是要求作的垂线
A
B
D
图13.4.6
C
新知讲解
(2)经过已知直线外一点作已知直线的垂线.
已知直线AB和AB外一点C,试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线.
A
B
·C
新知讲解
如图13.4.7，若以点C为圆心，作能与直线AB相交于D、E两点的弧，则△CDE为等腰三角形.
由“等腰三角形顶角的平分线就是底边上的高”可知,只需作出∠DCE的平分线,则该平分线所在的直线就是要求作的垂线.
A
B
·
C
F
图13.4.7
D
E
新知讲解
作法
1.
作直线AB;
2.过点A作直线AB的垂线AC;
3.作∠CAB的平分线AD.
∠DAB就是要求作的角(如图13.4.8所示).
例
利用直尺和圆规作一个等于45°的角.
图13.4.8
A
B
C
D
新知讲解
思考
如图13.4.9,已知直线l是线段AB的垂直平分线，
则直线l是线段AB的对称轴,对l上的任意两点C、D,
通过对折可以发现,总有CA=CB,DA=DB.
由此，你能发现作垂直平分线的方法吗?
C
A
B
D
图13.4.9
新知讲解
如图13.4.10,已知线段AB,试按下列步骤用直尺和
圆规准确地作出线段AB的垂直平分线.
第一步:分别以点A和点B为圆心、大于AB一半的
长为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D;
第二步:作直线CD.
直线CD就是要求作的线段AB的垂直平分线.
图13.4.10
A
B
C
D
我们可以证明这样作出来的直线是符合要求的,即
直线CD垂直平分线段AB.
如图13.4.
11,连结CA、CB、DA、DB.
∴AC=
BC,
AD=
BD,
CD
=
CD,
∴△ACD≌△BCD(S.S.S.
),
∴∠ACD
=∠BCD(全等三角形的对应角相等)，
CD垂直平分线段AB(等腰三角形的“三线合一”).
图13.4.11
A
B
D
C
新知讲解
由于上面作出的直线CD与线段AB的交点就是AB的中点，因此我们可以用这种方法作出线段AB的中点，从而也可以作出任意一个三角形的三条中线.
新知讲解
注意：
1.掌握一些规范的几何作图语句.
2.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于常用基本作图的地方，只需用一句话概括叙述即可.
3.解决尺规作图问题，先作出符合条件的图形草图,在确定具体的作图方法.
新知讲解
1.如图，下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线．对应选项中作法错误的是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
C
课堂练习：
2.下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高的是( )
B
3．已知△ABC(AC＜BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是
( )
D
解：（1）如图；
（2）如上图：①当F在OM上时，
∵EO⊥AB，MN⊥CD，
∴∠EOB＝∠MOD＝90°，
∴∠MOE＋∠EOD＝90°，
∠EOD＋∠BOD＝90°，
∴∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝34°；
②当F在ON上时，如图．在F'点时，
∵MN⊥CD，
∴∠MOC＝90°＝∠AOC＋∠AOM，
∴∠AOM＝90°-∠AOC＝56°，
∴∠BON＝∠AOM＝56°，
∴∠EOF'＝∠EOB＋∠BON＝90°＋56°＝146°，
?答：∠EOF的度数是34°或146°．
