2.2 基本不等式同步测试—2021-2022学年上学期人教A版（2019）必修第一册第二章

2.2基本不等式
一、单选题
1．已知，则的最小值为（
）
A．4
B．2
C．8
D．6
2．已知，，且，，，那么的最大值为（
）
A．
B．
C．1
D．2
3．若，则函数的最小值为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
4．设x，y为正数，则的最小值为（
）
A．6
B．9
C．12
D．15
5．设，则的最大值为（
）
A．3
B．
C．
D．－1
6．已知，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．若，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．﹣8≤m≤1
B．m≤﹣8或m≥1
C．﹣1≤m≤8
D．m≤﹣1或m≥8
二、多选题
9．下列说法正确的是（
）
A．的最小值是
B．的最小值是
C．的最小值是
D．的最小值是
10．下列函数的最小值为的有（
）
A．
B．
C．
D．
11．若正实数，满足，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．若，则下列不等式中恒成立的有（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．点是一次函数图象上一动点，则的最小值是______．
14．已知x，y都是正数，若，则的最小值为_________．
15．已知，且，则最小值为__________．
16．已知正数x，y满足，则的最小值是___________．
四、解答题
17．（1）已知，求的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值．
18．已知x＞0，y＞0，z＞0，求证：
≥8.
19．已知a，b，c为正实数，且，证明．
20．（1）若正实数，满足，求的最小值；
（2）若实数，满足，求的最大值.
21．已知，，．
（1）求证：；
（2）求证：．
22．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.
参考答案
1．C
【解析】由于，所以，当且仅当时等号成立.
故选：C
2．C
【解析】根据题意，，，，
则，当且仅当时等号成立，即的最大值为1.故选：
3．D
【解析】若，则，，
当且仅当，即时，取等号，所以函数的最小值为8.
故选：D.
4．B
【解析】，
因为x，y为正数，所以（当且仅当时取等号，即当时取等号），因此，故选：B
5．C
【解析】
，，
当时，即时，等号成立.故选：C
6．C
【解析】，
当且仅当，即时取等号.所以的最大值为.故选：C
7．C
【解析】，，
则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故选：．
8．A
【解析】∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，
∴（x+2y）（）4≥4+28．（当，即x＝2y时取等号），
∵不等式m2+7m成立，∴m2+7m≤8，求得﹣8≤m≤1．故选：A．
9．AB
【解析】当时，（当且仅当，即时取等号），A正确；
，因为，所以，B正确；
，当且仅当，即时，等号成立，显然不成立，故C错误；
当时，，D错误.
故选:AB.
10．AD
【解析】对于A，，当且仅当时等号成立，
，故A正确.
对于B，取，则，故B不正确.
对于C，，因为无解，故等号不成立，故不是4，
故C错误.
对于D，，当且仅当即时等号成立，
故D正确.
故选：AD.
11．CD
【解析】,,且,,,A错误;
,
,B错误;,
,C正确;,
,D正确.
故选CD
12．ACD
【解析】A：因为，所以恒成立，
B：当时，显然成立，但是不成立，
C：因为，所以
（当且仅当时取等号，即时取等号），所以本选项符合题意；
D：因为，所以（当且仅当时取等号，即或时取等号），所以本选项符合题意，
故选：ACD
13．
【解析】由题意可知，又因为，
所以，当且仅当即时等号成立．
所以的最小值是.
14．
【解析】．
当且仅当即时取“=”，
15．
【解析】由于，且，所以，
.
当且仅当时等号成立，此时.
16．
【解析】，，
，
当且仅当，即时等号成立，
17．【解析】（1）∵，即，
，
当且仅当，即时取等号，∴的最小值为7．
，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为.
18．【解析】因为x＞0，y＞0，z＞0，所以，，，
所以
≥＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立.
所以
≥8.证毕.
19．【解析】因为，且，
所以（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），
三式相加，得，
即（当且仅当时取等号）.
20．【解析】（1）因为，
设，即，即，
所以，则，
当且仅当且，即，时等号成立.
所以的最小值为.
（2），
所以，所以，
当且仅当且，即时等号成立.
所以的最大值是.
21．【解析】（1），当且仅当时，等号成立．．
（2）．（当且仅当时，等号成立）．
22．【解析】（1），
当且仅当时，即取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）
又，∴当时，.
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.