2.5.1等比数列的前n项和教案-2021-2022学年高一下学期数学人教A版必修5

《等比数列的n前项和》教案
一、教材分析
(一)在教材中的地位与作用
这节内容是在学习完等差数列的通项公式、前n项和公式、等比数列的定义、通项公式等知识的基础上进行的，既是本章的的重点，同时也是教材的重点，在整个高中数学领域占据着重要地位。它是数列的重要内容，不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，而且公式推导过程中所蕴含的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
(二)重点、难点
教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用．
教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．
公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点．
(三)学情分析
从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q
=
1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．学生虽具有一定的分析问题和解决问题的能力，但会出现对问题缺乏深刻的思考，易片面，不严谨。
二、教学目标
(一)知识与技能
1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；
2.探索并掌握等比数列前n项和公式；
3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；
4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.
(二)过程与方法
1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；
2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动.
(三)情感态度与价值观
1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；
2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；
3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.
三、教学准备
学生复习前面数列的知识，在教师的引导下，创设情境，通过开放式问题的设置来启发学生进行思考，在思考中体会数学概念形成过程中蕴涵的数学方法和思想。利用课件多媒体辅助教学，采用启发——探讨——建构教学相结合。
四、教学过程
（一）复习：
1．等比数列的定义．
2.等比数列的通项公式:
，
3．｛｝成等比数列=q（,q≠0）
≠0
4．性质：若m+n=p+q，
（二）创设情境，提出问题
印度国王要奖赏国际象棋的发明者西萨，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放1颗麦粒，在第2个格子里放2颗麦粒，在第3个格子里放4颗麦粒，在第4个格子里放8颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里麦粒数的2倍，直到第64个格子，请给我足够的粮食来实现上述要求。”
你认为国王有能力满足发明者的上述要求吗？
(三)
师生互动，探究问题
问题1：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数，同时告诉学生一个抽象的答案，如果按西萨的要求，这是一个多么巨大的数字啊！它相当于全世界两千多年小麦产量的总和．
问题2：是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？
探究一：，记为
①式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）
探究二：
如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，①式两边同乘以2则有②式．比较①、②两式，你有什么发现？
经过比较、研究，学生发现：①、②两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：，指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程。
思考：为什么①式两边要同乘以2呢？
（四）类比联系，解决问题
探究三：如何将结论一般化，设等比数列{}，首项为，公比为q,如何求前n项和为？
公式的推导方法一：一般地，设等比数列
它的前n项和是
由
∴当时，
①
或
②当q=1时，
公式的推导方法二：
由定义，
由等比的性质，
即
（结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：
＝＝
（结论同上）
“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决．
3.等比数列的前n项和公式：
当时，
①
或
②
当q=1时，
思考：什么时候用公式（1）、什么时候用公式（2）？
（当已知a1,
q,
n
时用公式①；当已知a1,
q,
an时，用公式②.）
（五）思考辨析，辨析正误
在等比数列{an}中，a1＝b，公比为q则前3项和为.（
）
2.
.
(
)
3.等比数列前n项和Sn不可能3.等比数列前n项和Sn不可能为
0
.
（
）
（六）题型探究，形成技能
例1．求等比数列），，，…,前8项的和．
解：由a1=，
得
解：由=得189=
解之得q=2
由得96=3×
解之得n=6
所以q=2,n=6
解：当q≠1时，
得2（1+q+）=6
解之得q=2，=8
q=1时，=2
综上，=8，q=2或=2，q=1
（七）达标检测
1.已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和.若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，求S6。
2.求和9+99+999+…+
（八）总结归纳，加深理解
1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”.
2.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况.
3.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和.
（九）布置作业：
课本第61页习题2.5
A组第1、2、3题.
（十）板书设计
2.5.1等比数列前n项和
一、复习
等比数列的定义、通项公式、性质
二、等比数列的前n项和公式：
当时，
①
或
②
当q=1时，
1(学生板演)
2(学生板演)
3(学生板演)
(
1
)