第二章　机械振动 4 单摆（65张PPT）

(共65张PPT)
4　单摆
第二章　机械振动
【学习目标】
1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时
回复力的来源.
2.知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式.
梳理教材
夯实基础
探究重点
提升素养
随堂演练
逐点落实
课时
对点练
【内容索引】
SHULIJIAOCAI　
HANGSHIJICHU
梳理教材　夯实基础
1
一、单摆及单摆的回复力
1.单摆的组成：由细线和　　组成.
2.理想化模型
(1)细线的质量与小球相比　　　　.
(2)小球的直径与线的长度相比　　　　.
3.单摆的回复力
(1)回复力的来源：摆球的重力沿　　　　方向的分力.
(2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成　　，方向总指向　　　　，即F＝－　
x.从回复力特点可以判断单摆做简谐运动.
小球
可以忽略
可以忽略
圆弧切线
正比
平衡位置
二、单摆的周期
1.单摆振动的周期与摆球质量　　(填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅　　(填“有关”或“无关”)，但与摆长　　(填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期　　(填“越大”“越小”或“不变”).
2.周期公式
(1)提出：周期公式是荷兰物理学家　　　首先提出的.
无关
无关
有关
(2)公式：T＝
，即周期T与摆长l的二次方根成　　
，与重力加速度g的二次方根成　
　，而与振幅、摆球质量　
　.
越大
惠更斯
正比
反比
无关
1.判断下列说法的正误.
(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力.(　　)
(2)单摆经过平衡位置时受到的合力为零.(　　)
(3)制作单摆的摆球越大越好.(　　)
(4)摆球的质量越大，周期越大.(　　)
(5)若单摆的振幅变为原来的一半，则周期也将变为原来的一半.(　　)
即学即用
×
×
×
×
×
2.一个理想的单摆，已知其周期为T.如果由于某种原因重力加速度变为原来的2倍，振幅变为原来的3倍，摆长变为原来的8倍，摆球质量变为原来的2倍，它的周期变为____.
返回
2T
TANJIUZHONGDIAN　
TISHENGSUYANG
探究重点　提升素养
2
导学探究
一、单摆的回复力
(1)单摆的回复力就是摆球所受的合外力吗？
答案　单摆的回复力不是摆球所受的合外力.单摆的运动可看成变速圆周运动，其重力可分解为沿悬线方向的分力和沿圆弧切线方向的分力，重力沿圆弧切线方向的分力提供使摆球沿圆弧振动的回复力.
(2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，合外力也为零吗？
答案　单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零.
知识深化
1.单摆的回复力
(1)摆球受力：如图1所示，摆球受细线拉力和重力作用.
(2)向心力来源：细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力.
(3)回复力来源：摆球重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin
θ提供了使摆球振动的回复力.
图1
2.单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，sin
θ≈
，又回复力F＝mgsin
θ，所以单摆的回复力为F＝－
x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动.
例1　图2中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中
A.摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用
B.摆球在A点和C点处，速度为零，合力与回复力也为零
C.摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
D.摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
√
命题角度1　单摆的回复力的理解
图2
解析　摆球在摆动过程中只受到重力和拉力作用，A错误；
摆球在摆动过程中，在最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大，C正确，B、D错误.
例2　如图3所示为一单摆的振动图像，则
A.t1和t3时刻摆线的拉力等大
B.t2和t3时刻摆球速度相等
C.t3时刻摆球速度正在减小
D.t4时刻摆线的拉力正在增大
图3
√
命题角度2　单摆运动过程分析
解析　由题图可知，t1和t3时刻摆球的位移相等，根据对称性可知单摆振动的速度大小相等，故摆线的拉力大小相等，故A正确；
t2时刻摆球在负的最大位移处，速度为零，t3时刻摆球向平衡位置运动，所以t2和t3时刻摆球速度不相等，故B错误；
t3时刻摆球正衡位置，速度正在增大，故C错误；
t4时刻摆球正远离平衡位置，速度正在减小，摆线的拉力也减小，故D错误.
二、单摆的周期
导学探究
答案　不等于.单摆的摆长l等于悬线的长度与摆球的半径之和.
单摆的周期公式为T＝2π
.
(1)单摆的摆长l等于悬线的长度吗？
答案　可能会.单摆的周期与所在地的重力加速度g有关，不同星球表面的重力加速度可能不同.
(2)将一个单摆移送到不同的星球表面时，周期会发生变化吗？
知识深化
1.惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟.
2.单摆的周期公式：T＝2π
.
3.对周期公式的理解
(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和准确值相差0.01%).
(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球.
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定.
(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期.
例3　如图4所示，图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置.设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，根据图像回答：
命题角度1　单摆周期公式的应用
图4
(1)单摆振动的频率是多大？
答案　1.25
Hz
解析　由单摆振动图像得T＝0.8
s，
(2)开始时刻摆球在何位置？
答案　在B点
解析　开始时刻摆球在负方向最大位移处，故开始时刻摆球在B点.
(3)若当地的重力加速度为9.86
m/s2，则这个摆的摆长是多少？
答案　0.16
m
针对训练　(2021·吉林白城市洮南十中月考)甲、乙两个单摆的振动图像如图5所示，根据振动图像可以判定
A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆
　摆长之比是9∶4
B.甲、乙两单摆振动的频率之比是4∶9
C.甲、乙两单摆振动的周期之比是3∶2
D.若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲、乙两单摆所在
　地点的重力加速度之比为9∶4
图5
√
例4　如图6所示，MN为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一个小球B放在MN上离最低点C很近的B处(弧BC所对圆心角小于5°)，今使两小球同时静止释放，则
A.球A先到达C点
B.球B先到达C点
C.两球同时到达C点
D.无法确定哪个球先到达C点
命题角度2　单摆模型的拓展
图6
√
故tA返回
当弧BC所对的圆心角小于5°时，球B在圆弧的支持力FN和重力G的作用下做简谐运动(与单摆类似)，
SUITANGYANLIAN　
ZHUDIANLUOSHI
随堂演练　逐点落实
3
1.(对单摆回复力的理解)一单摆做小角度摆动，其振动图像如图7所示，以下说法正确的是
1
2
3
图7
A.t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零
B.t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小
C.t3时刻摆球速度最大，摆球的回复力最大
D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大、
√
解析　由题图可知t1时刻摆球在正向最大位移处，速度为零，回复力最大，合外力不为零，故A错误；
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3
t2时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故B错误；
t3时刻摆球在负向最大位移处，速度为零，回复力最大，故C错误；
t4时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故D正确.
2.(单摆周期公式的应用)惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟.摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制.旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图8所示.以下说法正确的是
A.当摆钟不准确时需要调整圆盘的位置
B.摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移
C.由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆下移
D.把摆钟从福建移到北京应使圆盘沿摆杆上移
√
1
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3
图8
摆钟快了，周期小，则需将摆长增大，增大周期，B错误；
由冬季变为夏季时摆杆受热伸长，则需上移圆盘，C错误；
摆钟从福建移到北京，重力加速度增大，则需将摆长增大，下移圆盘，D错误.
1
2
3
3.(单摆周期公式的应用)(2021·白城市洮南十中月考)如图9所示，摆长为L的单摆，周期为T.如果在悬点O的正下方的B点固定一个光滑的钉子，OB的距离为OA长度的
，使摆球A(半径远小于L)通过最低点向左摆动，悬线被钉子挡住成为一个新的单摆，则下列说法中正确的是
1
2
3
图9
A.单摆在整个振动过程中的周期不变
B.单摆在整个振动过程中的周期将变大为原来的
倍
C.单摆的整个振动过程中的周期将变小为原来的
D.单摆的整个振动过程中的周期无法确定
√
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2
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返回
KE
SHI
DUI
DIAN
LIAN
课时对点练
4
考点一　单摆及单摆的回复力
1.下列有关单摆的说法，正确的是
A.一根橡皮筋一端系在悬点，另一端连接一个小球，可以构成一个单摆
B.单摆的摆动一定是简谐运动
C.若单摆在同一平面内摆动，且偏角小于5°，可以认为该单摆的运动
　是简谐运动
D.单摆做简谐运动时，摆长越长，其运动周期越小
√
基础对点练
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解析　一根不可伸长的细绳一端系在悬点，另一端连接一个质量较大且可以看成质点的小球可以构成一个单摆，橡皮筋受到拉力时形变量较大，连接小球构成的装置不可看成单摆，A错误；
若单摆在同一平面内摆动，且偏角小于5°，可以认为该单摆的运动是简谐运动，B错误，C正确；
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根据单摆的周期公式T＝2π　　可知，单摆做简谐运动时，摆长越长，其运动周期越大，D错误.
2.下列有关单摆运动过程中受力的说法，正确的是
A.单摆做简谐运动的回复力是重力和摆线拉力的合力
B.单摆做简谐运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力
C.单摆经过平衡位置时所受合力为零
D.单摆做简谐运动的回复力是摆线拉力的一个分力
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解析　单摆运动时是在一段圆弧上，因此单摆运动过程中不仅有回复力，而且有向心力，即单摆所受的合力不仅要提供回复力，还要提供向心力，选项A错误；
单摆做简谐运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的一个分力，选项B正确，D错误；
单摆经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合力不为零，选项C错误.
3.(2020·衡阳市检测)关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论中正确的是
A.摆球受重力、摆线的拉力、回复力、向心力的作用
B.摆球的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大
C.摆球的回复力最大时，摆线中的拉力大小比摆球的重力大
D.摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向
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解析　单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，故A错误；
重力垂直于摆线的分力提供回复力，当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，此时摆线的拉力等于重力沿摆线的分力，则摆线的拉力小于重力；在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故C、D错误，B正确.
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考点二　单摆的周期公式
4.如图1所示是一个单摆(θ<5°)，其周期为T，则下列
说法正确的是
A.仅把摆球的质量增加一倍，其周期变小
B.摆球的振幅变小时，周期也变小
C.此摆由O→B运动的时间为
D.摆球在B→O过程中，动能向势能转化
图1
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解析　单摆的周期与摆球的质量无关，A错误；
单摆的周期与振幅无关，B错误；
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摆球在B→O过程中，势能转化为动能，D错误.
5.将秒摆(周期为2
s)的周期变为4
s，下面哪些措施是正确的
A.只将摆球质量变为原来的
B.只将振幅变为原来的2倍
C.只将摆长变为原来的4倍
D.只将摆长变为原来的16倍
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6.同一地点两个做简谐运动的单摆的摆长分别为l1和l2，它们的位移—时间图像如图2中1和2所示，由此可知，l1∶l2等于
A.1∶3
B.4∶1
C.1∶4
D.9∶1
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图2
解析　由题图可知，1和2两个单摆的周期之比为T1∶T2＝3∶1，由单摆的周期公式T＝2π　　
得l1∶l2＝T12∶T22＝9∶1，选D.
7.如图3所示，在两根等长的细线下悬挂一个小球(体积可忽略)，组成了双线摆，若细线长均为l，两线与天花板的夹角均为α，重力加速度为g，当小球垂直纸面做简谐运动时，周期为
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8.(2020·遂宁市高二下期末)甲、乙两单摆在同一地点做简谐运动的振动图像如图4所示，可知
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A.甲、乙两单摆的频率之比为2∶1
B.甲、乙两单摆的摆长之比为2∶1
C.0.5～1.0
s时间内，甲摆球的速度减小
D.t＝0.5
s时甲摆球势能最大，乙摆球动能最大
图4
√
解析　由题图知，甲、乙两单摆的周期分别为2.0
s、1.0
s，则周期之比为2∶1，频率之比为1∶2，A错误；
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0.5～1.0
s时间内，甲摆球从最大位移处向平衡位置运动，故甲摆球的速度增大，C错误；
t＝0.5
s时，甲摆球在最大位移处，甲摆球的势能最大，乙摆球的位移为0，处在平衡位置，速度最大，则乙摆球的动能最大，D正确.
9.如图5甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示.不计空气阻力，g取10
m/s2.对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是
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A.单摆的位移x随时间t变化的关系式
　为x＝8sin
(2πt)
cm
B.单摆的摆长约为1
m
C.从t＝2.5
s到t＝3
s的过程中，摆球
　的重力势能逐渐增大
D.从t＝2.5
s到t＝3
s的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小
图5
√
解析　由振动图像可读出周期T＝2
s，振幅A＝8
cm，由ω＝得到圆频率ω＝　π
rad/s，则单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝Asin
ωt＝8sin
(πt)
cm，故A错误；
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从t＝2.5
s到t＝3
s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，重力势能减小，摆球的位移减小，回复力减小，速度增大，所需向心力增大，绳子的拉力增大，故C、D错误.
10.(2020·太原市现代双语学校期中)将一单摆向左拉至水平标志线上，从静止释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到障碍物，摆球继续向右摆动.用频闪照相机拍到如图6所示的单摆运动过程的频闪照片，以下说法不正确的是
能力提升练
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A.这个实验说明了动能和势能可以相互转化，转化过
　程中机械能守恒
B.摆线碰到障碍物前后的摆长之比为9∶4
C.摆球经过最低点时，线速度不变，做圆周运动的半
　径减小，摆线张力变大
D.摆球经过最低点时，角速度变大，做圆周运动的半径减小，摆线张力不变
图6
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解析　摆线即使碰到障碍物，摆线的拉力不做功，只有重力做功，所以其仍能回到原来的高度，机械能守恒，故A正确；
摆球经过最低点时，线速度不变，做圆周运动的半径变小，根据F－mg＝m　知，张力变大，根据v＝ωr，知角速度变大，故C正确，D错误.
11.(2020·烟台市高二上期中)如图7所示，一个光滑弧形凹槽半径为R，弧长为L(已知R?L).现将一质量为m的小球从凹槽边缘由静止释放，小球以最低点为平衡位置做简谐运动.已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是
A.小球做简谐运动的回复力为重力和支持力的合力
B.小球做简谐运动的回复力为重力沿凹槽圆弧切线方向
　的分力
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解析　小球做简谐运动的回复力为重力沿凹槽圆弧切线方向的分力，A错误，B正确；
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小球运动到凹槽最低点时所受合力提供向心力，不为零，D错误.
12.如图8所示，一单摆悬于O点，摆长为L，若在O点正下方的O′点钉一个光滑钉子，使OO′＝
.将摆球拉至A处由静止释放，小球将在A、C之间来回振动，若振动过程中摆线与竖直方向的夹角小于5°，重力加速度大小为g，则以下说法正确的是
A.由于机械能守恒，可得摆角大小不变
B.A点高于C点
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解析　摆球在运动过程中，摆线的拉力不做功，只有重力做功，其机械能守恒，可知A和C两点在同一水平面上，由于摆长会发生变化，所以摆角大小是变化的，A、B错误；
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13.(2020·长沙市调研)将一个力电传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力.图9甲中O点为单摆的固定悬点，将质量为m＝0.05
kg的小摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，静止释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置，∠AOB＝∠COB＝θ，θ小于
图9
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5°且是未知量.由计算机得到的细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线如图乙所示，图中t＝0时刻为摆球从A点开始运动的时刻.试根据力学规律和题中所给的信息求：(g取10
m/s2，π≈3.14)
(1)单摆的振动周期和摆长；
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答案　见解析
解析　摆球在一个周期内两次经过最低点，根据该规律并结合图像可知，周期T＝0.4π
s≈1.256
s.
(2)摆球运动过程中的最大速度.
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答案　见解析
解析　在最低点B时，摆球的速度最大，此时细线对摆球的拉力最大.
解得最大速度v＝0.2
m/s.
14.如图10所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心O′的正下方，一小球甲(可视为质点)由距O点很近的A点由静止释放，R?
.
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尖子生选练
图10
(1)若小球甲释放的同时，另一小球乙(可视为质点)从球心O′处自由落下，求两球第一次到达O点的时间之比；
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解析　甲球沿圆弧做简谐运动，它第一次到达O点的时间为
乙球做自由落体运动，到达O点的时间为t2
(2)若小球甲释放的同时，另一小球丙(可视为质点)在O点正上方某处自由落下，为使两球在O点相碰，小球应由多高处自由落下？
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解析　小球甲从A点由静止释放运动到O点的时间为
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由O点正上方自由落下的小球丙到达O点的时间也为t时两球才能在O点相碰，
本课结束