安徽省霍邱第一高级中学校2021-2022学年高二上学期教学点选拔性考试数学试题（Word版含答案解析）

霍邱第一高级中学校2021年教学点选拔性考试
高二数学试卷
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分100分，考试时间90分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答題卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，，则（　　）
A.
B.
C.
D.
2.复数对应的点在复平面内的（　　）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.为了解应届大学毕业生工作之初的薪資情况，随机调查了12名应届大学毕业生，他们的工作之初的基本工资分别为：2850，2950，3050，2880，2755，2710，2890，3130，2940，3325，2920，2880，则样本的第85百分位数是（　　）
A.3050
B.2950
C.3130
D.3325
4.关于的方程有正实数解的一个必要不充分条件是（　　）
A.
B.
C.
D.
5.若“，”是假命题，则实数的取值范围为（　　）
A.
B.
C.
D.
6.设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（　　）
A.
B.
C.
D.
7.下列关于函数及其图象的说法正确的是（　　）
A.
B.最小正周期为
C.函数图象的对称中心为点
D.函数图象的对称轴方程为
8.在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
9.若向量与的夹角为，，则__________.
10.在新冠肺炎防控期间，从国外归来的人，必须进行必要的隔离与核酸检测，甲、乙、丙3人从1国外某高风险地区归来，3人核酸检测是阳性的概率分别为，，，且各自检测是否为阳性相互独立，则这3人中佮好有2人核酸检测是阳性的概率是__________.
11.如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，的中点，是的中点.现在沿，及把这个正方形折成一个空间图形.使B，C，D三点重合，重合后的点记为.则__________.，三棱锥的体积为__________.（本小题第一空2分，第二空3分）
三、解答题：共61分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
12.（本小题满分12分）
已知，
（1）求的值；
（2）求的值.
13.（本小题满分12分）
地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会的发展，科技的进步，人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”.2021年6月8日，某大学的行政主管部门从该大学随机抽取100名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩（单位：分）分组如下：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图如下图：
（1）求实数a的值
（2）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生组成中国海洋实地考察小队，出发前用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副队长，列举出所有的基本事件并求“抽取的2人为不同组”的概率.
14.（本小题满分12分）
在中.角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，.的面积为，求的周长.
15.（本小题满分12分）
如图1，在平行四边形中，，，现将沿折起，得到三棱锥（如图2），且平面平面，点E为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）在的角平分线上是否存在点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.
16.（本小题满分13分）
设函数.
（1）当时，求的值域；
（2）若有且只有一个零点，求实数m的取值范围.
霍邱第一高级中学校2021年教学点选拔性考试·高二数学试卷
参考答案、提示及评分细则
1.A因为，所以，所以，所以.又，所以，所以.故选A.
2.D∵，∴其对应的点为，在第四象限.
3.C将这组数据从小到大排列为：2710，2755，2850，2880，2880，2890，2920，2940，2950，3050，3130，3325，由，可知样本数据的第85百分位数为第11个数，即为3130.故选C
4.A因为，当时，，故关于的方程有正实数解的充要条件是，所以选项B，C，D都是方程有正实数解的充分条件，排除选项B，C，D，故选A.
5.B因为“，”是假命题，所以“，”是真命题，即存在，使成立.又等号仅当，即时成立，所以只要，解得.故选.
6.C因为是定义域为的偶函数，所以.
又因为，且函数在上单调递减，所以.故选C.
7.D∵，
∴，且的最小正周期为.令，则，故函数图象的对称中心为点；令，则，所以函数图象的对称轴方程为故选D.
8.B因为，，所以，可得
，取的中点O.连接，.由直角三角形斜边中线的性质得：
，所以O为外接球的球心.所以球的半径，所以三棱锥外接球的表面积为.故选B.
9.
，所以.
10.设甲、乙丙3人核酸检测是阳性的事件分别为A，B，C，则，，，这3人中恰好有2人核酸检测是阳性的概率.
11.
因为，所以，又因为，所以平面，且平面，所以，因为正方形的边长为2，则，即，所以，在中，，三棱锥的体积.
12.解：（1）
（2）因为，所以.
因为，所以.
13.解：（1）据题意，得，
∴.
（2）据题意知.随机抽取100名大学生中第四组有20人，
第五组有10人，
∴抽取6名学生中有第四组人，即4人，
抽取6名学生中有第五组人，即2人.
设6人中来自第四组的4人为a，b，c，d.来自第五组的2人为A，B.从中抽取2人的所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中2人来自不同组的事件有，..，...共8种
∴所求的概率，
14.解因为，且，
所以，
所以.
又，所以或，所以或.
（2）由（1）及，得.
因为，所以.
又
所以.
所以，所以.
即的周长为12.
15.（1）证明：在中，有，
又因为为侧棱的中点，所以.
在中，，又平面平面，
平面平面，
平面，所以平面.
因为平面，所以.
因为平面，所以平面.
（2）解：取中点，连接并延长至点，使，连接，，.
因为，所以射线是角的角分线.
又因为点E是的中点，所以.
因为平面.平面，所以平面.
因为，互相平分，故四边形为平行四边形，有.
又因为，所以有，
又因为，，故.
16.解：（1）当时，，
令，，.
当时，，
所以的值域为.
即的值域为.
（2）因为，
设，则有且只有一个零点等价于方程有且只有一个正实根..
（1）若有一根为0时，则，即，
则，所以，不合题意，舍去；
（2）若有一正实根和一负实根时，则，即；
（3）若有两相等正实根时，则，无解.
综上，实数的取值范围是.