2022届新高考一轮复习 第四章 导数及其应用 第6讲 多变量问题 教案（含解析）

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第四章
导数及其应用
第6讲
多变量问题
学习要求：
1．能够运用消元、控制变量、变换主元等方法处理多个变量的问题．
2．体会运动变化的思想．
题型总结：
1两个独立自变量问题
【例1】已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证．
【变式1．1】已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；
（2）若在定义域上是增函数，求实数的取值范围；
（3）设、，且，求证：．
2两个关联自变量问题
【例2】已知函数有两个不同的极值点．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，使成立，求实数t的取值范围．
【变式2．1】已知函数．
（1）若是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；
（2）若在定义域上有两个极值点，，证明：．
【例3】已知函数．
（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；
（2）若有两个零点，，且，证明：．
【变式3．1】已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若函数恰有两个极值点，且，求的最大值．
【例4】已知函数，．
（1）讨论的零点个数；
（2）若有两个极值点，，且，证明：．
【变式4．1】已知函数．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若有两个极值点分别为，，求的最小值．
导数中求解双变量问题的一般步骤：
（1）先根据已知条件确定出变量满足的条件；
（2）将待求的问题转化为关于的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及的式子转化为关于的式子，将问题转化为关于自变量（亦可）的函数问题；②通过的乘积关系，用表示（用表示亦可），将双变量问题替换为（或）的单变量问题；
（3）构造关于或的新函数，同时根据已知条件确定出或的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解．
课后作业
一、解答题．
1．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：，，．
2．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，对于任意，证明：．
3．已知函数，．
（1）若存在单调递增区间，求的取值范围；
（2）若，为的两个不同极值点，证明：．
4．已知函数（）．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若函数恰有两个极值点，（），且，求的最大值．
5．已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）设为的导函数，若是函数的两个不相等的零点，
求证：．
6．已知函数，．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若存在两个极值点，且，求的取值范围．
因此切线方程是，即．
（2）函数定义域是，，
恒成立，因此由有两个极值点得在上有两个不等的实根．
∴，解得，
，，因此有，
则由得，
令，
，
时，，单调递减，∴，
∴．
第四章
导数及其应用
第6讲
多变量问题
学习要求：
1．能够运用消元、控制变量、变换主元等方法处理多个变量的问题．
2．体会运动变化的思想．
题型总结：
1两个独立自变量问题
【例1】已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）解：的定义域为，，
令，方程的判别式．
（i）当，即时，恒成立，
即对任意，，
所以在上单调递增．
（ii）当，即或，
①当时，恒成立，
即对任意，，
所以在上单调递增；
②当时，由，解得，，
所以当时，；当时，；当时，，
所以在上，；
在上，，
所以函数在和上单调递增；
在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：由，可得，
得，因此，
因为，
令，则，，
所以，，所以，
要证明，只需证，
即证，
由（1）可知，时，在上是增函数，
所以当时，，
而，因此成立，所以．
【变式1．1】已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；
（2）若在定义域上是增函数，求实数的取值范围；
（3）设、，且，求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．
【解析】（1）解：，，
在点处的切线与直线平行，
．
（2）证：由，得，
在定义域上是增函数，在上恒成立，
，即恒成立，
，
当且仅当时，等号成立，，
即的取值范围是．
（3）证：不妨设，则，
要证，即证，即，
设，
由（2）知在上递增，，
故，成立．
2两个关联自变量问题
【例2】已知函数有两个不同的极值点．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，使成立，求实数t的取值范围．
【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）．
【解析】（1）由题可得，
因为函数有两个不同的极值点，
所以方程有两个不相等的正实数根，
则，解得，
又，，
故的单调增区间为，单调减区间为．
（2）若，使成立，
则，
因为
，
设，则，
故在上单调递增，
故，所以，
所以实数的取值范围是．
【变式2．1】已知函数．
（1）若是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；
（2）若在定义域上有两个极值点，，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】解：（1），，
令，则，
，对称轴．
①当时，，，，
故在单调递减；
②当时，，
方程有两个不相等的正根，，
不妨设，则当时，，
当时，，这时不是单调函数，
综上，的取值范围是．
（2）由（1）知，当，有极小值点和极大值，
且，，
，
令，
则当时，，
在单调递减，
所以，故．
【例3】已知函数．
（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；
（2）若有两个零点，，且，证明：．
【答案】（1）恒过定点，证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）函数的定义域为，
由，得，则，
又，则曲线在点处的切线的方程为，即，显然恒过定点．
（2）若有两个零点，，则，，得．
因为，令，则，
得，则，
所以．
令，则，
令，则，
则在上单调递增，所以，
所以，则在上单调递增，
所以，即，故．
【变式3．1】已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若函数恰有两个极值点，且，求的最大值．
【答案】（1）在上单调递增；（2）最大值为3．
【解析】（1）函数的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令，则，
设，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
∴，
∴，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递增．
（2）依题意，，则，
两式相除得，设，则，，，
∴，，∴，
设，则，
设，则，
∴在单调递增，则，
∴，则在单调递增，
又，即，而，
∴，即的最大值为3．
【例4】已知函数，．
（1）讨论的零点个数；
（2）若有两个极值点，，且，证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）函数的定义域为，，
令，
时，因为，，，
所以在上单调递增，
又，故有且只有个零点；
时，，，
在上单调递增，
又，故有且只有个零点；
时，有两正根，
，，
由于，所以，，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
因为，，所以在上有个零点，且，，
又，，且，，
所以在，上各有个零点．
综上所述，当时，有且只有个零点；
当时，有个零点．
（2）证明：由（1）知，存在两个极值点当且仅当，
由于的两个极值点，满足，
所以，，
不妨设，则，则，
，
所以等价于，即，
令，
则
，
所以在上单调递减，所以，
所以．
【变式4．1】已知函数．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若有两个极值点分别为，，求的最小值．
【答案】（1）；（2）最小值为．
【解析】（1）因为，
所以，
由，得或．
①当时，因为，不满足题意；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
于是，解得，
所以的取值范围为．
（2）函数，定义域为，，
因为，是函数的两个极值点，所以，是方程的两个不等正根，
则有，，，得，
对称轴，故，．
且有，，
，
令，则，
，，
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以，
所以的最小值为．
导数中求解双变量问题的一般步骤：
（1）先根据已知条件确定出变量满足的条件；
（2）将待求的问题转化为关于的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及的式子转化为关于的式子，将问题转化为关于自变量（亦可）的函数问题；②通过的乘积关系，用表示（用表示亦可），将双变量问题替换为（或）的单变量问题；
（3）构造关于或的新函数，同时根据已知条件确定出或的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解．
课后作业
一、解答题．
1．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：，，．
【答案】（1）单调递减区间，单调递增区间为；（2）证明见解析．
【解析】（1）由，则，，
，
令，解得；令，解得，
所以函数的单调递减区间，单调递增区间为．
（2）证明：，要证明．
即证明，
即证明．
令，，且，
，所以函数在上单调递减，
则，
由，则，，
所以，
即，，成立．
2．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，对于任意，证明：．
【答案】（1）当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是；（2）证明见解析．
【解析】（1）的定义域为，且，
则，
当时，，此时在上单调递增，
，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增，
，此时在上单调递减．
综上可知：当时，的增区间是，减区间是；
当时，的增区间是，减区间是．
（2）由，，，
由于，所以．
设，
故
，
令，则，
由于，故，则在上单调递增，
故，
即：所证不等式成立．
3．已知函数，．
（1）若存在单调递增区间，求的取值范围；
（2）若，为的两个不同极值点，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）函数定义域为，根据题意知有解，
即有解，
令，，
且当时，，单调递增；当时，，单调递减，
，．
（2）由是的不同极值点，知是的两根，
即，①，联立可得②，
要证，
由①代入即证，即，
由②代入可得③，
且由上一问可知，
若，则③等价于，
令（），问题转化为证明④成立，
而，
在上单调递增，当，，所以④成立，得证．
若，则③等价于，
令，问题转化为证明⑤成立，
而，
在上单调递增，当，，⑤成立，得证．
4．已知函数（）．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若函数恰有两个极值点，（），且，求的最大值．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1）函数的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令，则，
设，则，
易知，当时，，单调递减；当时，，单调递增，
∴，
∴，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递增．
（2）依题意，，则，
两式相除得，设，则，，，
∴，，∴，
设（），则，
设，则，
所以在单调递增，则，
∴，则在单调递增，
又，且，
∴，
∴，即的最大值为．
5．已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）设为的导函数，若是函数的两个不相等的零点，
求证：．
【答案】（1）极大值为，无极小值；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题可知，，
，
令，解得；令，解得，
故函数在单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值为，
综上可知，函数的极大值为，无极小值．
（2）依题意，所以是的两个不相等的正实数根，则，解得，
，
令，则，
所以在上单调递减，
所以，
即．
6．已知函数，．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若存在两个极值点，且，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意，，
又，
因此切线方程是，即．
（2）函数定义域是，，
恒成立，因此由有两个极值点得在上有两个不等的实根．
∴，解得，
，，因此有，
则由得，
令，
，
时，，单调递减，∴，
∴．
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