3.3 幂函数同步测试—2021-2022学年上学期人教A版（2019）必修第一册第三章

3.3
幂函数
一、单选题
1．下列函数中，不是幂函数的是（
）
A．y＝2x
B．y＝x－1
C．y＝
D．y＝x2
2．已知幂函数的图象经过点(2，4)，则f(-2)＝（　　）
A．-9
B．9
C．4
D．-4
3．已知幂函数y＝
(m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于（
）
A．1
B．0，2
C．－1，1，3
D．0，1，2
4．若函数为幂函数，且在单调递减，则实数的值为（
）
A．0
B．或
C．1
D．2
5．已知，，，则（
）.
A．
B．
C．
D．
6．如果幂函数的图象不过原点，则实数m的取值为（
）
A．1
B．2
C．1或2
D．无解
7．函数是幂函数，则下列结论正确的是(　　)
A．
B．
C．
D．以上都不对
8．幂函数在上单调递增，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．或
二、多选题
9．已知幂函数的图像经过，则幂函数具有的性质是（
）
A．在其定义域上为增函数
B．在上单调递减
C．奇函数
D．定义域为
10．已知函数为幂函数，则该函数为（
）
A．奇函数
B．偶函数
C．区间上的增函数
D．区间上的减函数
11．设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值有（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知幂函数，对任意，且，都满足，若且，则下列结论可能成立的有（
）
A．
且
B．
且
C．
且
D．以上都可能
三、填空题
13．已知幂函数的图象过点，则______.
14．若函数是幂函数，且是偶函数，则m＝____________.
15．已知幂函数在为增函数，则实数的值为___________.
16．已知幂函数过定点，且满足，则的范围为________．
四、解答题
17．已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
18．已知函数是幂函数，求的值．
19．比较下列各组数的大小：
（1）和；（2）和；（3）和；
20．已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若实数，（，）满足，求的最小值．
参考答案
1．A
【解析】为指数函数；，，为幂函数；故选：A.
2．C
【解析】依题意，设幂函数，于是得，解得，则有，
所以.故选：C
3．C
【解析】∵幂函数y＝(m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，
∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数，
由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z，∴m＝－1，0，1，2，3.
当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；
当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；
当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意．
综上所述，m＝－1，1，3.故选：C.
4．C
【解析】由于函数为幂函数，
所以，解得或，
时，，在上递减，符合题意.
时，，在上递增，不符合题意.
故选：C
5．C
【解析】，，，且幂函数在上单调递增，指数函数在上单调递增，则，故选：C.
6．C
【解析】由幂函数的定义得m23m+3=1，解得m=1或m=2；
当m=1时，m2m2=2，函数为y=x-2，其图象不过原点，满足条件；
当m=2时，m2m2=0，函数为y=x0，其图象不过原点，满足条件.
综上所述，m=1或m=2.故选：C.
7．A
【解析】∵为幂函数，∴，即，∴，
∴在上是增函数，且，∴．故选：A
8．A
【解析】幂函数在上单调递增，
，且，解得或，
当时符合题意；
当时不符合题意；故选：．
9．BC
【解析】设幂函数，幂函数图象过点，，
，
定义域为，满足，是奇函数，值域为，在定义域内不单调，在上单调递减.故选：BC
10．BC
【解析】由为幂函数，得，即m=2，
则该函数为，故该函数为偶函数，且在区间上是增函数，故选：BC.
11．BC
【解析】时，的定义域是，不正确；
时，函数的定义域是，且是奇函数，故正确；
是，函数的定义域是，且是奇函数，故正确；
时，函数的定义域是，不正确.
故选：BC
12．BC
【解析】因为为幂函数，所以，解得：m=2或m=-1.
因为任意，且，都满足，
不妨设，则有，所以为增函数，
所以m=2，此时，
因为，所以为奇函数.
因为且，所以.
因为为增函数，所以，所以.故BC正确.
13．
【解析】设，则，所以.
14．
【解析】因为函数是幂函数，所以，解得：或，
当时，函数是偶函数，成立，
当时，函数是奇函数，不成立.
故答案为：
15．4
【解析】为递增的幂函数，所以，即，
解得：，
16．
【解析】设幂函数，其图象过点，
所以，即，解得：，所以，因为，
所以为奇函数，且在和上单调递减，
所以可化为，
可得，解得：，所以的范围为，
17．【解析】（1）∵，∴，∵，
∴，即或2，
∵在上单调递增，为偶函数，∴，即．
(2)∵
∴，，，
∴，即的取值范围为．
18．【解析】因为是幂函数，
所以，解得，所以．
19．【解析】（1）函数在(0，＋∞)上为单调减函数，又3<3.1，所以；
（2），函数在(0，＋∞)上为单调增函数，
又，即；
（3），
函数在(0，＋∞)上为单调减函数，又，
所以，即.
20．【解析】（1）．，，，（）
即或，在上单调递增，为偶函数，
即，
（2），
，，，∴
（3）由题可知，
，
当且仅当，即，时等号成立．
所以的最小值是2．