2.5.1等比数列前n项和教案-2021-2022学年高二下学期数学人教A版必修5

《等比数列的前n项和》教案
●教学目标
掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题；经历等比数列前n
项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题；在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
●教学重点
等比数列的前n项和公式推导
●教学难点
灵活应用公式解决有关问题
●教学过程
[提出问题]“国王对国际象棋的发明者的奖励”
[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。
等比数列的前n项和公式：
当时，
①
或
②
当q=1时，
当已知,
q,
n
时用公式①；当已知,
q,
时，用公式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列它的前n项和是
由
得
∴当时，
①
或
②
当q=1时，
公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
根据等比的性质，有
即
（结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：
＝
＝＝
（结论同上）
[解决问题]
有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。
由可得
==。
这个数很大，超过了。国王不能实现他的诺言。
●重难点讲解
2．等比数列的前n项和的常用性质
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{}中，公比为q．
①若共有2n项，则：＝q；
②若共有2n＋1项，则－＝(q≠1且q≠－1)．
(2)“片断和”性质：等比数列{}中，公比为q，前m项和为
(≠0)，则，－,－，…，－…构成公比为的等比数列，即等比数列的前m项的和与以后依次m项的和构成等比数列．
(3)“相关和”性质：＝＋
＝(q为公比)．
[例题讲解]
【例1】已知等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比与项数．
【点拨】由题目可获取以下主要信息：
①等比数列的奇数项与偶数项分别依次构成等比数列；
②当项数为2n时，：＝q．
解答本题的关键是设出项数与公比，然后建立方程组求解．
【解析】设此等比数列共2n项，公比为q．
由于≠，∴q≠1．
由于奇数项依次组成以为首项，以q2为公比的等比数列，
故所有奇数项之和为＝＝85
①
同理可得所有偶数项之和为
＝＝170
②
②÷①，得q＝2，代入①得＝256，
解得2n＝8，所以这个数列共8项，公比为2．
【规律方法】本题利用了等比数列的“子数列”性质，若等比数列的项的序号成等差数列，则对应项依次成等比数列．另外，两个等式之间的除法运算体现了“整体消元”的方法技巧．
【例2】某同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行，月利按复利计算，月利为0．2％，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6％，问三年取出本利共多少元(结果保留到个位)?
【点拨】由题目可获取以下主要信息：
①每月将5元在月末存入银行，月利率为0．2％；
②每够一年将一年的本利和改存为年利按复利计算，年利为6％．
解答本题可先建立数学模型用数列知识求解后再回归实际
问题．
【解析】为了便于思考一年内每月的存款的本金和利息的和
按月分开算．
第一年内的本息和可分为：
第一个月：5(1＋0．2％)11，第二个月：5(1＋0．2％)10，…，
第十二个月：5．
5(1＋0．2％)11＋5(1＋0．2％)10＋…＋5＝5·．
于是三年后取出时第一年所存钱的本息和为
5·
(1＋6％)2．
同理第二年所存钱在最后取时本息和为
5··(1＋6％).
第三年所存钱在年底取出时的本息和为5·．
∵每月存5元，月利为0．2
％，年利为6％，
∴三年后取出的本息和为
5·(1＋6％)2＋5·(1＋6％)＋5·＝5·
·≈193(元)
∴三年后取出的本利共193元．
【规律方法】此题是复利问题，问题的关键是每够一年将前面的本息和作为整体自动转存．